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平面向量、解三角形、数列习题及答案


富顺二中 2015 级高一下第十一周小练习 姓名 一、选择题 1. ?ABC 中,若 a ? 1, c ? 2, B ? 600 ,则 ?ABC 的面积为 (B ) 学号 得分

(A)

1 2

(B)

3 2

(C) 1

(D)

3 uuu r


2. 在 ?ABC 中 , D 是边 AB 上的中点,记 BC ? a, BA ? c ,则向量 CD ? (C (A) ?a ?

uuu r

uu r

1 c 2

(B) a ?

1 c 2

(C) ?a +

1 c 2

(D) a +

1 c 2

3. 在等差数列 ?an ? (n ? N? ) 中 , a1 ? 4 , 且 a1 , a5 , a13 成等比数列,则 {an } 的通项公式为 (D ) (A) an ? 3n ? 1 (C) an ? 3n ? 1 或 an ? 4 4.在数列 ?a n ?中, a1 ? ?2 , an ?1 ? (B) ? (B) an ? n ? 3 (D) an ? n ? 3 或 an ? 4

1 ? an ,则 a2016 等于 (D 1 ? an
(C)

)

(A)-2

1 3

1 2

(D)3

提示:通过计算出 a1 ? ?2 ,a2 ? ? , a3 ? 4,所以 a2016 ? a4 ? 3 ,选 D

1 3

1 , a4 ? 3, a5 ? ?2 知此数列为周期数列,周期为 2

5.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 6 : S 3 ? 1 : 2 ,则 S 9 : S 3 ? ( A.1:2 B.2:3 C.3:4 D.1:3

C )

解 : 设 S6 ? t , 则 S3 ? 2t , 由 于 S3 , S 6 ? S 3 成 等 比 数 列 可 得 S9 ? , S 9? S 6

3 t ,则 2

S 9 : S 3 ? 3:4 选 C
6. 若 x ? 0 ,则 2 ? 3 x ? (A) 2 ? 4 3 7.向量 a ? (0,1) , b ? (?

4 的最大值是(C x
(B) 2 ? 4 3

) (C) 2 ? 4 3 (D) 以上都不对

3 1 3 1 , ? ) , c ? ( , ? ) , xa ? yb ? zc ? (1,1) ,则 x2 ? y 2 ? z 2 的最小 2 2 2 2

值为( B

)

(A) 1

(B)

4 3

(C)

3 2

(D) 2

二、填空题

8.已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b ? c ? 0 ,则 t ? _____.
?

【答案】2 【解析】 ta ? b ? ( 1 ? t )b ? b =0,得 9.若 sin(? ? 【答案】 ?

? ?

? ?

?
6

) ? 3 sin(

?
2

t +(1-t)=0,故t=2 2
.

? ? ), 则 tan 2? ?

5 3 11
1 3 sinα+ cosα=3cosα;于是 2 2 5 3 tanα= 2 2

【解析】由已知,

5 3 10 3 10 3 5 3 5 3 3 ? 3 ?? ?? 从而 tanα= ;tan2α= 22 11 3 5 3 2 1 ? 25 1? ( ) 3 3 2?
10.若钝角 ?ABC 的三边 a, b, c 满足 a ? b ? c ,三内角的度数成等差数列,则 范围是 【答案】(0, .

ac 的取值 b2

2 ) 3

【解析】由已知得 B ?

?
3

,? A ? B ?

?
2

?0? A?

?
6



ac sin A sin C 4 ? 1 2 ? 2 ? ? sin A sin( A ? ) ? ? cos(2 A ? ) ? (0, ) 2 2 b sin B 3 3 3 3 3 3
三、解答题 1. 已知等差数列 ?an ? (n ? N? ) 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S6 ? 42 , a5 ? a7 ? 24 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 {

an } 的前 n 项和 Tn . 2n

1 . 解 : ( Ⅰ ) 设 等 差 数 列 {an } 的 公 差 为 d , 因 为 , S6 ? 42 , a5 ? a7 ? 24 , 所 以

6?5 ? d ? 42 ?6a1 ? ,解得 a1 ? 2, d ? 2 , 所以 an ? 2n ; 2 ? ? ? 2a1 ? 10d ? 24

?1? ?1? ?1? ?1? (Ⅱ) Tn ? 2 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 6 ? ? ? ... ? 2(n ? 1) ? ? ?2? ? 2? ? 2? ? 2?
2 3 4 n

2

3

n ?1

?1? ? 2n ? ? ? 2?
n ?1

n

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 6 ? ? ? ... ? 2(n ? 1) ? ? ? 2n ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ? 2? ? 2?
2 3 4

1 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 两式相减得 Tn ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ... ? 2 ? ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ?1? ?1? Tn ? 4 ? 4 ? ? ? ? 4n ? ? ? ? 2? ? 2?
n n ?1

n

n ?1

1 ? 4 ? (n ? 2)( )n?1 2

2.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,向量 m ? (cos( A ? B),sin( A ? B)) ,

3 n ? (cos B, ? sin B) ,且 m ? n ? ? . 5
(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2, b ? 5 ,求角 B 的大小及向量 AB 在 BC 方向上的投影.

??? ?

??? ?

3 3 3 解:(Ⅰ)由 m ? n ? ? ,得 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin B ? ? ,得 cos A ? ? ; 5 5 5
2 又 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos A ?

4 5

(Ⅱ)由正弦定理得

a b ? 2 ? ,得 sin B ? ,得 B ? ; sin A sin B 4 2
2 2 2

2 2 2 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,即 (4 2) ? 5 ? c ? 2 ? 5 ? c ? ( ? ) ,

3 5

解得 C ? 1 或 C ? ?7 (舍去); AB 在 BC 方向上的投影值为

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AB ? BC 2 . ??? ? ? ?c cos B ? ? 2 BC

富顺二中 2015 级高一下第十一周周末练习 姓名 一、选择题 1.等比数列 ?an ?中, a1 ? a2 ? 40 , a3 ? a4 ? 60 , a7 ? a8 ? ( A A. 135 【答案】A 【解析】由等比数列性质,可知 a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8 仍然成等比数列 公比为 q= B. 100 C. 95 D. 80 ) 学号 得分

a3 ? a4 60 3 ?3? ? ? ,所以 a7+a8=40×? ? =135.故选 A a1 ? a2 40 2 ?2?


3

2.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos2x) sin 2 x, x ? R ,则 f ( x) 是( D A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 【答案】D

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

1 ? cos 2 x 1 1 1 ? cos 4 x ? (1-cos22x)= sin22x= 2 2 2 4 2? ? ? .选 D f(-x)=f(x),f(x)是偶函数;周期为 T= 4 2
【解析】f(x)=(1+cos2x) 3.在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,

??? ? ??? ? BA ? BC ? 2 ,则 ?ABC 的面积为( C )
A. 2 B.

3 2

C. 2 2

D. 4 2

3.解:由正弦定理得 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ? cos B ?

1 2 2 ? sin B ? 3 3

??? ? ??? ? 1 ? BA ? BC ? 2 ? AB ? BC ? 6 ? S ?ABC ? AB ? BC ? sin B ? 2 2 ,选 C 2 4.设等差数列 {an } 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d ,若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k=(
A. 2 【答案】D 【解析】由题意,ak2=a1a2k,即[a1+(k-1)d]2=a1[a1+(2k-1)d] 亦即(k+8)2d2=9d(2k+8)d B. 6 C. 8 D. 4

D )

因为 d≠0,故(k+8)2=18k+72 解得 k=4 或 k=-2(舍去).故选 D 5.在 ?ABC 中,若 sin( A ? B) ? 1 ? 2cos( B ? C )sin( A ? C ) ,则 ?ABC 的形状一定是( B ) A.等边三角形 【答案】B 【解析】在△ ABC 中,A+B+C=π 故 cos(B+C)=-cosA,sin(A+C)=sinB 于是已知条件变为 sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB 即 sinAcosB+cosAsinB=1 即 sin(A+B)=1 得 6.数列 ?a n ?的通项公式 an ? A.1006 【答案】C 【解析】记 bn=cos B.2012 sinC=1 得 C= B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.不含 60 ? 角的等腰三角形

1 n? ? cos (n ? N ?) ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于( C 4 2
C.503 D.0

? 2

)

n? ,则 b1=0,b2=-1,b3=0,b4=1,b5=0,b6=-1,……,这是 2

一个以 4 位周期的周期数列,且每相邻 4 项之和为 0,于是{bn}的前 2012 项之和为 0 an=

1 1 +bn,于是 S2012= × 2012=502.选 C 4 4
2 2 0

7.若 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a, b, c ,满足 (a ? b) ? c ? 4, 且C ? 60 , 则ab 的值(D) (A) 1 (B) 8 ? 4 3 (C)

2 3

(D)

4 3

8. 已 知 ?ABC 三 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 a, b, c 成 等 比 数 列 , 且 c ? 2a , 则
cos B ? ( C)

(A)

1 4

(B)

2 4

(C)

3 4

(D)

2 3

9.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 sin x ? cos x( x ? ?a, b?) 的值域为 [? ,1] ,设 b ? a 的最大值为 M , 2 2 2
) C. 2? D. B. ?

最小值为 m ,则 M ? m =( C A.

?
2

10? 3

【答案】C 【解析】f(x)=sin(x+

? 1 ),要使得 f(x)的值域为[- ,1],结合图象可知,定义域长度(b- 2 3

a)的最大值为 M= 选C

4? ? 7? 2? ? ? (比如[ ? , ]),最小为 m= (比如[ ? , ]),所以 M+m=2π. 3 6 6 3 6 2

2 10. 已知方程 x ? mx ? 2

?

?? x

2

? nx ? 2 ? ? 0 的四个根组成一个首项为

1 的等比数列,则 2

m? n ?( B )
A.1 10. 解:不妨设 B.

3 2

C.

5 2

D.

9 2

1 9 2 是方程 x ? mx ? 2 = 0 的一个根,则另一根为 4 ,所以 m ? , 设方程 2 2 1 x 2 ? nx ? 2 ? 0 的两根为 x1 , x2 , 由于 x1 ? x2 ? 2 , 所以四个根组成一个首项为 的等比数列 2 3 1 为 , x1 , x2 , 4 ,由此 x1 ? 1, x2 ? 2 ? n ? 3 ,则 m ? n ? ,选 B 2 2 log 2 x, x ? 0 ? ? 11. 已知函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 a ? f (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 (A) 1 ? ? 2
(A) (?1,0) U (0,1) (C) (?1,0) U (1, ??) (B) (??, ?1) U (1, ??) (D) (??, ?1) U (0,1)

12.设 An , Bn 是等差数列 ?a n ? 、 ? bn?的前 n 项和,若 整数 n 的个数是( D ). A. 2 B.3

an An 7n ? 45 ? ,则使得 为整数的正 Bn n?3 bn
D.5

C.4

【答案】D 【解析】因为{an},{bn}都是等差数列,由等差中项性质,有

an A2 n-1 7( 2n - 1 ) ? 45 7n ? 19 ? ? ? bn B2 n-1 ( 2n - 1 ) ? 3 n ?1
由题意,得

7n ? 19 12 为整数,即 7+ 为整数 n ?1 n ?1

又 n 为正整数,于是 n+1 是 12 的约数,可取的值为 1,2,3,5,11 共 5 个.选 D 二、填空题 13.设 Sn 是等差数列 ?an ? (n ? N? ) 的前 n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7 ,则 S5 ? ______25______. 14. cos 20 ? cos 40 ? cos80 =___________
0 0 0

【答案】

1 8

【解析】 cos 20 ? cos 40 ? cos80 ?
0 0 0

2sin 200 ? cos 200 ? cos 400 ? cos800 2sin 200

?

sin 400 ? cos 400 ? cos800 sin 800 ? cos800 sin1600 1 ? ? ? 2sin 200 4sin 200 8sin 200 8

15. 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是
2

4

.

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

? x ? 2y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y ) ? 8 ? ? ? ,整理得 ?x ? 2 y ? ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0 ? 2 ?
即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 , ? x ? 2 y ? 4 16.已知一非零“向量数列” {an } 满足:

u u r

u r u u r 1 a1 ? (1,1), an ? ( xn , yn ) ? ( x n ?1 ? yn ?1 , x n ?1 ? yn ?1 )(n ? 2, n ? N? ) .给出下列四个结论: 2 u u r ①数列 { an } 是等差数列; 1 ; 2 u u r ③设 bn ? 2log 2 an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,当且仅当 n ? 2 时, Tn 取得最大值;
② a1 ? a5 ? ④记向量 an与an ?1 的夹角为 ? n (n ? 2) ,则均有 ?n ? 其中所有正确结论的序号是 三、解答题 ②④ .

u r u u r

u u r uuu r

?
4

.

17.(本小题满分 12 分)设 x ? 1, y ? 1 证明 x ? y ? 证明:(I)由于 x ? 1, y ? 1 ,

1 1 1 ? ? ? xy . xy x y

[来源:学科网 ZXXK]

x? y?

所以 将上式中的右式减左式,得

1 1 1 ? ? ? xy ? xy( x ? y ) ? 1 ? y ? x ? ( xy) 2 , xy x y

( y ? x ? ( xy) 2 ) ? ( xy( x ? y ) ? 1) ? ((xy) 2 ? 1) ? ( xy( x ? y ) ? ( x ? y )) ? ( xy ? 1)(xy ? 1) ? ( x ? y )(xy ? 1) ? ( xy ? 1)(xy ? x ? y ? 1) ? ( xy ? 1)(x ? 1)( y ? 1). 即然x ? 1, y ? 1, 所以( xy ? 1)(x ? 1)( y ? 1) ? 0,

18. (本小题满分 12 分) 已知在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且向量 m ? (a, b) 与 n ? (sin B, ? 3 cos A) 垂直.(1)求角 A 的大小; (2)若 c ? a, c ? b ,求

b 的取值范围; c

(3)若 a ? 2 5, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 【 解 析 】 由 已 知 得 a sin B ? 3b cos A ? 0 ? sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 , 由 于

sin B ? 0 ,? tan A ? 3
(1)? 0 ? A ? ? ,? A ? (2) c ? a, c ? b , A ?

?
3
?C ?

?
3

?
3

? B ? 0,

b sin B sin B 2 tan B ? ? ? c sin C sin( A ? B) 3 ? tan B

b ? 0 ? tan B ? 3,? ? (0,1) c
(3)

a b ? 3 ? , a ? 2 5, b ? 2, A ? ? sin B ? ? sin A sin A sin B 3 2 5 17 51 ? 3 , sin C ? sin( A ? B) ? ? c ? 17 ? 1 2 5 4 5

? 0 ? B ? A,? cos B ?

1 51 ? 3 ? S ? bc sin A ? 2 2
19 (本小题满分 12 分) 如右图所示,在 ?ABC 中, AB ? 3 6, B ? (Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)若 CD ? 10 ,求 AC 的长及 ?ADC 的面积. 解:(Ⅰ)在 ?ABD 中,由,

?
4

, D 是 BC 边上一点,且 ?ADB ?

?
3

.

BD ?

AB sin ?BAD ? sin ?ADB

3 6 sin sin

?
3

7? 12 ? BD ? 3 3 ? 3 ……(4 分)

AB sin B (Ⅱ) AD ? ? sin ?ADB

3 6 sin sin

?
4 ? AD ? 6

?
3

在 ?ACD 中,由余弦定理 得: AC ?

AD2 ? CD2 ? 2 AD ? CD cos ?ADC ? 14 ……………(8 分)

? S?ACD ?

1 1 3 AD ? DC sin ?ADC ? ? 6 ?10 ? ? 15 3 2 2 2

……

………(12 分)

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos ( x ?
2

?

?π π? ) ? 3 cos 2 x ? 1 , x ? ? , ? ,(1)求 4 ?4 2?

?π π? f ( x) 的最大值和最小值;(2)若对任意实数 x , 不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立, ?4 2?
求实数 m 的取值范围. 【解析】(I) f ( x) ? 2 cos ( x ?
2

?

) ? 3 cos 2 x ?1 ? cos(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? 2 …1 分 4 2 ?2 2s xi n ?( 2 ? 3

?

?sin x 2?

3 c ox s? 2

?

) …3 2 分
…4 分

? ? ? 2? ? ?? ? ? x ? ? , ? ? (2 x ? ) ? ? , ? 3 ?6 3 ? ?4 2?
所以当 2 x ? 时, f min ( x) ? 3 4 ? ? 5? 所以当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f max ( x) ? 4 3 2 12

?

3

?

?

6

,即 x ?

?

…5 分 …6 分 …8 分

(II)

f ( x) ? m ? 2 ? m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2

因为对任意实数 x ,不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立 4 2

?π π? ? ?

??2 ? f ( x) ? m ? 2
?m ? 2 ? f min ( x) ?m ? 2 ? f max ( x)

即?

?m ? 2 ? f ( x) 恒成立 ?m ? 2 ? f ( x)

所以 ?

…10 分

故 m 的取值范围为 ? 2,5?

……12 分

21.(本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。 在一般情况下, 大桥上的车流速 度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度

为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v( x) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位: 辆/每小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 解:(Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 解得 ? ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ? 再由已知得

0 ? x ? 20, ?60, ? v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3
故函数 f ( x ) 的表达式为

0 ? x ? 20, ?60 x, ? f ( x) ? ? 1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得

]

当 0 ? x ? 20时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60× 20=1200;

1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 x(200 ? x) ? [ ] ? 3 3 2 3 当 20 ? x ? 200 时, 当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立。 10000 . x ? 100 时 , f ( x ) 所以,当 在区间[20,200]上取得最大值 3 10000 ? 3333 综 上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在 区间[0,200]上取得最大值 3 。 f ( x) ?
22.(本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 Sn ?

1 2 11 n ? n . 数 列 {bn } 满 足 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0(n ? N?) ,且 b3 ? 11 , b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b9 ? 153 .
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

3 k ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对一切 (2an ? 11)(2bn ? 1) 57

n ? N? 都成立的最大正整数 k 的值.
解:(Ⅰ)当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 6 ;

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ( n2 ?

1 2

11 1 11 n) ? [ (n ? 1)2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 . 2 2 2

而 a1 ? 6 满足上式。∴ an ? n ? 5(n ? N?) . 又 bn ?2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 即 bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn ,?{bn } 是等差数列.设公差为 d.

?b1 ? 2d ? 11 又 b3 ? 11 , b1 ? b2 ? ? ? b9 ? 153 ? ? 解得 b1 ? 5, d ? 3 . ?9b1 ? 36d ? 153
∴ bn ? 3n ? 2 (Ⅱ) cn ?

3 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [(1 ? ) ? ( ? )+?+( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
? Tn ?1 ? Tn ? n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

1 1 k ,得 k ? 19 ? kmax ? 18 . ? Tn 单调递增, (Tn )min ? T1 ? .令 ? 3 3 57

8.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 ,a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
3 B.

)

A.4 【答案】A

C.2 3 ? 2

D.

9 2

【解析】由 a1 , a3 , a13 成等比数列得

a32 ? a1a13 ? (a1 ? 2d )2 ? a1 (a1 ?12d ) ? 4d 2 ? 8a1d ,因为 d ? 0 ,因此 d ? 2a1 ? 2, Sn ? n2 , an ? 2n ?1, 从而
2Sn ? 16 n2 ? 8 9 9 ? ? (n ? 1) ? ? 2 ? 2 (n ? 1) ? ? 2 ? 4 ,当且仅当 n ? 2 时取等 an ? 3 n ?1 n ?1 n ?1
号,所以选 A. 考点:等差数列与等比数列综合,基本不等式求最值 10.已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? , ? , ? 均为正的常数)的最小正周期为 ? ,当

x?

2? 时,函数 f ? x ? 取得最小值,则下列结论正确的是( 3



(A) f ? 2? ? f ? ?2? ? f ? 0? ( C )

(B) f ? 0? ? f ? 2? ? f ? ?2?

f ? ?2? ? f ? 0? ? f ? 2?

(D) f ? 2? ? f ? 0? ? f ? ?2? 10.解:由图象可知 f ( x ) 在区间 [ 数 ,

? 2?
6 , 3


] 上是减函
轴 ,

x?

?
6









f(

?

? 2? ? , ? ? 2, 2 ? [ , ] , 且 ? ? ? 2 ? 2 , 所 以 3 6 3 3
f ( ) ? f (? ? 2) ? f (2) ,即 f (0) ? f (?2) ? f (2) ,选 A 3

0 ? )f 3

?

( ? f ) ? ,?

f (

? 2

)

( ,

2

)

?

13.解: {

a?b , ? ab , ab} 2
, 则

14. 解 : 若 c ? 4

?c ? 3 ? 4 ? 7 ?c?4 ; 若 c?4 , 则 ? 2 2 2 ?3 ? c ? 4 ? 0
B
5 2

?c ? 4 ? 3 ? 4 ? c ? 5 ,所以 c 的范围是 ( 7,5) ? 2 2 2 3 ? 4 ? c ? 0 ?
15.解: CE ? 13 , cos ? ?

??? ? ??? ? 17 17 , cos ? CE , BC ?? ? ,向量 5 13 5 13

α

E
2

??? ? ??? ? 17 C A 3 CE 在 BC 方向上的投影为 ? 5 ? 2? ? ? , 2k? ? ]( k ? Z ) ,在 [0, ] 上的 16.解:函数 y ? 2 3 sin( x ? ), 的递增区间为 [2k? ? 6 3 3 2
增区间是 ?0,

? ?? ? 3? ?

13.若 a , b 是两个不相等的正实数,则它们的等差中项和等比中项组成的集合为________ 14.锐角△ ABC 中,如果 a ? 4, b ? 3 那么 c 的范围是_____________. 15.在△ ABC 中,E 是 AB 的中点,AB=4,AC=3,BC=5,则向量 CE 在 BC 方向上的投影 为_________ 16.函数 y ? 3sin x ? 3 cos x ( x ? [0, 例 5.设 x ? 0, y ? 0 , x ?
2

??? ?

??? ?

?
2

] )的单调递增区间是



y2 ? 1,则 x 1 ? y 2 的最大值为 2

3 2 4

∵x≥0, y≥0, x2+

y2 =1 2
2 2

1? y2 ∴ x 1 ? y = x (1 ? y ) = 2 x 2
2

2

1? y2 y2 1 2 x ? x ? ? 2 = 2 2 2 =3 2 ≤ 2 4 2 2
2

当且仅当 x=

1? y2 3 2 3 2 2 ,y= (即 x2= )时, x 1 ? y 取得最大值 2 2 2 4

[来源 :学科网 ZXXK]


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