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正弦定理与余弦定理2


第四章 三角函数、解三角形

第四章 三角函数、解三角形

a c b 1.正弦定理:即 = = =2R(R为三角 sin A sin B sin C 形外接圆半径).

边,由三角形 角与一个__ 2.(1)已知三角形的任意两个__ 内角和定理 ,可以计算出三角形的另一个__ 角,并由正弦 ___________ 两

边. 定理计算出三角形的另____ 两边与其中一边的____ 对角 (2)如果已知三角形的任意____ , 正弦值 ,进 应用正弦定理,可以计算出另一边的对角的_______ 角和三角形其他的______ 边和角. 而确定这个__

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b2+c2-2bccos A ,b2=_______ c2+a2- 3.余弦定理:a2=________________ a2+b2-2abcos C . 2cacos B ,c2=________________ ________ b2+c2-a2 4.余弦定理的推论:cos A= ,cos B 2 2 2 2 2 2 2bc c + a - b a + b - c = ,cos C= . 2ca 2ab 5.运用余弦定理可解决以下两类解三角形问题: 各角. (1)已知三边,求____ 夹角,求第三边和其他两个角. 两边和它们的____ (2)已知____

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1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B= ( ) 2 2 2 2 6 6 A.- B. C.- D. 3 3 3 3 a 解析:依题意得 0° <B<60° .由正弦定理得 = sin A

b 15 10 3 ,即 = ,所以 sin B= ,所以 cos B sin B sin 60° sin B 3 6 = 1-sin B= . 3 答案:D
2

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2.△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则角A的大 小为 ( ) 2 5 3 π A. π B. π C. π D. 3 6 4 3 52+32-72 1 解析: 由余弦定理得 cos A= =- , 2 2×5×3

2 所以 A= π. 3 答案:A

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3. 在△ABC 中, 已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3sin A sin C,则角 B 的大小为________.

解析:由正弦定理得 b2-c2-a2= 3ac.由余弦定理得 a2+c2-b2 - 3ac 3 cos B= = =- ,所以 B=150° . 2ac 2ac 2 答案:150°

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1 4.△ABC 中,a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b 3 =________.

1 2 2 解析:因为 cos C= ,所以 sin C= . 3 3 1 因为 S△ABC= absin C=4 3, 2 1 2 2 所以 ×3 2×b× =4 3,解得 b=2 3. 2 3 答案:2 3

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1.处理三角形问题,必须结合三角形全等的判定 定理理解三角形的四类基本可解题型,特别要从多角度 (几何作图、三角函数定义、正余弦定理、勾股定理等 角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解或无解 三种情况.根据已知条件判断解的情形,并正确求解, 这是本节的难点之一. 当题目条件能确定一个或两个三角形时,即为定 型问题,否则(即题目条件对应于一个三角形集合)为不 定型问题,其中解不定型问题是本节的另一难点.

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2.(1)几个重要结论: ①在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,则 A>B>C?a>b>c?sin A>sin B>sin C. ②在△ABC中,给定A、B的正弦或余弦值,则C有解 (即存在)的充要条件是cos A+cos B>0. (2)解三角形常见的四种题型: a ①已知两角 A、 B 与一边 a, 由 A+B+C=180° 及 sin A b c = = ,可求出角 C,再求出 b、c. sin B sin C ②已知两边b、c与其夹角A,由a2=b2+c2-2bccos A,求出a,再由余弦定理,求出角B、C. ③已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.

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④已知两边 a、b 及其中一边的对角 A,由正弦定理 a b = 求出另一边 b 的对角 B, 由 C=π-(A+B), 求 sin A sin B a c a b 出 C,再由 = 求出 c.而通过 = 求 B 时, sin A sin C sin A sin B 可能出现一解、两解或无解的情况,其判断方法如下表:
A>90° A=90° a>b 一解 一解 a=b 无解 无解 a<b 无解 无解 A<90° 一解 一解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解

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3.已知两边和其中一边的对角,一般用正弦定理,但 也可用余弦定理. 4.判断三角形的形状通常有两种途径:一是通过正弦 定理和余弦定理,化边为角(如 a=2Rsin A,a2+b2-c2= 2abcos C 等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系, 然后进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内 角关系,如 sin A=sin B?A=B,sin(A-B)=0?A=B, π sin 2A=sin 2B?A=B 或 A+B= 等.二是利用正弦定理 2 ? a ? 或 者 余 弦 定 理 化 角 为 边 如sin A=2R,cos A= ? b2+c2-a2 ? ? 等?,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关 2bc ? 系,然后进行判断.

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(即时巩固详解为教师用书独有) 考点一 正弦定理的应用 【案例 1】 (2011· 山东)在△ABC 中,内角 A,B,

cos A-2cos C 2c-a C 的对边分别为 a,b,c,已知 = b . cos B sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,△ABC 周长为 5,求 b 的长. 4 关键提示:(1)利用正弦定理边化角; (2)利用余弦定理求解.

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解: (1)由正弦定理得 a=2Rsin A, b=2Rsin cos A-2cos C 2c-a B,c=2Rsin C,所以 = b = cos B 2sin C-sin A , sin B 即 sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B- sin Acos B, 即有 sin(A+B)=2sin(B+C), sin C 即 sin C=2sin A,所以 =2. sin A

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sin C c (2)由(1)知 =2,所以a=2,所以 c=2a. sin A 又因为△ABC 的周长为 a+b+c=5, 所以 b=5-3a. 由余弦定理得 a2+c2-b2 cos B= , 2ac
2 2 2 1 a +?2a? -?5-3a? 即 = , 4 2a· ?2a?

解得 a=1,所以 b=2.

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【即时巩固 1】 (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,

C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求a; (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B.
解:(1)由正弦定理得 sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A, 即 sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A, 所以 sin B= 2sin A. b sin B 所以a= = 2. sin A

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(2) 由余弦定理和 c2 = b2 + 3 a2 得 cos B = ?1+ 3?a , 2c 由(1)知 b2=2a2, 故 c2=b2+ 3a2=2a2+ 3a2=(2+ 3)a2.
2 2 2 2 ? 1 + 3 ? a ? 1 + 3 ? a 1 2 所以 cos B= = 2= . 4c2 4?2+ 3?a 2

2 又 cos B>0,所以 cos B= ,所以 B=45° . 2

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考点二 余弦定理的应用 【案例 2】 (2010· 全国新课标)在△ABC 中,D 为

BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB=135° .若 AC= 2AB,则 BD=________. 解析:设BD=x,在△ABD中, 由余弦定理有AB2=x2+2x+2. 因为∠ADC=45°,DC=2x, AC2=2(x2+2x+2), 在△ADC中,有AC2=AD2+DC2-2AD· DC· cos 45° =4x2-4x+2, 所以 x2-4x-1=0,x=2± 5.
因为 x>0,所以 BD=2+ 5.

答案:2+ 5

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【即时巩固 2】 (2011· 全国)△ABC 的内角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c.已知 asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求B; (2)若A=75°,b=2,求a与c. a 解:(1)由正弦定理得 sin A= , 2R b c sin B= ,sin C= , 2R 2R a c c b 所以 a· +c· - 2a =b· , 2R 2R 2R 2R
即 a2+c2- 2ac=b2,即 a2+c2-b2= 2ac. a2+c2-b2 2ac 2 由余弦定理得 cos B= = = , 2ac 2ac 2 所以 B=45° .

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(2)因为 A=75° ,B=45° ,所以 C=180° -A-B=60° . b c 2 c 由正弦定理得 = ,即 = , sin B sin C sin 45° sin 60° 所以 c= 6. 由 b2=a2+c2-2accos B 得 4=a2-2 3a+6, 即 a2-2 3a+2=0. 解得 a= 3+1 或 a= 3-1(舍去), 所以 a= 3+1,c= 6.

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考点三 三角形形状的判断 【案例3】 在△ABC中,已知acos A=bcos B,则 △ABC为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 关键提示:边化角或角化边,然后再化简. 解析:题设条件中给出的关系式有边也有角,为判断 三角形的形状,需利用正、余弦定理转化成角的关系或边 的关系. cos A b (方法 1)由 acos A=bcos B 得 = . cos B a

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b sin B cos A sin B 由正弦定理得a= ,所以 = , sin A cos B sin A 即sin Acos A=sin Bcos B,故sin 2A=sin 2B. 因为角A、B为三角形的内角, 所以2A=2B或2A=π-2B, π 所以 A=B 或 A+B= , 2
即△ABC 为等腰三角形或直角三角形, 所以选 C.

b2+c2-a2 a2+c2-b2 (方法 2)将 cos A= ,cos B= 代 2bc 2ac b2+c2-a2 a2+c2-b2 入已知条件,得 a· =b· . 2bc 2ac

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去分母,得a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2). 整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以a2=b2或a2+b2-c2=0,即a=b或a2+b2=c2, 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选C. 答案:C

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【即时巩固3】 在△ABC中,若2cos B· sin A=sin C, 则△ABC一定为 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析:因为2cos B· sin A=sin C,C=π-(A+B), 所以2cos B· sin A=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B-cos Asin B=0, 所以sin(A-B)=0. 因为A、B为△ABC的内角, 所以A-B=0,即A=B, 所以△ABC一定为等腰三角形. 答案:C

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考点四 三角形的综合问题 【案例4】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a, b,c.已知c2=bccos A+cacos B+abcos C. (1)试判断△ABC的形状. →· → =3, →· → =9, (2)若BA BC AB AC 求角 B 的大小. 关键提示:(1)用角化边来判定三角形的形状. (2)用a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉来求解. 解:(1)由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b + c - a c + a - b a + b - c c2=bc· +ca· +ab· , 2bc 2ca 2ab 化简得c2=a2+b2. 所以△ABC是以角C为直角的直角三角形.

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(2)因为 Rt△ABC 中, → → → → BA· BC=|BA|· |BC|cos B=3. →· → =|AB → |· → |· AB AC |AC cos A



→ |· → |sin B=9. =|AB |AC ② → |sinB |AC ②÷ ①得 =3,即 tan2B=3. → |cos B |BC π 所以 tan B= 3,所以 B= . 3

第四章 三角函数、解三角形
【即时巩固 4】 已知△ABC 中, ∠B=45° , AC= 10, 2 5 cos C= . 5 (1)求BC边的长; (2)记AB的中点为D,求中线CD的长. 2 5 5 解:(1)由 cos C= 得 sin C= , 5 5

2 3 10 sin A=sin(180° -45° -C)= (cos C+sin C)= . 2 10 由正弦定理知 AC 10 3 10 BC= · sin A= × =3 2. sin B 10 2 2

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AC 10 5 (2)AB= · sin C= × = 2, sin B 5 2 2 1 BD= AB=1. 2 由余弦定理知 CD= BD2+BC2-2BD· BC· cos B = 2 1+18-2×1×3 2× = 13. 2

第四章 三角函数、解三角形
【案例 5】 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,

C 的对边,已知 2sin A= 3cos A. (1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值. (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. 关键提示:用均值不等式求最值. 解:(1)由 2sin A= 3cos A,两边平方得

2sin2A=3cos A,即 2(1-cos2A) =3cos A. 1 π 解得 cos A= >0,因为 0<A<π,所以 A= . 2 3 2 2 2 b +c -a m 2 2 2 而 a -c =b -mbc 可变形为 = . 2bc 2

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m 1 即 cos A= = ,所以 m=1. 2 2 1 3 (2)由(1)知 cos A= .所以 sin A= . 2 2 b2+c2-a2 1 又 = , 2bc 2 所以 bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即 bc≤a2, 1 1 2 3 3 3 所以 S△ABC= bcsin A≤ a · = . 2 2 2 4

第四章 三角函数、解三角形
【即时巩固 5】 (2011 届· 宁德模拟)已知函数 f(x)= ? π? 2sin?2x-4?+2cos2x-1. ? ? (1)求f(x)的最大值及其取最大值时x的集合. (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,
?5 ? 3 π 已知 a= ,A= ,b=f?12π?.求△ABC 的面积. 4 3 ? ? ? 2 ? 2 解:(1)f(x)= 2? sin 2x- cos 2x?+cos 2x 2 ? 2 ?

=sin 2x-cos 2x+cos 2x=sin 2x, π 所以 f(x)max=1,此时 x∈{x|x=kπ+ ,k∈Z}. 4

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?5 ? 5 1 (2)b=f?12π?=sin π= . 6 2 ? ?

由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 3 1 1 1 2 即 =c + - c,解得 c= . 16 4 2 4 1 1 1 1 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= × × × = . 2 2 2 4 2 32


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