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北京市重点中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年北京市重点中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 2 1. (4 分)已知全集 U=R,集合 P={x|x ≤1},那么?UP=() A.(﹣∞,﹣1] B. D. 2. (4 分)下列函数是偶函数的是() A.y=x B.y=2x ﹣3
2

(﹣∞, ﹣1)

∪ (1, +∞)

C.y=

D.y=x ,x∈

2

3. (4 分)下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1、x2∈(0,+∞) ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)> f(x2)的是() A.f(x)= B.f(x)=(x﹣1) C.f(x)=e
2 x

D.f(x)=ln(x+1)

4. (4 分)若函数 f(x)=loga(x﹣1) (a>0,a≠1)的图象恒过定点,则定点的坐标为() A.(1,0) B.(2,0) C.(1,1) D.(2,1)

5. (4 分)已知函数 A.﹣2 6. (4 分)设 α∈ 为() A.﹣1,1,3 B. ,1 B. 2

,则 f=() C. 1
α

D.﹣1

,则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 的值

C.﹣1,3

D.1,3

7. (4 分)函数 f(x)=πx+log2x 的零点所在区间为() A. B. C. 8. (4 分)设 a=0.3 ,b=2 ,c=log0.34,则() A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a 9. (4 分) 已知函数 上是增函数,若函数 在 在 B. (0,5)
2 0.3

D.

D.c<a<b 上是减函数, 在 C. 是函数 y=f(x)的一对“友好

点对”(点对与看作同一对“友好点对”) , 已知函数 f(x)= ,则此函数的“友好点对”有()

A.0 对

B. 1 对

C. 2 对

D.3 对

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分,把答案填在题中横线上) 11. (4 分) =.

12. (4 分)幂函数 f(x)的图象过点(3, .

) ,则 f(x)的解析式是

13. (4 分)用二分法求方程 f(x)=0 在区间(0,2)的近似根,f(1)=﹣2,f(1.5)=0.625, f(1.25)=﹣0.984,f(1.375)=﹣0.260,下一个求 f(m) ,则 m=. 14. (4 分)我国 2000 年底的人口总数为 M,要实现到 2010 年底我国人口总数不超过 N(其 中 M<N) ,则人口的年平均自然增长率 p 的最大值是.

15. (4 分)已知函数 f(x)=

是 R 上的增函数,则 a 的取值范围

是. 16. (4 分)已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上是减函数,且 f( )=2,则不等 式 f(2 )>2 的解集为.
x

三、解答题:本大题有 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (8 分)已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5﹣a<x<a}. (1)求 A∪B, (?RA)∩B; (2)若 C?(A∪B) ,求 a 的取值范围. 18. (8 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(4﹣2x) (a>0,且 a≠1) . (1)求函数 f(x)﹣g(x)的定义域; (2)求使函数 f(x)﹣g(x)的值为正数的 x 的取值范围. 19. (10 分)已知函数 ,且 f(4)=3.

(1)判断 f(x)的奇偶性并说明理由; (2)判断 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论; (3)若对任意实数 x1,x2∈,有|f(x1)﹣f(x2)|≤t 成立,求 t 的最小值.

20. (10 分)某商品近一个月内(30 天)预计日销量 y=f(t) (件)与时间 t(天)的关系如 图 1 所示,单价 y=g(t) (万元/件)与时间 t(天)的函数关系如图 2 所示, (t 为整数)

(1)试写出 f(t)与 g(t)的解析式; (2)求此商品日销售额的最大值?

2014-2015 学年北京市重点中学高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1. (4 分)已知全集 U=R,集合 P={x|x ≤1},那么?UP=() A.(﹣∞,﹣1] B. D.
2

(﹣∞, ﹣1) ∪ (1, +∞)

考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 P 中的不等式的解集,然后由全集 U=R,根据补集的定义可知,在全集 R 中不属于集合 P 的元素构成的集合为集合 A 的补集,求出集合 P 的补集即可. 解答: 解:由集合 P 中的不等式 x ≤1,解得﹣1≤x≤1, 所以集合 P=,由全集 U=R, 得到 CUP=(﹣∞,1)∪(1,+∞) . 故选 D 点评: 此题属于以不等式的解集为平台,考查了补集的运算,是一道基础题. 2. (4 分)下列函数是偶函数的是() A.y=x B.y=2x ﹣3
2 2

C.y=

D.y=x ,x∈

2

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 偶函数满足①定义域关于原点对称;②f(﹣x)=f(x) . 解答: 解:对于选项 C、D 函数的定义域关于原点不对称,是非奇非偶的函数; 对于选项 A,是奇函数; 对于选项 B 定义域为 R,并且 f(x)=f(x)是偶函数. 故选 B.

点评: 本题考查了函数奇偶性的判定;①判断函数的定义域是否关于原点对称;②如果不 对称是非奇非偶的函数;如果对称,再利用定义判断 f(﹣x)与 f(x)的关系. 3. (4 分)下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1、x2∈(0,+∞) ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)> f(x2)的是() A.f(x)= B.f(x)=(x﹣1) C.f(x)=e
2 x

D.f(x)=ln(x+1)

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 综合题. 分析: 根据题意和函数单调性的定义,判断出函数在(0,+∞)上是减函数,再根据反比例 函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断. 解答: 解:∵对任意 x1、x2∈(0,+∞) ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) , ∴函数在(0,+∞)上是减函数; A、由反比例函数的性质知,此函数函数在(0,+∞)上是减函数,故 A 正确; 2 B、由于 f(x)=(x﹣1) ,由二次函数的性质知,在(0,1)上是减函数, 在(1,+∞)上是增函数,故 B 不对; C、由于 e>1,则由指数函数的单调性知,在(0,+∞)上是增函数,故 C 不对; D、根据对数的整数大于零得,函数的定义域为(﹣1,+∞) ,由于 e>1,则由对数函数的单 调性知,在(0,+∞)上是增函数,故 D 不对; 故选 A. 点评: 本题考查了函数单调性的定义,以及基本初等函数的单调性,即反比例函数、二次 函数、指数函数和数函数的单调性的应用. 4. (4 分)若函数 f(x)=loga(x﹣1) (a>0,a≠1)的图象恒过定点,则定点的坐标为() A.(1,0) B.(2,0) C.(1,1) D.(2,1) 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 loga1=0 得 x﹣1=1,求出 x 的值以及 y 的值,即求出定点的坐标. 解答: 解:∵loga1=0, ∴当 x﹣1=1,即 x=2 时,y=0, 则函数 y=loga(x﹣1)的图象恒过定点 (2,0) . 故选:B. 点评: 本题考查对数函数的性质和特殊点,主要利用 loga1=0,属于基础题.

5. (4 分)已知函数 A.﹣2 考点: 函数的值. 专题: 计算题. B. 2

,则 f=() C. 1 D.﹣1

分析: 本题考查的分段函数的函数值,由函数解析式,我们可以先计算 f(﹣1)的值,再 根据 f(﹣1)的值或范围,代入相应的解析式求出最后的结果. 解答: 解:∵﹣1<0, ∴f(﹣1)=2 = ,且 >0, ∴f=f( )=log2 =﹣1 故选 D. 点评: 本题考查分段函数求函数值,按照由内到外的顺序逐步求解.要确定好自变量的取 值或范围,再代入相应的解析式求得对应的函数值 6. (4 分)设 α∈ 为() A.﹣1,1,3 B. ,1 C.﹣1,3 D.1,3
α
﹣1

,则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 的值

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的性质,我们分别讨论 a 为﹣1,1, ,3 时,函数的定义域和奇偶性, 然后分别和已知中的要求进行比照,即可得到答案. 解答: 解:当 a=﹣1 时,函数的定义域为{x|x≠0},不满足定义域为 R; α 当 a=1 时,函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数,满足要求; 当 a= 函数的定义域为{x|x≥0},不满足定义域为 R; 当 a=3 时,函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数,满足要求; 故选:D 点评: 本题考查的知识点是奇函数,函数的定义域及其求法,其中熟练掌握幂函数的性质, 特别是定义域和奇偶性与指数 a 的关系,是解答本题的关键. 7. (4 分)函数 f(x)=πx+log2x 的零点所在区间为() A. B. C.
α

D.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 根据函数的零点存在性定理,把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入 函数的解析式中,得到函数值,把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了,得到结果. 解答: 解:∵f( )= ∴只有 f( )?f( )<0, ∴函数的零点在区间上. 故选 C. <0,f( )= <0,f( )= >0,f(1)=π,

点评: 本题考查函数零点的存在性判定定理,考查基本初等函数的函数值的求法,是一个 基础题,这是一个新加内容,这种题目可以出现在高考题目中. 8. (4 分)设 a=0.3 ,b=2 ,c=log0.34,则() A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a
2 0.3

D.c<a<b

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性可分别判断 a、b、c 与 0 与 1 的大小关系,从而可 求得答案. 2 0 解答: 解:∵0<0.3 <0.3 =1, 0.3 0 2 >2 =1, log0.34<log0.31=0, ∴c<a<b. 故选 D. 点评: 本题考查指数函数与对数函数的单调性,熟练掌握它们的性质是解决问题的关键, 属于中档题.

9. (4 分) 已知函数 上是增函数,若函数 在

在 B. (0,5)

上是减函数, 在 C. 上是减函数,在上是减函数,

在, 故选 A. 点评: 本题考 查函数的单调性及其应用,考查“对勾”的单调性特点,属中档题. 10. (4 分)若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件: ①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上; ②P、Q 关于原点对称,则称点对是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友 好点对”) , 已知函数 f(x)= A.0 对 B. 1 对 ,则此函数的“友好点对”有() C. 2 对 D.3 对

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 压轴题;新定义. 2 分析: 根据题意:“友好点对”,可知,欲求 f(x)的“友好点对”,只须作出函数 y=﹣x ﹣4x (x≤0)的图象关于原点对称的图象,看它与函数 f(x)=log2x(x>0)交点个数即可. 2 2 解答: 解:根据题意:当 x>0 时,﹣x<0,则 f(﹣x)=﹣(﹣x) ﹣4(﹣x)=﹣x +4x, 2 可知,若函数为奇函数,可有 f(x )=x ﹣4x, 2 2 则函数 y=﹣x ﹣4x(x≤0)的图象关于原点对称的函数是 y=x ﹣4x 2 由题意知,作出函数 y=x ﹣4x(x>0)的图象, 看它与函数 f(x)=log2x(x>0)交点个数即可得到友好点对的个数.

如图, 观察图象可得:它们的交点个数是:2. 即 f(x)的“友好点对”有:2 个. 故答案选 C. 点评: 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性, 以及数形结合的思想, 解答的关键在于对“友 好点对”的正确理解,合理地利用图象法解决. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分,把答案填在题中横线上) 11. (4 分) =4.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: = +1+ =4.

解答: 解:

=

+1+

= +1+ =4, 故答案为:4. 点评: 本题考查了指数幂的运算,属于基础题.

12. (4 分)幂函数 f(x)的图象过点(3, f(x)= .

) ,则 f(x)的解析式是

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 待定系数法. 分析: 幂函数 f(x)的图象过点(3, ) ,故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函

数的解析式,代入 所给点的坐标求参数,由此可得函数的解析式. a 解答: 解:由题意设 f(x)=x , ∵幂函数 f(x)的图象过点(3, ∴f(3)=3 = ∴a= ∴f(x)= 故答案为:f(x)= 点评: 本题的考点是幂函数的单调性、奇偶性及其应用,考查用待定系数法求已知函数类 型的函数的解析式, 待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法, 主要用求函数类型已知 的函数的解析式. 13. (4 分)用二分法求方程 f(x)=0 在区间(0,2)的近似根,f(1)=﹣2,f(1.5)=0.625, f(1.25)=﹣0.984,f(1.375)=﹣0.260,下一个求 f(m) ,则 m=1.4375. 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是用二分法求方程的近似解,由二分法的步骤,我们可得,若,f (1)=﹣2,f(1 .5)=0.625,f(1.25)=﹣0.984,f(1.375)=﹣0.260,故方程 f(x)=0 的根 应在区间(1.375,1.5)上,故下一个求 f(m)时,m 就为区间(1.375,1.5)的中点,利用 中点公式代入即可求解. 解答: 解:f(1)=﹣2,f(1.5)=0.625, f(1.25)=﹣0.984,f(1.375)=﹣0.260, ∴方程 f(x)=0 的根应在区间(1.375,1.5)上, 故下一个求 f(m)时,m 就为区间(1.375,1.5)的中点, 即 m= =1.4375
a

) ,

故答案为:1.4375 点评: 在使用二分法求在区间(x,y)上连续的函数 f(x)的零点时,若 f(a) ,f(b)异 号,则下一步我们要求 f: ①如果 f=0,该点就是零点,

②如果 f 与 f(b)异号,则在区间( ③如果 f 与 f(a)异号,则在区间(a,

,b)内有零点, )内有零点.

14. (4 分)我国 2000 年底的人口总数为 M,要实现到 2010 年底我国人口总数不超过 N(其 中 M<N) ,则人口的年平均自然增长率 p 的最大值是 ﹣1.

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可知,从 2000 年底到 2010 年底我国每一年底的人口总数构成等比数列,且 公比 q=1+p,然后由数列的第 10 项小于等于 N 列式求 p 的最大值. 解答: 解:设 2000 年底的人口总数为 a1=M,2010 年底我国人口总数的最大值 a10=N, 则由题意可知,从 2000 年底到 2010 年底我国每一年底的人口总数构成等比数列,且公比 q=1+p, 所以 M(1+p) ≤N,即 故答案为 .
10



点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了指数不等式的解法,是基础的运算题.

15. (4 分)已知函数 f(x)=

是 R 上的增函数,则 a 的取值范围

是(﹣∞,0) . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用函数的单调性的性质, 可得 1﹣2a>1, 且 a<0, 由此求得 a 的取值范围.

解答: 解:由于函数 f(x)=

是 R 上的增函数,∴1﹣2a >1,

且 a<0, 求得 a<0, 故答案为: (﹣∞,0) . 点评: 本题主要考查函数的单调性的性质,属于基础题. 16. (4 分)已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上是减函数,且 f( )=2,则不等 式 f(2 )>2 的解集为(﹣1,+∞) .
x

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由于定义域为 R 的偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上是减函数,则 f(x)在上是减函数, 则 f(x)在 (1)求 A∪B, (?RA)∩B; (2)若 C?(A∪B) ,求 a 的取值范围. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题;数形结合;分类讨论. 分析: (1)把集合 A 和 B 用数轴表示出来,由图和运算定义求出并集、补集和交集; (2)因集合 C 含有参数故需要考虑 C=?和 C≠?两种情况,再由子集的定义求出 a 的范围,最 后要把结果并在一起. 解答: 解: (1)由题意用数轴表示集合 A 和 B 如图:

由图得,A∪B={x|2<x<10},?RA={x|x<3 或 x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}(6 分) (2)由(1)知 A∪B={x|2<x<10}, ①当 C=?时,满足 C?(A∪B) ,此时 5﹣a≥a,得 ; (8 分)

②当 C≠?时,要 C?(A∪B) ,则

,解得

; (12 分)

由①②得,a≤3. 点评: 本题考查了集合的混合运算和子集的定义应用,对于集合含有参数一定注意集合为 空集时,故需要进行分类求解,当集合用不等式表示时,借助于数轴来求交集、并集和补集, 更直观、准确,考查了数形结合和分类讨论思想. 18. (8 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(4﹣2x) (a>0,且 a≠1) . (1)求函数 f(x)﹣g(x)的定义域; (2)求使函数 f(x)﹣g(x)的值为正数的 x 的取值范围. 考点: 对数函数的定义域;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 综合题. 分析: (1)分别把 f(x)和 g(x)的解析式代入到 f(x)﹣g(x)中,根据负数和 0 没有 对数得到 x+1 和 4﹣2x 都大于 0, 列出关于 x 的不等式组, 求出不等式组的解集即为函数 f (x) ﹣g(x)的定义域; (2)f(x)﹣g(x)的值正数即为 f(x)﹣g(x)大于 0,即 f(x)大于 g(x) ,将 f(x) 和 g(x)的解析式代入后,分 a 大于 0 小于 1 和 a 大于 1 两种情况由对数函数的单调性即可 列出 x 的不等式,分别求出不等式的解集,即可得到相应满足题意的 x 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意可知,f(x)﹣g(x)=loga(x+1)﹣loga(4﹣2x) ,





解得



∴﹣1<x<2, ∴函数 f(x)﹣g(x)的定义域是(﹣1,2) . (2)由 f(x)﹣g(x)>0,得 f(x)>g(x) ,即 loga(x+1)>loga(4﹣2x) ,① 当 a>1 时,由①可得 x+1>4﹣2x,解得 x>1,又﹣1<x<2, ∴1<x<2; 当 0<a<1 时,由①可得 x+1<4﹣2x,解得 x<1,又﹣1<x<2, ∴﹣1<x<1. 综上所述:当 a>1 时,x 的取值范围是(1,2) ; 当 0<a<1 时,x 的取值范围是(﹣1,1) . 点评: 此题考查学生会求对数函数的定义域,掌握对数函数的单调性,是一道综合题.

19. (10 分)已知函数

,且 f(4)=3.

(1)判断 f(x)的奇偶性并说明理由; (2)判断 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论; (3)若对任意实数 x1,x2∈,有|f(x1)﹣f(x2)|≤t 成立,求 t 的最小值. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(4)=3 可得 n=1,于是 f(x)=x﹣ ,易求其定义域为(﹣∞,0)∪(0, +∞)且 f(﹣x)=﹣f(x) ,从而可判断其奇偶性; (2)任取 0<x1<x2,作差后整理得:f(x2)﹣f(x1)=(x2﹣x1) (1+ ) ,易判断 f

(x2)﹣f(x1)>0,于是知 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; (3)依题意只需 t≥|f(x1)﹣f(x2)|max,而≥|f(x1)﹣f(x2)|max=f(x)max﹣f(x)min=f (3)﹣f(1) ,从而可得 t 的最小值. n n 解答: 解: (1)∵f(4)=4 ﹣1=3 即 4 =4, ∴n=1, ∴f(x)=x﹣ , ∵函数定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且 f(﹣x)=﹣x+ =﹣(x﹣ )= ﹣f(x) , ∴f(x)是奇函数; (2)任取 0<x1<x2, 则 f(x2)﹣f(x1)

=x2﹣x1﹣ =x2﹣x1+

+ (x2﹣x1) ) ,

=(x2﹣x1) (1+

∵0<x1<x2, ∴x2﹣x1>0,x1?x2>0, ∴(x2﹣x1) (1+ )>0,

∴f(x2)>f(x1) , ∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; (3)依题意只需 t≥|f(x1)﹣f(x2)|max, 又|f(x1)﹣f(x2)|max =f(x)max﹣f(x)min =f(3)﹣f(1) =(3﹣ )﹣(1﹣4) = ∴t≥ ∴tmin= , , .

点评: 本题考查函数恒成立问题,着重考查函数的奇偶性与单调性的判定与应用,考查等 价转化思想与综合运算能力,属于难题. 20. (10 分)某商品近一个月内(30 天)预计日销量 y=f(t) (件)与时间 t(天)的关系如图 1 所示,单价 y=g(t) (万元/件)与时间 t(天)的函数关系如图 2 所示, (t 为整数)

(1)试写出 f(t)与 g(t)的解析式; (2)求此商品日销售额的最大值? 考点: 分段函数的应用;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 应用题. 分析: (1)f(t)是一次函数,g(t)是分段函数,根据图象中点的坐标,可得函数解析式;

(2)f(t)?g(t)即为日销售额,建立销售额的函数模型,分段研究函数的最大值,从而确 定商品日销售额的最大值. 解答: 解: (1)f(t)是一次函数,过两个点(30,5) , (0,35) ∴f(t)=35﹣t (0≤t≤30,t∈Z) ,…(2 分) , g(t)是分段函数,当 0≤t≤20 时,是一次函数,过两个点, (0,3) ,此时 g(t)= 当 20<t≤30 时,是一次函数,过两个点, (30,2) ,此时 g(t)=

∴g(t)=

(6 分)

(2)设日销售额 L(t)是天数 t 的函数,则有

L(t)=f(t)?g(t)=



(9 分) 当 0≤t≤20 时,L(t) = 当 t=11 或 12 时,L(t)最大值为 138 万元. 当 20<t≤30 时,L(t)= 在<L=120 万元, ,

∵138>120 ∴0≤t≤30 时,当 t=11 或 12 时,L(t)最大值为 138 万元. …(13 分) 答:第 11 天与第 12 天的日销售额最大,最大值为 138 万元. …(14 分) 点评: 本题以函数图象为载体,考查函数模型的构建,考查分段函数的最值,解题的关键 是构建分段函数模型.


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