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高中数学


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第一章——

集合与函数 概念

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章末复习提升
1 知识网络
2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点,提炼主干 整合要点,诠释疑点 突破重点,提升能力

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1.集合的“三性”
正确理解集合元素的三性,即确定性、互异性和无序性.在 集合运算中,常利用元素的互异性检验所得的结论是否正 确,因互异性易被忽略,在解决含参数集合问题时应格外 注意.

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2.集合与集合之间的关系

集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等 .判断集合与集合
之间的关系的本质是判断元素与集合的关系,包含关系的传递 性是推理的重要依据 .空集比较特殊,它不包含任何元素,是任 意集合的子集,是任意非空集合的真子集 .解题时,已知条件中 出现A?B时,不要遗漏A=?.

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3.集合与集合之间的运算

并、交、补是集合间的基本运算,Venn图与数轴是集合运
算的重要工具.注意集合之间的运算与集合之间关系的转化, 如A?B?A∩B=A?A∪B=B.

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4.函数的单调性 函数的单调性是在定义域内讨论的,若要证明 f(x) 在区间 [a , b] 上是增函数或减函数,必须证明对[a,b]上的任意两个自变量的 值x1,x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)成立;若要证明 f(x) 在区间 [a , b] 上不是单调函数,只要举出反例,即只要找到 两个特殊的x1,x2,不满足定义即可.单调函数具有下面性质:设 函数f(x)定义在区间I上,且x1,x2∈I,则 (1)若函数f(x)在区间I上是单调函数,则x1=x2?f(x1)=f(x2).
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(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数,则方程f(x)=0在区间I

上至多有一个实数根.
(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同,则在此区间

内,函数f(x)+g(x)亦与它们的单调性相同.
函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法.

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5.函数的奇偶性 判定函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数f(x)的定 义域是否关于原点对称,再检验 f( - x) 与 f(x) 的关系;二是 用其图象判断,考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去 判断,但必须注意它是函数这一大前提.

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题型研修

突破重点,提升能力

题型一 集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,
在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错

误,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举
法表示的集合运算常用Venn图法,运算时特别注意对?的讨 论,不要遗漏.

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例1 已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
(1)若(?RA)∪B=R,求a的取值范围.

解 A={x|0≤x≤2},
∴?RA={x|x<0,或x>2}.

∵(?RA)∪B=R.
? ?a≤0, ∴? ? ?a+3≥2, ∴-1≤a≤0.

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(2)是否存在a,使(?RA)∪B=R且A∩B=??

解 由(1)知(?RA)∪B=R时,
-1≤a≤0,而a+3∈[2,3], ∴A?B,这与A∩B=?矛盾.即这样的a不存在.

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跟踪演练1

(1) 已 知 集 合 U = {2,3,6,8} , A = {2,3} , B =

{6,8} {2,6,8},则(?UA)∩B=________.

解析 ∵U={2,3,6,8},A={2,3},∴?UA={6,8}.
∴(?UA)∩B={6,8}∩{2,6,8}={6,8}.

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(2)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B等 于( D ) A.(-∞,2] C.[-2,2] B.[1,2] D.[-2,1]

解析 A={x∈R||x|≤2}={x∈R|-2≤x≤2},

∴A∩B={x∈R|-2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}
={x∈R|-2≤x≤1}.
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题型二 函数的概念与性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称

性入手,分析函数的图象及其变化趋势,从近几年的高

考形式来看,对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、 “活”的特征,做题时应注重上述性质知识间的融合.
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例2

mx2+2 5 已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)=3. 3x+n

(1)求实数 m 和 n 的值;

解 ∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
mx2+2 mx2+2 ∴ =- = . -3x+n 3x+n -3x-n mx2+2

比较得n=-n,n=0.
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4m+2 5 5 又 f(2)=3,∴ 6 =3,解得 m=2.

因此,实数m和n的值分别是2和0.

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(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
2x2+2 2x 2 解 由(1)知 f(x)= 3x = 3 +3x.

任取x1,x2∈[-2,-1],且x1<x2,
? 1 ? 2 ? 则 f(x1)-f(x2)=3(x1-x2)?1-x x ? ? ? 1 2?

x1x2-1 2 =3(x1-x2)· x x . 1 2
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∵-2≤x1<x2≤-1时,
∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)在[-2,-1]上为增函数,

4 5 因此 f(x)max=f(-1)=-3,f(x)min=f(-2)=-3.
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跟踪演练 2 A.(-∞,1)

(1)函数 y= 的定义域为( B ) 1- 1-x B.(-∞,0)∪(0,1] D.[1,+∞)

2

C.(-∞,0)∪(0,1)

解析

?1-x≥0, ? 要使函数有意义,则? ? ?1- 1-x≠0,

即x≤1且x≠0.
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(2) 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x + 1) = 2f(x). 若当 0≤x≤1 时, x?x+1? f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=- ________. 2 解析 设-1≤x≤0,则0≤x+1≤1, 所以f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1). 又因为f(x+1)=2f(x),
f?x+1? x?x+1? 所以 f(x)= 2 =- 2 .
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题型三 函数图象及其应用 函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性, 通过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇 偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于图象正确的画出. 函数图象广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题具有 直观、明了、易懂的优点.
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例3 对于函数f(x)=x2-2|x|. (1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性; 解 函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)2-2

|-x|=x2-2|x|.
则f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称.
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(2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值.

2 2 ? x - 2 x = ? x - 1 ? -1?x≥0?, ? 2 f(x)=x -2|x|=? 2 2 ? x + 2 x = ? x + 1 ? -1?x<0?. ?

画出图象如图所示,

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根据图象知,函数f(x)的最小值是-1. 单调增区间是 [ - 1,0] , [1 ,+ ∞ ) ;减区间是 ( -∞ ,- 1] ,

[0,1].

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跟踪演练 3

3 1 对于任意 x∈R,函数 f(x)表示-x+3,2x+2,

x2-4x+3 中的较大者,则 f(x)的最小值是________.

解析

3 1 2 首先应理解题意,“函数 f(x)表示-x+3,2x+2,x

-4x+3 中的较大者”是指对某个区间而言,函数 f(x)表示 3 1 2 -x+3,2x+2,x -4x+3 中最大的一个.

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如图,分别画出三个函数的图象,得到三个交点 A(0,3) ,

B(1,2),C(5,8).

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从图象观察可得函数f(x)的表达式:
?x2-4x+3 ?x≤0?, ? ? ?-x+3 ?0<x≤1?, f(x)=?3 1 ?2x+2 ?1<x≤5?, ? 2 ? x ? -4x+3 ?x>5?.

f(x) 的图象是图中的实线部分,图象的最低点是点 B(1,2) ,所以 f(x)的最小值是2. 答案 2

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题型四 分类讨论思想 分类讨论思想的实质是:把整体问题化为部分来解决,化 成部分后,从而增加题设条件,在解决含有字母参数的问 题时,常用到分类讨论思想,分类讨论要弄清对哪个字母 进行分类讨论,分类的标准是什么,分类时要做到不重不 漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为:集合运算中对?的讨

论,二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数
的取值范围问题等.

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例4 解

设函数 f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+ 1],t∈R ,求函数

f(x)的最小值. f(x)=x2 -2x +2= (x -1)2+ 1, x∈[t, t + 1] , t∈R ,对 称轴为x=1.

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当t+1<1,即t<0时,函数图象如图 (1),函数f(x)在区间[t,t+1] 上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2),最小值为f(1)=1; 当t>1时,函数图象如图(3),函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数, 所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
2 ? t ? +1,t<0, ? 综上所述 f(x)min=?1,0≤t≤1, ?2 ? ?t -2t+2,t>1.

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跟踪演练4

已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},

且A∪B=A,求实数a组成的集合C.

解 ∵A∪B=A,∴B?A.
(1)当B≠?时,由x2-3x+2=0,得x=1或2.当x=1时,a=2; 当x=2时,a=1. (2)当B=?时,即当a=0时,B=?,符合题意. 故实数a组成的集合C={0,1,2}.
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课堂小结

1.函数单调性的判定方法 (1)定义法. (2)直接法:运用已知的结论,直接判断函数的单调性,如一次函 数,二次函数,反比例函数;还可以根据 f(x),g(x)的单调性判断 1 -f(x), ,f(x)+g(x)的单调性等. f ? x? (3)图象法:根据函数的图象判断函数的单调性.
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2. 二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)=a(x- h)2+k(a>0)在区间 [m,n]上最值问题, 有以下结论: (1)若h∈[m,n],则ymin=f(h)=k, ymax=max{f(m),f(n)}; (2)若h?[m,n],则ymin=min{f(m),f(n)}, ymax=max{f(m),f(n)}(a<0时可仿此讨论).
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3.函数奇偶性与单调性的差异 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的,这一点与研 究函数的单调性不同,从这个意义上说,函数的单调性是

函数的 “ 局部 ” 性质,而奇偶性是函数的 “ 整体 ” 性质,
只有对函数定义域内的每一个 x 值,都有 f( - x) =- f(x)( 或

f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇函数(或偶函数).
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