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江西九江市高一上学期期末数学试卷


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江西九江市高一上学期期末数学试卷 一.选择题:本大共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题的四个选项中只 有一个是正确的;。 1、下列各式正确的是 ( B ) A、 2 C、 ?
?

?x

x ? 1 0?

B、 ? 2 ? ? ? x D、 ?
?

x ? 1 0?

? ? x x ? 1 0?
?

?x

x ? 1 0?
B ?

2、已知 A A、 B 3、直线 y A、
?
6

?? x , y ?

y ? 2 x ? 1? , B ?

?? x , y ?

y ? x ? 3?

,则 A ?



B



B、 ? ? 2 , 5 ??
? 3 3 x ?1? 0

C、 ? ( C、
?
4

D、 ? 2 , 5 ?

的倾斜角是
?
3

A

) D、
5? 6

B、

4、 设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 A.若 ? C.若 l
? ? ,l ? ? ? ? ,? / / ?



C



,则 l ∥ ? ,则 l
2 x
? ?

B.若 l // ? , l // ? ,则 ? ∥ ? D.若 l / / ? , ?
? ?

,则 l

? ?

5、8.函数

f ( x ) ? ln x ?

的零点所在的大致区间是( C ) C.(2,e) )
y 2 o 1 图1
? x 1 ?) ?, x

A.(1,2) 6、图 1 是偶函数 y A. B. C. D.

B.(e,3)
? f (x)

D.(e,+ ? )

的局部图象,根据图象

所给信息,下列结论正确的是( C
f ( ? 1 ) ? f (2) ? 0 f ( ? 1 ) ? f (2) ? 0

f ( ? 1 ) ? f (2) ? 0
f ( ? 1 ) ? f (2) ? 0
f (

3

x

7 、 已 知 函 数 ( D A. C. )

则 函 数

f (x)

的 表 达 式 为

f (x) ? x ? 2 x ? 1 (x ≥ 0)
2

B. D.

f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 ( x ≥ ? 1)
2

f (x) ? ? x ? 2 x ? 1 (x ≥ 0)
2

f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 1 ( x ≥ - 1)
2

8、已知 a b ? 0 ,点 M ( a , b ) 是圆 x2+y2=r2 内一点,直线 m 是以点 M 为中点的弦所 在的直线,直线 l 的方程是 a x
? by ? r
2

,则下列结论正确的是(

C )

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A.m//l,且 l 与圆相交 C.m//l,且 l 与圆相离 9、一几何体的三视图如下,则它的体积是(
a

B.l⊥m,且 l 与圆相切 D.l⊥m,且 l 与圆相离 A )
a a

a
2a
2a 2a

正视图

侧视图

俯视图
3? ? 1 6 12
? 3y ? 2

A.

3?? 3

a

3

B.
? ( y ? 5)
2

7 12

a ?
3

C.

a

3

D.

7 3

a ?
3

10、若圆 ( x ? 3 ) 2

? r

2

上有且只有两个点到直线 4 x ) C. ( 4 , 6 ]
f

的距离为 1,则

半径 r 的取值范围是( A A. 4 , 6 ) (

B. [ 4 , 6 )

D. [ 4 , 6 ]
f

11、设 f ? x ? 是定义在 R 上的函数,令 g ? x ? ? 则g ?x? ?
g ? 2010 ? x ?

?x? ?

? 2010 ? x ? ,

=

0 互相垂直,则 a =
x ? y
2 2

12、若直线 a x ? 13 、 与 直 线

2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0

-2

3x ? 4 y ? 5 ? 0

平行且与圆

? 4

相切的直线的方程是

3 x ? 4 y ? 10 ? 0

或3x

? 4 y ? 10 ? 0



14、 长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5 ,且它的 8 个顶点都在同 一个球面上,则这个球的表面积是 5 0? 15、 已知函数 f ? x ? , 如果对任意一个三角形, 只要它的三边长 a , b , c 都在 f ? x ? 的 定义域内,就有 f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 也是某个三角形的三边长,则称 f ? x ? 为 “保三角形函数”.在函数① 其中 ①②
?

f1 ? x ? ?

x

,②

f2 ? x ? ? x

,③

f3 ? x ? ? x

2

中,

是“保三角形函数”.(填上正确的函数序号)
x ? 4 ? 2x

16、已知集合 A={ x | y
x? A

,x?

R

},集合 B={ y | y

? 4

x?

1 2

? 2

x

? 3



}。

(1)求集合 A

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(2)求集合 B 解 : (1)A=[0,2] (2)B=[-2,25]

17、 如图 ABCD—A1B1C1D1 是正方体, M、N 分别是线段 AD1 和 BD 上的中点 (1)证明: 直线 MN∥平面 B1D1C; (2)若 AB=2,求三棱锥 B1-MBC 的体积

D1

C1 B1

证明:(1)连接 AC、D1C.在△D1CA 中,MN A1 是中位线 M ∴MN ∥D1C. ∴直线 MN∥平面 B1D1C; (2) V B
1

? MBC

= V M ? B BC = S△B1BCh=
1

1

4 3

3

D N A B

C

18、已知圆 C: x

2

? y

2

? 2x ? 4y ? 3 ? 0



(1)若不经过坐标原点的直线 l 与圆 C 相切,且直线 l 在两坐标轴上的截距相 等,求直线 l 的方程; (2)设点 P 在圆 C 上,求点 P 到直线 x ? 解:(1)圆 C 的方程可化为 ( x ? 1) 2 半径为 以可设 直线 l 的方程为
m ? ?3
x? y? m ? 0
2

y?5 ? 0
2

距离的最大值与最小值.

? ( y ? 2) ? 2

,即圆心的坐标为(-1,2),

因为直线 l 在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点,所 ,??1 分;于是有 |? 1 ?12 ? m | ?1 或x ? ,得 m
?1或

?

2


y ?1? 0 y?3 ? 0
2? 的距离为 | ? 1 ? ? 1 5| 1

因此直线 l 的方程为 x ?

(2)因为圆心(-1,2)到直线 x ? 所以点 P 到直线 x ?
y?5 ? 0

y?5 ? 0

? 4

2


2

距离的最大值与最小值依次分别为 5

和3

2

19、已知二次函数 f ? x ? 满足: (1)求函数 f ? x ? 的解析式

f ( 0 ) =3; f ( x ? 1 ) ? f ( x ) ? 2 x

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(2)令 g ? x ? =

f(x)? a

(a ?

R

),若函数 g ? x ? 有 4 个零点,求实数 a 的范围

解:设

f ( x ) ? ax

2

? bx ? c
2



f ( x ? 1) ? a ( x ? 1)

2

? b ( x ? 1) ? c



f ( x ) ? 2 x ? ax

? bx ? c

∵ ∴a

f ( 0 ) =3; f ( x ? 1 ) ? f ( x ) ? 2 x ? 1, b ? ? 1, c ? 3



f (x) ? x

2

? x ? 3

(2)依题意函数 ∴-3<a<11 4

f ( x ) 的图像与直线 y ? ? a

有 4 个交点。由图可知:

11 4

<-a<3

20、已知半径为

5

的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 相切.

4 x ? 3 y ? 29 ? 0

(1)求圆的方程; (2)若直线 a x ? 点 P (?2,
4) y ? 5 ? 0 ( a ? 0 ) 与圆相交于 A , B

两点,是否存在实数 a ,使得过

的直线 l 垂直平分弦 A B ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,

请说明理由. 解:(1)设圆心为 M
(m , 0) ( m ? Z

). ,所以,
4m ? 29 5 ? 5

由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 2 9 即
4m ? 29 ? 25

? 0 相切,且半径为 5



.因为 m 为整数,故 m
? y
2

? 1.

故所求的圆的方程是 ( x ? 1) 2

? 25


1 a

(2)设符合条件的实数 a 存在,∵ a
l

? 0

,则直线 l 的斜率为 ? .



的方程为 y

? ?

1 a

( x ? 2) ? 4

,即 x ?

ay ? 2 ? 4a ? 0

由于 l 垂直平分弦 A B ,故圆心 M

(1, 0 )

必在 l 上.

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所以 1 ? 0 ? 2 ? 4 a 经检验 a
? 3 4

? 0

,解得 a

?

3 4

. 与圆有两个交点
4)

时 直线 a x ?
? 3 4

y?5 ? 0

故存在实数 a

,使得过点 P ( ? 2 ,

的直线 l 垂直平分弦 A B .

21、集合 A 是由适合以下性质的函数 相等的实数 x 1 , x 2 都有 (1) 试判断 (2)设
f (x) ? x
2

f (x)

构成上的:对于定义域内任意两个不
x1 ? x 2 2 ). 。

1 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] ? f (
? lo g 2 x

及 g (x)

是否在集合 A 中,并说明理由;
f (1) ? 1 2

f (x) ? A

且当定义域为 ( 0 , ? ? ) ,值域为 ( 0 , 1) ,且
f (x)

,试写出一

个满足以上条件的函数

的解析式,并给予证明.

解:(1) 对于

f ( x) ? A, g ( x) ? A

f (x) ? A

的证明:任取 x 1 , x 2 ?
? f ( x1 ? x 2 2 ) ? x1 ? x 2
2 2

R 且 x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

?(

x1 ? x 2 2

)

2

=

1 4

2

( x1 ? x 2 ) ? 0
2

?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

? f(

x1 ? x 2 2

)

,即

f (x) ? A

对于 g ( x ) ?

A

,举反例,当 x 1
? 1 2

? 1, x 2 ? 2



g ( x1 ) ? g ( x 2 ) 2 g( x1 ? x 2 2

(lo g 2 1 ? lo g 2 2 ) ? ? lo g 2 ? g(
x

1 2 2 ? 1 2

) ? lo g 2

1? 2 2

3 2

? lo g 2 )

不满足

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) 2

x1 ? x 2 2

? g (x) ? A

(2)函数

?2? f (x) ? ? ? ?3?

,当 x ? ( 0 , ? ? ) 时,值域为 ( 0 ,1) ,且
? x2

f (1) ?

2 3

?

1 2

任取 x 1 , x 2 ? ( 0 , ? ? ) 且 x 1
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? f ( x1 ? x 2 2

,则
2 3
x1

) ?

1 2

[(

)

?(

2 3

)

x2

? 2(

2 3

x1 ? x 2

)

2

]

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?

1 ? 2 ? [( ) 2 ? 3
1 2 2 3
x1

x1 2

] ? 2(
2

2 3

x1

)

2

?(

2 3

x2

)

2

? [(

2 3

x2

)

2

? 2 ] ? ?

?

[(

)

2

?(

2 3

x2

)

2

] ? 0
2



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 2 3

? f (

x1 ? x 2 2

)

? f (x) ? (

) ? A
x

说明:本题中

f (x)

构造类型:

f (x) ? a (
x

1 2

? a ? 1)



f (x) ?

k x? k

( k ? 1)

(x>-1)


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