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广东省珠海市2013年4月高三模拟考试理科数学试卷 2


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珠海市 2013 年 4 月高三模拟考试
数 学(理 科)试卷
2013.4.21

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上. 2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0,1,2? , N ? x x ? 2a, a ? M ,则集合 M ? N ? A. {0} B. {0, 1} C. {1, 2} D. {0, 2}

?

?

2.设 a 是实数,且 A.

a 1? i ? 是实数,则 a ? 1? i 2
B. 1 C.

1 2

3 2

D. 2

3 . 已 知 函 数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) ( 其 中 ? ? 0 , ? ?

? )的最小正周期是 ? ,且 2

f (0) ? 3 ,则
A. ? ?

1 ? ,? ? 2 6

B. ? ?

C. ? ? 2 , ? ?

?

1 ? ,? ? 2 3

6

D. ? ? 2 , ? ?

?

3

4.下列四个命题中,真命题的个数为 (1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M ? ? , M ? ? , ? ? ? ? l ,则 M ? l ; (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3

D.4

5.已知 f ( x) ? ?

, x?0 ?cos?x 4 4 ,则 f ( ) ? f (? ) 的值为 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1 , x ? 0

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A. ? 2

B. ? 1

C.1

D.2

6.设 f ' ( x) 是函数 f (x) 的导函数,将 y ? f (x) 和 y ? f ' ( x) 的图像画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是

A.

B.

C.

D.

7.设 e1 , e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 为两曲线的一个公
2 e12 ? e2 共点,且满足 PF ? PF2 ? 0 ,则 的值为 1 (e1e2 ) 2

A.

1 2

B.1

C.2

D.不确定

8.已知 f (1, 1) ? 1 , f (m, n) ? N * ( m 、 n ? N *) ,且对任意 m 、 n ? N * 都有: ① f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ;② f (m ? 1, 1) ? 2 f (m, 1) . 给出以下三个结论: (1) f (1, 5) ? 9 ; (2) f (5, 1) ? 16 ; (3) f (5, 6) ? 26 . 其中正确的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生 只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分. 9.圆心为 (1,1) 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是_______________. 10.向量 a 、 b 满足 a ? 3 , b ? 5 , a ? b ? 7 ,则 a 、 b 的夹角为________. 11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有________种. 12.如右图,一个空间几何体的主视图、左视图是周长为 4 一个内 角为 60 的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的表 面积为________.
主视图 左视图
0

13. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系下,直线

? ? cos( ? ? ) ? 2 与圆 ? ? 2 的公共点个数是________.
4
俯视图

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14. (不等式选讲选做题) x 、 y ? 0 , x ? y ? 1 ,则 ( x ? )( y ?

1 x

1 ) 的最小值为______. y

A
15. (几何证明选讲选做题)如图所示,等腰三角形 ABC 的底边 AC 长 为 6 , 其外接圆的半径长为 5, 则三角形 ABC 的面积是________.

B C

O

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
2 设集合 A ? x x ? 4 , B ? ? x 1 ?

?

?

? ?

4 ? ?. x ? 3?

(1)求集合 A ? B ; (2)若不等式 2 x ? ax ? b ? 0 的解集为 B ,求 a , b 的值.
2

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos ( x ?
2

1 ) ? sin 2 x . 12 2

?

(1)求 f (x) 的最值; (2)求 f (x) 的单调增区间.

18. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD ,AC ? CD , ABC ? 60? , ? AB ? BC , ? PA E 是 PC 的中点. (1)求证: CD ? AE ; (2)求证: PD ? 面 ABE ; (3)求二面角 A ? PD ? C 的平面角的正弦值.

P

E A C B D

19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y ? ax ( a 为非零常数)的焦点为 F ,点 P 为抛物线 C 上一个动点,
2

过点 P 且与抛物线 C 相切的直线记为 L . (1)求 F 的坐标; (2)当点 P 在何处时,点 F 到直线 L 的距离最小?

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20. (本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 是以 a 为首项, q 为公比的等比数列.令 bn ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,

cn ? 2 ? b1 ? b2 ? ? ? bn , n ? N * .
(1)试用 a 、 q 表示 bn 和 cn ; (2)若 a ? 0 , q ? 0 且 q ? 1 ,试比较 cn 与 c n ?1 的大小; (3) 是否存在实数对 ( a, q ) , 其中 q ? 1 , ?cn ? 成等比数列. 使 若存在, 求出实数对 ( a, q ) 和 ?cn ? ;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? b ln x ,其中 b 为常数. (1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(2)若函数 f ( x ) 的有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x ) 的极值点; (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n ,不等式

1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 都成立. 2 n n

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珠海市 2013 年高三模拟考试
数 学(理 科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.C 8.A 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生 只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分. 9. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 12. ? 15. 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
2 解: A ? x x ? 4 ? x ? 2 ? x ? 2 ,……………………………………………… 3 分

10. 120 ? (或 13. 1

2 ?) 3

11. 11 14.

25 4

?

? ?

?

? ? 4 ? ? x ?1 B ? ?x 1 ? ? 0? ? ?x ? 3 ? x ? 1?,……………………… ? ? ?x x ? 3? ? x ? 3 ? ?

3分

(1)? A? B ? x ? 2 ? x ? 1 ;……………………………………………………. 2 分 (2)因为 2 x ? ax ? b ? 0 的解集为 B ? x ? 3 ? x ? 1 ,
2

?

?

?

?

所以 ? 3和1 为 2 x ? ax ? b ? 0 的两根,……………………………………… 2 分
2

? a ? ? 2 ? ?3 ? 1 ? 故? ,所以 a ? 4 , b ? ?6 .……………………………………. 2 分 ? b ? ?3 ? 1 ?2 ?
17. (本小题满分 12 分) 解: f ( x) ?

1 ? 1 [1 ? cos( 2 x ? )] ? sin 2 x ………………………………………… 2 分 2 6 2 1 ? ? ? [1 ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) ? sin 2 x] 2 6 6

?

1 3 1 (1 ? cos 2 x ? sin 2 x) ………………………………………… 2 2 2

2分

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?

1 ? 1 sin( 2 x ? ) ? ……………………………………………………. 2 3 2

2分

(1) f (x) 的最大值为 1 、最小值为 0 ;……………………………………………… 2 分 (2) f (x) 单调增,故 2 x ? 即 x ? [k? ?

?
3

? [2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

] ,…………………………… 2 分

5? ? , k? ? ]( k ? Z ) , 12 12 5? ? , k? ? ]( k ? Z ) .…………………… 2 分 从而 f (x) 的单调增区间为 [ k? ? 12 12
18. (本小题满分 14 分) (1)证明: PA ? 底面 ABCD ,? CD ? PA 又 CD ? AC , PA ? AC ? A ,故 CD ? 面 PAC AE ? 面 PAC ,故 CD ? AE ………………………………………………… 4 分 (2)证明: PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60? ,故 PA ? AC E 是 PC 的中点,故 AE ? PC 由(1)知 CD ? AE ,从而 AE ? 面 PCD ,故 AE ? PD 易知 BA ? PD ,故 PD ? 面 ABE ……………………………………………… 5 分 (3)过点 A 作 AF ? PD ,垂足为 F ,连结 EF . 由(2)知, AE ? 面 PCD ,故 ?AFE 是二面角 A ? PD ? C 的一个平面角. 设 AC ? a ,则 AE ?

7 2 2 a , PD ? a , AD ? a 2 3 3

从而 AF ?

PA ? AD 2 AE 14 ? a ,故 sin ?AFE ? .……………… 5 分 ? PD AF 4 7

说明:如学生用向量法解题,则建立坐标系给 2 分,写出相关点的坐标给 2 分,第(1)问 正确给 2 分,第(2)问正确给 4 分,第(3)问正确给 4 分。 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)抛物线方程为 x ?
2

1 y ……………………………………………………… 2 分 a 1 ) ………………………………………………………… 2 分 故焦点 F 的坐标为 (0, 4a
2

(2)设 P( x0 , y0 ) 则 y0 ? ax0

? y' ? 2ax, ?在P点处抛物线(二次函数 )的切线的斜率k ? 2ax0 ....2分 ?切线L的方程是:y ? y0 ? k ( x ? x0 )
2 即 y ? ax0 ? 2ax0 ( x ? x0 ) 2 即 2ax0 x -y ? ax0 ? 0

......3分

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0? ? 焦点F到切线L的距离 d ?

1 2 ? ax0 4a
2 2

(2ax0 ) ? (?1)

?

1 4a

4a 2 x 0 ? 1 ?
2

1 .....3分 4a

当且仅当x0 ? 0 时上式取“=”此时P的坐标是(0,0)
?当P在(0,0) 处时,焦点 到切线L的距离最小 F .
20. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 q ? 1 时, bn ? 1 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? 1 ? na ,

......1分
......1分

cn ? 2 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ?

?(1 ? a) ? (1 ? na )?n ? a n 2 ? ( a ? 1)n ? 2
2 2 2

当 q ? 1 时, bn ? 1 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? 1 ?

a(1 ? q n ) 1? q

cn ? 2 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? (1 ?

a a )n ? (q ? q 2 ? ? ? q n ) 1? q 1? q

? 2 ? (1 ?

a aq aq a aq )n ? (1 ? q n ) ? 2 ? ? (1 ? )n ? qn 2 2 1? q 1? q (1 ? q) (1 ? q) (1 ? q) 2

,q ?1 ?1 ? na ? n a(1 ? q ) 所以 bn ? ? 1? ,q ? 1 ? 1? q ?
a ?a 2 ,q ?1 ? 2 n ? ( 2 ? 1)n ? 2 ? cn ? ? ;…………………… aq a aq n ? (1 ? )n ? q ,q ? 1 ?2 ? ? 1? q (1 ? q ) 2 (1 ? q ) 2 ?
(2)因为 cn ? 2 ?

4分

aq a aq ? (1 ? )n ? qn , 2 2 1? q (1 ? q) (1 ? q) aq a aq ? (1 ? )(n ? 1) ? q n?1 2 2 1? q (1 ? q) (1 ? q)

所以 cn?1 ? 2 ?

cn?1 ? cn ? ?(1 ?

a aq a )? (q n?1 ? q n ) ? ?1 ? (1 ? q n?1 ) 2 1 ? q (1 ? q) 1? q
n ?1

当 q ? 1 时, 1 ? q ? 0 , 1 ? q

?0
n ?1

当 0 ? q ? 1 时, 1 ? q ? 0 , 1 ? q

?0

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所以当 a ? 0 , q ? 0 且 q ? 1 时, cn?1 ? cn ? 0 ,即 cn?1 ? cn ;………… 5 分 (3)因为 q ? 1 , q ? 0 ,所以 cn ? 2 ?

aq a aq ? (1 ? )n ? qn , 2 2 1? q (1 ? q) (1 ? q)

aq ? ? aq ?2 ? ?1 ? q ?2 ? 0 ? ?1 ? q ?2 ? 0 ? ? 因为 ?cn ? 为等比数列,则 ? 或? , a ? 1? ?1 ? a ? 0 ?0 ? 1? q ? 1? q ? ?

1 1 ? ? ?a ? 3 ? a ? 1 ?a ? 3 所以 ? 或 (舍去) ,所以 ? .………………………… 2 ?q ? 0 2 ? ?q ? ?q ? 3 3 ? ?
21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,

5分

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x 2 ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ? 当 b ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2 1 (2)①由(Ⅰ)得,当 b ? 时,函数 f ( x ) 无极值点. 2
②b ?

…… 1 分 …… 2 分

1 1 (2 x ? 1) 2 ? 0 有两个相同的解 x ? , 时, f ' ( x) ? 2 2 2x

1 1 但当 x ? (0, )时, f ' ( x) ? 0; 当x ? ( ,?? )时, f ' ( x) ? 0 时, 2 2 1 ? b ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?) 上无极值点. ? …… 3 分 2 1 ③当 b ? 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, 2

x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? , x2 ? ? 2 2 2 2 1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??),舍去, 2 2 1 1 ? 2b ? ? 1 ? (0,??) , 2 2

? i) b ? 0 时, x1 ?

而x2 ?

此时 f ?( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:
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x
f ?( x )
f ( x)

(0, x2 )
?


x2
0
极小值

( x2, ?) ?

?


由此表可知:? b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 , x ? 当0 ? b ?

1 1 ? 2b , ? 2 2

…… 5 分

ii)

1 时,0< x1 ? x 2 <1 2

此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(?1,x1 )

x1
0
极大值

( x1,x2 )
?


x2
0
极小值

( x2, ?) ?

?


?


由此表可知: 0 ? b ?

1 1 1 ? 2b 时 , f ( x ) 有 一 个 极 大 值 x1 ? ? 和一个极小值点 2 2 2
…… 7 分

x2 ?

1 1 ? 2b ; ? 2 2
1 时 f ( x ) 有极值点; 2

综上所述: 当且仅当 b ? …… 8 分

当 b ? 0 时, f ( x ) 有惟一最小值点 , x ?

1 1 ? 2b ; ? 2 2

当0 ? b ?

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? ? 和一个极小值点 x ? ? 2 2 2 2 2
2

(3)由(2)可知当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? ln x , 此时 f ( x ) 有惟一极小值点 x ?

1 1 ? 2b 1 ? 3 ? ? 2 2 2

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且 x ? (0,

1? 3 1? 3 )时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在(0, )为减函数 2 2

…… 9 分

1 4 1? 3 ? ? , n 3 2 1 1 1 ? 恒有 f(1) ? f (1 ? ),即恒有 0 ? 2 ? ln(1 ? ) n n n 1 ?当 n ? 3 时恒有ln(n ? 1) ? ln n ? 2 成立 n ? 当 n ? 3 时, ? 1 ? 1 ? 0
令函数 h( x) ? ( x ? 1) ? ln x (x ? 0)

…… 11 分

则 h' ( x ) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

…… 12 分

? x ? 1 时,h' ( x) ? 0 ,又h( x)在x ? 1处连续? x ? [1,??)时h( x)为增函数 1 1 1 ? h(1 ? ) ? h(1) 即 ? ln(1 ? ) ? 0 n n n 1 1 ? ln(n ? 1) ? ln n ? ln(1 ? ) ? n n 1 1 综上述可知 n ? 3 时恒有 ? ln(n ? 1) ? ln n ? 2 n n ?n ? 3 时 1 ? 1? 1 n

…… 14 分

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