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立体几何复习讲义1207


立体几何复习讲义

2012.07

【基础回扣】 1.平面 平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 (1)证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内 ,推出点在面内), 这样可 根据公理 2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 (2) 证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是 这两个平面的交线。 (3)证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面,然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. (1)空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线:共面有且仅有一个公共点;平行直线:共面没有公共点;异面直线:不 同在任一平面内,无公共点 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(× )(也可能两条直线平行,也可能是点和直线等) ②直线在平面外,指的位置关系是平行或相交 ③若直线 a、b 异面,a 平行于平面 ? ,b 与 ? 的关系是相交、平行、在平面 ? 内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(× )(射影不一定只有直线,也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(× )(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) .. ⑦ a , b 是夹在两平行平面间的线段,若 a ? b ,则 a , b 的位置关系为相交或平行或异面. ⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) (2). 两异面直线的距离:公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. [注]:l1 , l 2 是异面直线, 则过 l1 , l 2 外一点 P, 过点 P 且与 l1 , l 2 都平行平面有一个或没有, 但与 l1 , l 2 距离相等的点在同一平面内. ( L 1 或 L 2 在这个做出的平面内不能叫 L 1 与 L 2 平行的平面) 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1). 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. (2). 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行 ? 线 面平行”) [注]:①直线 a 与平面 ? 内一条直线平行,则 a ∥ ? . (× )(平面外一条直线) ②直线 a 与平面 ? 内一条直线相交,则 a 与平面 ? 相交. (× )(平面外一条直线) ③若直线 a 与平面 ? 平行,则 ? 内必存在无数条直线与 a 平行. (√)(不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (× )(可能在此平面内) ⑤平行于同一个平面的两直线平行.(× )(两直线可能相交或者异面) ⑥直线 l 与平面 ? 、 ? 所成角相等,则 ? ∥ ? .(× )( ? 、 ? 可能相交) (3). 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. (“线面平行 ? 线线平行”) (4). 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且 只有一个平面和一条直线垂直. ? 若 PA ⊥ ? , a ⊥ AO ,得 a ⊥ PO (三垂线定理), ? 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平 面. (“线线垂 直 ? 线面垂直”) 直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. (5)a.垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线 .. 段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短. [注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(× )] b.射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。 4. 平面平行与平面垂直. (1)空间两个平面的位置关系:相交、平行. (2)平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(“线面平行 ? 面面平行”) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. [注]:一平面内的任一直线平行于另一平面. (3). 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.(“面面平行 ? 线线平行”) (4). 两个平面垂直判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直判定二:如果一条直线与一个平面垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直 ? 面面垂直”) 注:如果两个二面角的平面分别对应互相垂直,则两个二面角没有什么关系. (5). 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面.
P O a A

简证:如图,在平面内过 O 作 OA、OB 分别垂直于 l 1 ,l 2 ,
?
B
θ

P

?
M A O

因为 PM ? ? , OA ? ? , PM ? ? , OB ? ? 则 PM ? OA , PM ? OB .所以结论成立 (6). 两异面直线任意两点间的距离公式: l ? 必有 ? ? ? 0 ,
? ?
2

m

?n ?d
2

2

? 2 mn cos ? ( ? 为锐角取减, ? 为钝角取加,综上,都取减则

? ?

? ) 2?

(7). a.最小角定理: cos ? ? cos ? 1 cos ? 2 ( ? 1 为最小角,如图) b.最小角定理的应用(∠PBN 为最小角) 简记为:成角比交线夹角一半大,且又比交线夹角补角一半长,一定有 4 条. 成角比交线夹角一半大,又比交线夹角补角小,一定有 2 条. 成角比交线夹角一半大,又与交线夹角相等,一定有 3 条或者 2 条. 成角比交线夹角一半小,又与交线夹角一半小,一定有 1 条或者没有.
θ θ1 θ2
图2 图1

【方法总结】 解答题在考查中经常涉及的知识及题型有:①证明“平行”和“垂直”;②求多面体的体积;③三种角的计算;④有关距离的计算;⑤多 面体表面积或体积的计算.这类问题的解法主要是化归思想,如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角,面面距离转化为线 面距离,再转化为点面距离等. 一题两法,支持新课程改革. 1.平行、垂直位置关系的论证 证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点: (1)理清平行、垂直位置关系的相互转化.

(2)由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路. (3)立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一. (4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明线线垂直时应优先考虑,应用时需要先认清所观察的平面及它的垂线, 从而明确斜线、射影、面内直线的位置,再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用方 法之一. 2.空间角的计算 主要步骤:一作、二证、三算;若用向量,那就是一证、二算. (1)两条异面直线所成的角①平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,常常利用中位线或成比例 线段引平行线. ②补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面 直线间的关系. ③向量法:直接利用向量的数量积公式 cos ? = ?

? (注意向量的方向). |a |?|b |

? ? a· b

(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角,关键是作垂线、找射影转化到同一三角形中计算,或用向量计算.②用公式计算

???? ? ? ? | PM n ? ? (PM ? 直线 l,M∈面 ? , ? 是 l 与 ? 所成的角, n 是 面 ? 的法向量). sin ? = ???? | PM | ? | n |
(3)二面角 ①平面角的作法:求两平面所成的二面角,就是要求出它的平面角,作二面角的平面角关键在于寻求棱上一点出发的两 条垂线(分别位于两个平面内).但如果两垂线不同时出现于特殊位置上,就需要构思出二面角的平面角.构思的一般方法是:(1) 利用三垂线定理或逆定理,过一个面内一点分别作另一个平面的垂线、棱的垂线,连结两个垂足,可以得到二面角的平面角;(2)寻 找(或证明)棱垂直于过棱上一点的两条相交直线(分别位于两个面内)所确定的平面.②平面角计算法: (ⅰ)找到平面角,然后在 三角形中计算(解三角形)或用向量计算. (ⅱ)射影面积法: (ⅲ)向量夹角公式:

? ? ? ? ? ?a ? n ? 0 ? *求平面的法向量:①找;②求:设 a , b 为平面 ? 内的任意两个向量, n =(x,y,1)为 ? 的法向量, 则由方程组 ? ? ? ,可求得 ?b ? n ? 0 ?
?
法向量 n . 3.空间距离的计算

(1)两点间距离公式(线段的长度) | A B |? | A B |?

??? ?

( xA ? xB ) ? ( y A ? yB ) ? ( z A ? zB )
2 2

2

(2)求点到直线的距离,经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线,然后在相关的三角形中求解,也可以借助于面积相等求出点到 直线的距离.(可用向量法来计算) (3)求两条异面直线间距离,一般先找出其公垂线,然后求其公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下,可转化为线面距离求 解(这种情形高考不作要求). (4)求点到平面的距离,一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线,进而计算; 也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时,我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距 离,从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”.求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解. 【难点突破 1】寻找二面角的平面角的方法 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在 60 的二面角 ? - a - ? 的两个面内,分别有 A 和 B 两点.已知 A 和 B 到棱的距离分别为 2 和 4,且线段 AB ? 10 ,
?

试求:(1)直线 AB 与棱 a 所构成的角的正弦值;(2)直线 AB 与平面 ? 所构成的角的正弦值.

分析:求解这道题,首先得找出二面角的平面角,也就是找出 60 角在哪儿.如果解决了这个问题,这道题也就解决了一半. 根据题意,在平面 ? 内作 AD ? a ;在平面 ? 内作 BE ? ? , CD // EB ,连结 BC 、 AC .可以证明 CD ? a ,则由二 面角的平面角的定义,可知 ? ADC 为二面角 ? - a - ? 的平面角.以下求解略. 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角 例2 如图,在平面 ? 内有一条直线 AC 与平面 ? 成 30 , AC 与棱 BD 成 45 ,求平面 ? 与平面 ? 的二面角的大小.
? ?

?

分析:找二面角的平面角,可过 A 作 AF ? BD ; AE ? 平面 ? ,连结 FE .由三垂线定理 可证 BD ? EF ,则 ? AFE 为二面角的平面角. 总结: (1)如果两个平面相交,有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线,可过这一点向 棱作垂线,连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直,那么就可以找到二面角 的平面角. (2)在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时,注意“作”、“连”、“证”,即“作 AF ? BD ”、“连结 EF ”、“证明 EF ? BD ”. 三、作二面角棱的垂面,垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角,即为二面角的平面角 例 3 如图 1,已知 P 为 ? - CD - ? 内的一点, PA ? ? 于 A 点, PB ? ? 于 B 点,如果 ? APB ? n ,试求二面角
?

? - CD - ? 的平面角.

图1
? CD ? 平面 PAB .

图2

分析:

PA ? ? ? PA ? CD PB ? ? ? PB ? CD

因此只要把平面 PAB 与平面 ? 、 ? 的交线画出来即可.证明 ? AEB 为 ? - CD - ? 的平面角, ? AEB ? 180 2).

?

? n (如图

?

注意:这种类型的题,如果过 A 作 AE ? CD ,垂足为 E ,连结 EB ,我们还必须证明 EB ? CD ,及 AEBP 为平面图形, 这样做起来比较麻烦. 例4 已知斜三棱柱 ABC - A1 B1C 1 中,平面 AB 1 与平面 AC 1 构成的二面角的平面角为 30 ,平面 AB 1 与平面 BC 1 构成的二
? ?

面角为 70 .试求平面 AC 1 与平面 BC 1 构成的二面角的大小. 分析:作三棱柱的直截面,可得△ DEF , 其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两 构成的二面角的平面角. 总结:对棱柱而言,其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角,分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角. 四、平移平面法 例 5

2 如图,正方体 ABCD - A1 B1 C 1 D 1 中, E 为 AA 1 的中点, H 为 CC 1 上的点,且 CH : C 1 H ? 1: .设正方体的棱长

为 a ,求平面 D 1 EH 与底面 A1 B1 C 1 D 1 构成的锐角的正切. 分析:本题中,仅仅知道二面角棱上的一点 D 1 ,在这种情况下,寻找二面角的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个 平面构成的角的大小的原理,如果能把二面角中的一个平面平移,找出辅助平面与另一个平面的交线,就可 以作出二面角的平面角.有了平面角之后,只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算,就可以解决问题 了. 如图,过点 E 作 EM // A1 D 1 与 D 1 D 相交于 M 点,过 M 点作 MN ? C 1 D 1 ,与 D 1 H 相交于 N 点.可证平面 EMN // 平面 A1 B1 C 1 D 1 .这样,求平面 D 1 EH 与平面 A1 B1 C 1 D 1 的二面角的平面角就转化

F 为求平面 D 1 EH 与平面 EMN 的二面角的平面角. 显然 EN 为这两个平面的交线, 过点 M 作 MF ? EN , 为垂足, 连结 D 1 F ,
可证 D 1 F ? EN .则 ? D 1 FM 为本题要寻找的二面角. 五、找垂面,作垂线 例 6 如图,正方体 ABCD - A1 B1 C 1 D 1 中, M 为棱 AD 的中点,求平面 B 1 C 1 CB 和平面

BC 1 M 所构成的锐二面角的正切.
分析:平面 AC 与二面角 M - BC 1 - C 的一个面 B1C 垂直,与另一个平面 MB C 1 相交,过 M 点 作 MP ? BC ,垂足为 P ,过 P 作 PN ? BC ,交 B C 1 于 N 点,连结 MN ,由三垂线定理可证

MN ? BC 1 ,则 ? MNP 为二面角 M - BC 1 - C 的平面角.
总结:当一个平面与二面角的一个平面垂直,与另一个平面相交时,往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交 线的垂线,再过垂足作二面角棱的垂线.根据三垂线定理即可证明,并找出二面角的平面角.再如图,要找 ? - a - ? 所构成的二面角的平面角,可找平面 ? ? ? ,且 ? ? ? ? b , ? ? ? ? l ,过 b 上任何一点 A 作 AB ? l ,垂足 为 B ,过 B 作 BC ? ? ,垂足为 C ,连结 AC ,可证 ? ACB 为 ? - a - ? 的平面角. 【难点突破 2】例析无棱二面角求解策略

例 如图一,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是矩形, P A ? 平面 A B C D , A P ? A B ? 2 , B C ? 2 别是 A D , P C 的中点.(1)证明: P C ? 平面 B E F ;(2)求平面 B E F 与平面 B A P 夹角的大小.

2 , E, F 分

方法一:垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面,此平面截得的图形便是二面角的平面角. 如图一:? P A ? 平面 A B C D , B C ? 平面 A B C D ,? P A ? B C . 又 ? BC ? AB , AB ? PA ? A , ? BC ? 平 面 BAP . 又 ? BC ? 平 面 PBC , ? 平 面

P B C ? 平面 B A P .由题 (1) P C ? 平面 B E F ,P C ? 平面 B E F , 平面 P B C ? 平面 B E F . , ?
所以 ? P B F 是所求二面角的平面角. 方法二:平移平面法 如果两平行平面同时与第三个平面相交,那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互 补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角. 如 图 二 : 取 B C 的 中 点 G , 连 接 F G , E G . ? E , F 分 别 是 A D, P C的 中 点 ,

? E G?

A ,B F ?G

P B .又? F G ? E G ? G , A B ? P B ? B ,? 平面 E F G ? 平面 B A P .

? 二面角 B ? E F ? G 的大小就是平面 B E F 与平面 B A P 夹角的大小.
可以证明 ? B F G 为二面角 B ? E F ? G 的平面角,并求出其大小为
'

?
4

.

方法三:射影法利用公式 c o s ? ?

S S

,其中 S 表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积, S 表示此多边形在另一个半平面

'

射影的面积, ? 表示原图形与射影图形所成的二面角. 如图三:取 P B 的中点 H ,连接 F H , A H ,? F 为 P C 中点, ? F H ? B C , A E ? B C .由解法一 知, B C ? 平面 B A P ,? F H ? 平面 B A P , A E ? 平面 B A P ,? 点 F 、 E 在平面 B A P 内的射影分 别为 H 、 A . ? ? B E F 在平面 B A P 上的射影为 ? B A H .可以证明 ? B E F 和 ? B A H 均为直角三角 形.? H F ? B C , A E ? B C , H F ? B C ?

1 2

B C ,? 四边形 H F E A 为平行四边形, E F ? A E .记平 ?
2 2

面 B E F 与平面 B A P 夹角为 ? ,则 co s ? ?

S ?BAH S ?BEF

?

,所以 ? ?

?
4

,即平面 B E F 与平面 B A P 夹角为

?
4

.

方法四:补棱法补棱通常是利用公理 3 找到二面角的两个公共点,公共点的连线即为二面角的棱;或者是 利用线面平行的性质定理,添加辅助线或补形以作出二面角的棱,使无棱二面角变为有棱二面角. 如 图 四 : 取 BP 的 中 点 H , 延 长 PA 至 G , 使 点 A 为 PG 的 中 点 , 连 接

H F , A H , B G , E G .? A H ? B G ,由解法三知 E F ? A H ,? E F ? B G ,四边形 E F B G 为平面四边形
平面 P B G ? 平面 E F B G ? B G ,所以 B G 为所求二面角的棱.可证明 ? P B F 为所求二面角的平面角,算得

?PBF ?

?
4

.

【针对训练】 1、 (河北省石家庄市 2012 届高三上学期教学质量检测) 如图, 在四棱锥 P - ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ? BAD = 60 , AB = 2 , PA =1 , PA ? 平面 ABCD , E
0

是 PC 的中点, F 是 AB 的中点. (Ⅰ) 求证:BE ∥平面 PDF ; (Ⅱ) 求证: 平面 PDF ⊥平面 PAB ; (Ⅲ) 求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的大小.

2、(福建省三明市普通高中 2011-2012 学年第一学期联合命题考试高三数学(理科)试题) 如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, ? A ? 60 , ? C ? 90 , CD ? 2 ,把△ ABD
? ?

沿 BD 折起(如图 2),使二面角 A―BD―C 的余弦值等于

3 3

。对于图 2,完成以下各小题:

(1)求 A,C 两点间的距离;(2)证明:AC ? 平面 BCD;(3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值。

F
3、(江苏省苏北四市 2012 届高三元月调研)如图,在梯形 A B C D 中, A B / / C D ,

M E

AD ? DC ? CB ? 2 , ? CAB ? 30 ,四边形 A C F E 为矩形,平面 A C F E ? 平面 A B C D , CF ? 3 .
(Ⅰ)求证: B C ? 平面 A C F E ; (Ⅱ)设点 M 为 EF 中点,求二面角 B ? AM ? C 的余弦值.

?

D

C

A

B

4、(湖北省武昌区 2012 届高三元月调研)在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是边长为 2

3 的正三角形,点 A1 在底面 ABC 上的射影

O 恰是 BC 的中点.(Ⅰ)求证:A1A⊥BC;(Ⅱ)当侧棱 AA1 和底面成 45° 角时,求二面角 A1—AC—B 的大小余弦值; (Ⅲ)若 D 为侧棱 A1A 上一点,当

A1 D DA

为何值时,BD⊥A1C1.

A1 D B1

C1

A B
5、(2012 届厦门市高三上期末质量检查)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,四 个侧面都是等边三角形,AC 与 BD 的交点为 O,E 为侧棱 SC 上一点。 (1)求证:平面 B D E ? 平面 SA C

C O

(2)当二面角 E ? B D ? C 的大小为 4 5 ? 时,试判断点 E 在 SC 上的位置,并说明理由。

6、 (黑龙江省绥化市 2012 年高三质量检测)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ? B A D ? 60 ,Q 为 A D 的 中点, P A ? P D ? A D ? 2 .

?

P M

P (Ⅰ) 求证:AD ? 平面 P Q B ; Ⅱ) M 在线段 P C 上, M ? tP C , ( 点 试确定 t 的值, 使 P A // 平面 M Q B ;
(Ⅲ)若 P A // 平面 M Q B ,平面 P A D ? 平面 ABCD ,求二面角 M ? B Q ? C 的大小.
D Q A N

C B

7、(北京市东城区 2011-2012 学年度高三第一学期期末统测)如图(1)在等腰 ? ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC 和 BC 边的中点,

? ACB ? 120 ,现将 ? ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B.(如图(2))
(I)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系, 并说明理由; (II).求二面角 E-DF-C 的余弦值; (III)在线段 BC 是否存在一点 P, AP ? DE? 但 证明你的结论.

?

【答案解析】

1、 ∵ DF ? 平面 PDF ∴ 平面 PDF ⊥平面 PAB . 8 分(Ⅲ) 60
0

2、(1)取 BD 的中点 E,连接 AE,CE,由 AB=AD,CB=CD 得, AE ? BD ,D,

? BD ,

? ? AEC 就是二面角 A―BD―C 的平面角,? cos ? AEC ?
在△ACE 中, AE ?

3 3

? ? ? ? ? ? 1分

6,CE

?

2,

AC

2

? AE

2

? CE 6?
2

2

? 2 AE · 穋os ? AEC CE 2?
2

? 6 ? 2 ? 2?

3 3

? 4 ,? AC ? 2 ? ? ? ? 3 分
2 2

? AC

? BC

? AB ,AC
?

? CD

2

? AD ,
2

(2)由 AC=AD=BD=2

2 ,AC=BC=CD=2,? ? ACB

? ? ACD ? 90 ? ? ? ? 4 分 ? CD , 又 BC ? CD ? C ,

(3)根号 3 除 3

? AC ? BC ,C,

? AC ? 平面 BCD ? ? ? ? ? ? 6 分

3 、

(1) 证 明 : AD ? DC ? CB ? 2 , ? ABC ? 60 , ? 面 ACEF

?

则 AB ? 4 , AC

2

? 12 , 则 得
M

F

AB

2

? AC

2

? BC

2

? BC ? AC

F ? 平 面 A B C D 面 A C E ? 平 面 , E
H D

A B C D AC ? BC ? 平面 ACEF 7 分 ?
( II ) 过 C 作 CH ? AM 交 AM 于 点 H , 连 BH , 则 ? CHB 为 二 面 角

C

B ? AM ? C 的 平 面 角 , 在 RT ? B H C 中 , CH ? 3 , HB ?
3 13 13 3 13 13

13 ,
A

cos ? CHB ?

,则二面角 B ? AM ? C 的余弦值为



(第 20 题)

B

4、法一:(Ⅰ)连结 AO,∵A1O⊥面 ABC,AO⊥BC.∴A1A⊥BC.……………3 分(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠A1AO=45° 由底面是边长为 2 3 的正三角形,可知 AO=3∴A1O=3,AA1=3
2 过 O 作 OE⊥AC 于 E,连结 A1E,则∠A1EO 为二面角 A1—AC—B 的平面角

∵OE=

AO 5 3 3 ? 2 ,∴tan∠A1EO= 1 ? 即二面角 A1—AC—B 的大小余弦值为 .(Ⅲ)过 D 作 DF∥A1O,交 AO 于 F,则 5 2 OE 3 2

DF⊥平面 ABC. ∴BF 为 BD 在面 ABC 内的射影, 又∵A1C1∥AC, ∴要使 BD⊥A1C1, 只要 BD⊥AC, 即证 BF⊥AC, ∴F 为△ABC 的中心,∴
A1 D DA ? OF ? 1 FA 2

5、(1)由已知可得,SB=SD,O 是 BD 的中点,所以 BD⊥SO 所以 BD⊥AC, 3 分因为 AC∩SO=O,所以 BD⊥面 SAC. BDE⊥平面 SAC. E 是 SC 的中点. 12 分 6、(Ⅰ)连接 BD 4 分(Ⅱ)当 t ?

2 分又因为四边形 ABCD 是正方形, 4 分又因为 BD ? 面 BDE,所以平面

5 分(2)易证,SO⊥面 ABCD,AC⊥BD.建立如图所示的空间直角坐标系.所以点

1 3

时, PA ∥平面 MQB .下面证明:连接 AC 交 BQ 于

N ,连接 MN .因为 AQ ∥ BC ,所以

AN NC

?

AQ BC

?

1 2

. 因为 PA ∥平面 MQB , P A ? 平

面 PAC ,平面 M Q B ? 平面 P A C ? M N ,所以 M N ∥ PA .所以
1 3

PM

?

AN

?

1

.所以

PM ?

PC

MC NC 2 1 1 PM 1 PM AN 1 PC , ? . ? ? , 所以 M N , t ? . 因为 PM ? 即 所以 所以 3 3 MC 2 MC NC 2

PA ? 平面 MQB , ∥ PA .又 MN ? 平面 MQB , 所以 PA ∥平面 MQB . …………9 分 (Ⅲ) 因为 PQ ? AD ,
P

z

又 平 面
M

PAD ? 平面 ABCD ,交线为 A D ,
所以 PQ ? 平面 ABCD .以 Q 为坐标原点,故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°…14 分
D

C y

7、(I)(II)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB 是二面角 A—CD—B 的平面角,∴AD⊥BD,∴AD⊥平面 BCD,取 CD 的点 M,使 EM∥AD,∴EM⊥平面 BCD,过 M 作 MN⊥DF 于点 N,连结 EN,则 EN⊥DF, ∴∠MNE 是二面角 E—DF—C 的平面角.……6 分设 CD=a,则 AC=BC=2a , AD=DB= 3 a , △DFC

Q A x N B

中,设底边 DF 上的高为 h 由 S ? D F C ?

1 2

?

3a ? a ?

1 2

?

3 1 1 3 1 1 a 在 Rt△EMN 中, a, ? ? 2 a ? h , ∴h= EM= A D ? MN= 2 2 2 2 2 2

h=

3 4

a ,∴tan∠MNE=2 从而 cos∠MNE =

5 5

……8 分

(Ⅲ)在线段 BC 上不存在点 P,使 AP⊥DE,证明如下:在图 2 中, 作 AG⊥DE,交 DE 于 G 交 CD 于 Q 由已知得∠AED=120° ,于是点 G 在 DE 的延长线上,从而 Q 在 DC 的延长线上,过 Q 作 PQ⊥CD 交 BC 于 P ∴PQ⊥平面 ACD ∴PQ⊥DE∴DE⊥平面 APQ∴AP⊥DE.但 P 在 BC 的延长线上。… 12 分


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