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山东省临沂市兰陵县第四中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


2015—2016 学年度下学期期中阶段性检测 高二数学(文)试题
注意事项: 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷为选择题,共 50 分;第Ⅱ卷为非选择题,共 100 分.考试时间为 120 分钟. 2.答第Ⅰ卷前,考生务必将姓名、准考证号、考试科目填写清楚,并用 2B 铅笔涂写在答题卡上,将第Ⅰ卷选择题 的答案涂在答题卡上. 3.答第Ⅱ卷时,须将答题纸密封线内的项目填写清楚,第Ⅱ卷的答案中性笔直接答在答题纸指定的位置上,考试 结束后,只交答题卡和第Ⅱ卷答题纸. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的) 1.设复数 z 满足 A. 1

1? z ? i ,则 | z |? ( 1? z
B. 2

) C. 3 ) D. (??,?1] ? [1,??) D. ? q 是真命题 ) D.归纳推理 D. 2

2.已知全集 U ? R ,集合 P ? {x | x 2 ? 1} ,那么 Cu P ? ( A. (??,?1] B. [1,??) C. [?1,1]

3.若 p 是真命题, q 是假命题,则( ) A. p ? q 是真命题 B. p ? q 是假命题

C. ? p 是真命题

4. “所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”此类推理属于( A.合情推理 B.类比推理 C.演绎推理 5.函数 y ? A. {x | x ? 0}

x( x ? 1) ?

1 x

的定义域是(

) C. {x | x. ? 0} ? {0} ) D. {x | 0 ? x ? 1}

B. {x | x ? 1}

2 6. “ x ? 2 ”是“ x ? 3 x ? 2 ? 0 ”成立的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.在反证法中,否定结论“至多有两个解”的说法中,正确是( ) A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 8.某医疗机构通过抽样调查(样本容量 n ? 1000 ) ,利用 2×2 列联表和卡方统计量研究肺病是否与吸烟有关.计算
2 得 K ? 4.453,经查对临界值表知 P( K ? 3.841 ) ? 0.05 ,则下列结论正确的是(
2



A.在 100 个吸烟的人中约有 95 个人患肺病 C.有 95 % 的把握认为“患肺病与吸烟有关”

B.若某人吸烟,那么他有 95 % 的可能性患肺病 D.有 5 % 的把握认为“患肺病与吸烟有关” )
2

9.下列函数既是偶函数又在 (0,??) 上单调递增的函数是( A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1

C. y ? ? x ? 1

D. y ? 2

?| x|

10.若函数 f ( x) 在 R 上是奇函数,给出下列结论: ① f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ; ② f ( x ) ? f ( ? x) ? 2 f ( x) ; ③ f ( x ) ? f ( ? x) ? 0 ; ④

f ( x) ? ?1 .其中不正确的结论有 ( f (? x)



1

A.0 个

C.2 个 第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知命题 p : ?x ? R, x ? sin x ,则 p 的否定为

B.1 个

D.3 个 共 100 分)



12.下列程序运行后输出的结果为



13.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( ) ? 14.已知函数 f ( x) ? ?

3 2



?(a ? 3) x ? 1, x ? 1 ,若 f ( x) 在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 log x , x ? 1 ? a
1 1 ? x) ? f ( ? x) ? 2 成立, 2 2




15. 已知函数 f ( x) 满足对任意的 x ? R 都有 f ( 则 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ?

1 8

1 4

3 8

7 8

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤) 16. (本大题满分 12 分) 已知函数 y ?

x 2 ? 9 的定义域为集合 A,集合 B ? {x | x ? a ? 0, a ? R} .

(Ⅰ)求集合 A; (Ⅱ)求 A ? B .

17. (本大题满分 12 分) 已知 p :|

1 x ?1 ? |? 1, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) .若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 2 6

18. (本大题满分 12 分)
2

通过市场调查,得到某产品的资金投入 x (万元)与获得的利润 y (万元)的数据,如下表所示: 资金 投入 x 利润 y 2 2 3 3 4 5 5 6 6 9

(Ⅰ)画出资金对应的散点图; (Ⅱ)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程 y ? bx ? a ; (Ⅲ)现投入 10(万元) , 求估计获得的利润为多少万元.
n ? ?? ? ( xi ? x)( y i ? y ) ? b ? i ?1 n ? ? 2 ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ?? ? ?a ? y ? b x ?

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

2 i

19. (本大题满分 12 分)
2 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 {x ? R | x ? 0} ,且 y ? f ( x) 是奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? bx ? c ,

若 f (1) ? f (3), f (2) ? 2 . (Ⅰ)求 b, c 的值; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 在 x ? 0 时的表达式.

20. (本大题满分 13 分)
3

已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 2 . (Ⅰ)求实数 a 的值,使函数 y ? f ( x) 在区间 [?5,5] 上为偶函数; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使函数 y ? f ( x) 在区间 [?5,5] 上是单调函数; (Ⅲ)求 f ( x) 在区间 [?5,5] 上的最大值.

21. (本大题满分 14 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ? a ? (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的值域; (Ⅲ)当 m ? n ? 0 时,比较

1 是奇函数,其中 a 为实数. 2 ?1
x

f ( m) ? f ( n ) 与 f (0) 的大小并证明. m3 ? n3

2015—2016 年度下学期期中阶段性检测 高二数学(文)参考答案 一、选择题
4

1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 6、A 二、填空题 11、 ?x ? R, x ? sin x ;12、 三、解答题

7、C 8、C

9、A 10、B

11 3 ;13、 ;14、 {a | 3 ? a ? 4} ;15、 7 2 2

2 16 解: (Ⅰ)令 x ? 9 ? 0 ,∴ x ? 3 或 x ? ?3 ,所以 A ? {x | x ? 3 或 x ? ?3} ;

(Ⅱ) B ? {x | x ? a ? 0} ? {x | x ? a} ①若 a ? ?3 时, A ? B ? {x | x ? a} ; ②若 ? 3 ? a ? 3 时, A ? B ? {x | x ? ?3} ; ③若 a ? 3 时, A ? B ? {x | x ? ?3 或 3 ? x ? a} . 综上所述:当 a ? ?3 时, A ? B ? {x | x ? a} ;当 ? 3 ? a ? 3 时, A ? B ? {x | x ? ?3} ; 当 a ? 3 时, A ? B ? {x | x ? ?3 或 3 ? x ? a} .

1 x ?1 ? |? 1 ? ?2 ? x ? 10 ; 2 6 ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件,∴ p 是 q 的充分不必要条件;
17 解: |
2 ? ?4 ? 4 ? 1 ? m ? 0 ∴? ,解得 m ? 9 或 m ? ?9 ; 2 ? ?100 ? 20 ? 1 ? m ? 0

所以所求实数 m 的取值范围是 {m | m ? 9 或 m ? ?9} .

18 解: (Ⅰ)由的数据可得对应的散点图如图:

(Ⅱ) x ?

2?3?4?5?6 2?3?5?6?9 ? 4, y ? ?5 5 5

(Ⅲ)当 x ? 10 万元时, y ? 15.2 万元,所以投资 10 万元,估计可获的利润为 15.2 万元.
5

?

19 解: (Ⅰ)∵ f (1) ? f (3), f (2) ? 2 ,且 x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? bx ? c ,

?1 ? 3 b ? ?b ? 4 ? ∴? 2 , ?? 2 c?2 ? ? ?? 4 ? 2b ? c ? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 2 , ∵ x ? 0,? ? x ? 0 , ∴ f (? x) ? ?(? x) 2 ? 4x ? 2 ? ? x 2 ? 4x ? 2 , 又 f ( x) 在 {x | x ? 0} 上为奇函数, ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) ? x ? 4 x ? 2 ,
2 2 所以当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ? 2 .

20 解: (Ⅰ)∵函数 f ( x) 在区间 [?5,5] 上为偶函数, ∴a ? 0; (Ⅱ)∵函数 f ( x) 在区间 [?5,5] 上为单调函数,

a a ? ?5 或 ? ? 5 , 2 2 ∴ a ? 10 或 a ? ?10 ;
∴? 所以当 a ? 10 或 a ? ?10 时,函数 f ( x) 在区间 [?5,5] 上为单调函数; (Ⅲ)①若 ?

a ? 0 ,即 a ? 0 ,当 x ? 5 时, f ( x) max ? 27 ? 5a , 2 a ②若 ? ? 0 ,即 a ? 0 ,当 x ? ?5 时, f ( x) max ? 27 ? 5a . 2

综上所述:若 a ? 0 ,当 x ? 5 时, f ( x) max ? 27 ? 5a ; 若 a ? 0 ,当 x ? ?5 时, f ( x) max ? 27 ? 5a .

1 在 R 上是奇函数, 2 ?1 1 ? 0, ∴ f (0) ? 0 ,即 a ? 0 2 ?1 1 ∴a ? ; 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? x , 2 2 ?1 1 1 1 1 1 1 x ? 1,? ?1 ? ? x ? 0?? ? ? x ? , ∵ 2 ? 1 ? 1? 0 ? x 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1
21 解: (Ⅰ)∵函数 f ( x ) ? a ?
x

6

即?

1 1 ? y? , 2 2

1 1 , ); 2 2 f ( m) ? f ( n) ? f (0) . (Ⅲ)当 m ? n ? 0 时, m3 ? n3
所以函数 f ( x) 的值域为 ( ? 设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 ,

1 1 1 1 2 x2 ? 2 x1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( ? x2 ) ? ( ? x1 ) ? x2 2 2 ?1 2 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x1 ? 1)
∵ x1 ? x 2 , ∴2
x2

? 2 x1 ? 0, (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1) ? 0 ,

2 x2 ? 2 x1 ∴ x ?0 (2 2 ? 1)(2 x1 ? 1)
即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 所以函数 f ( x) ?

1 1 ? x 在 R 上是单调递增, 2 2 ?1

3 3 ①若 m ? n ? 0 ,即 m ? ?n ,所以 f (m) ? f (?n) , m ? (?n) ,

又因为 f ( x) ?

1 1 ? x 在 R 上是奇函数, 2 2 ?1

3 3 所以 f (?n) ? ? f (n) , f (m) ? f (n) ? 0, m ? n ? 0

f ( m) ? f ( n ) ? 0, m3 ? n3 f ( m) ? f ( n) ? f (0) ; 又因为 f (0) ? 0 ,所以 m3 ? n3 ②若 m ? n ? 0 ,即 m ? ?n ,
所以
3 3 所以 f (m) ? f (?n) , m ? (?n) ,

又因为 f ( x) ?

1 1 ? x 在 R 上是奇函数, 2 2 ?1

所以 f (?n) ? ? f (n) ,

f (m) ? f (n) ? 0, m 3 ? n 3 ? 0
所以

f ( m) ? f ( n ) ? 0, m3 ? n3

又因为 f (0) ? 0 , 所以

f ( m) ? f ( n) ? f (0) . m3 ? n3

综上所述:当 m ? n ? 0 时,

f ( m) ? f ( n) ? f (0) . m3 ? n3
7

8


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