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【志鸿优化】人教A版高中数学选修2-3配套练习:2.2.2 事件的相互独立性


课时训练 9

事件的相互独立性

一、选择题 1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p1,乙解决这个问题的概率是 p2,那么 恰好有 1 人解决这个问题的概率是( ). A.p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1) C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2) 答案:B 解析:甲解决问题而乙没有解决问题的概

率是 p1(1-p2),乙解决问题而甲没有解决问题的概率是 p2(1-p1).故恰有 1 人解决问题的概率是 p1(1-p2)+p2(1-p1). 2.从甲袋中摸出 1 个红球的概率为,从乙袋中摸出 1 个红球的概率为,从两袋中各摸出 1 个球,则 等于( ). A.2 个球不都是红球的概率 B.2 个球都是红球的概率 C.至少有 1 个红球的概率 D.2 个球中恰有 1 个红球的概率 答案:C 解析:从甲、乙两袋中摸出红球分别记为事件 A,B,则 P(A)=,P(B)=,至少有 1 个红球的概率 P=1P()=1-. 3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3” 为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是( ). A. B. C. D. 答案:C 解析:依题意得 P(A)=,P(B)=,事件 A,B 中至少有一件发生的概率为 1-P()=1-P()P() =1-=1-. 4.(2014 广东梅州重点中学高一上学期质检)同时抛两枚硬币,则一枚朝上一枚朝下的事件发生的 概率是( ) A. B. C. D. 答案:A 解析:分两种情况:可能第一枚朝上第二枚朝下,也可能第一枚朝下第二枚朝上.朝上时概率为,朝 下时概率为 1-.故所求概率为 P=. 5.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在 奇数所在区域的概率是( ).

A. B. C. D. 答案:A 解析:左边转盘指针落在奇数区域的概率为,右边转盘指针落在奇数区域的概率为,故两个指针同 时落在奇数区域的概率为.

6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能 得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ). A. B. C. D. 答案:D 解析:由甲、乙两队每局获胜的概率相同,知甲每局获胜的概率为,甲要获得冠军有两种情况:第 一种情况是再打一局甲赢,甲获胜概率为;第二种情况是再打两局,第一局甲输,第二局甲赢.则其 概率为.故甲获得冠军的概率为. 7.(2013 河北石家庄模拟)甲、乙两人各射击一次,如果两人击中目标的概率都是 0.6,则其中恰有 1 人击中目标的概率是( ). A.0.48 B.0.24 C.0.36 D.0.16 答案:A 解析:设 A 表示:“甲击中目标”,B 表示:“乙击中目标”,则 A,B 相互独立. 从而“两人中恰有 1 人击中目标”可以表示为 AB.因为 AB 互斥, 所以 P(AB)=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B) =0.6× (1-0.6)+(1-0.6)× 0.6=0.48. 二、填空题 8.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互 独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 . 答案: 解析:记两个零件中恰有一个一等品的事件为 A,则 P(A)=. 9.有 2 个人从一座 7 层大楼的底层进入电梯,假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等 可能的,则这 2 个人在不同层离开的概率为 . 答案: 解析:因为每个人自第二层开始在每一层离开电梯都是等可能的,所以每个人自第二层开始在每 一层离开电梯的概率都是,根据相互独立事件的概率乘法公式可得这 2 个人在不同层离开的概 率为. 10.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先赢 2 局者为胜,根据经验,每局比赛 中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛中甲获胜的概率是 . 答案:0.648 解析:“每局比赛中甲获胜”记为事件 A,则 P(A)=0.6,P()=0.4,“本次比赛中甲获胜”为事件 AA+AA+AA,所以“本次比赛中甲获胜”的概率为 P=0.6× 0.6+0.6× 0.6× 0.4× 2=0.648. 三、解答题 11.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为. (1)求恰有一名同学当选的概率; (2)求至多两人当选的概率. 解:设甲、乙、丙当选的事件分别为 A,B 和 C, 则有 P(A)=,P(B)=,P(C)=. (1)因为事件 A,B,C 相互独立,恰有一名同学当选的概率为 P(A)+P()+P(C)=P(A)·P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=. (2)至多有两人当选的概率为 1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-.

12.甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一次,根据以往资料知,甲击中 8 环、9 环、10 环的概率分别为 0.6,0.3,0.1,乙击中 8 环、9 环、10 环的概率分别为 0.4,0.4,0.2.设甲、乙 的射击相互独立.求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的概率. 解:记 A1,A2 分别表示甲击中 9 环,10 环,B1,B2 分别表示乙击中 8 环,9 环, A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数, A=A1B1+A2B1+A2B2, P(A)=P(A1B1+A2B1+A2B2) =P(A1B1)+P(A2B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2) =0.3× 0.4+0.1× 0.4+0.1× 0.4 =0.2 13.(2014 湖北部分重点中学高三第一次联考理科)已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路,D 左声道和 E 右声道,其中每个部件工作的概率如图所示,能听到声音,当且仅当 A 与 B 中有一个工作,C 工作,D 与 E 中有一个工作;且若 D 和 E 同时工作则有立体声效果.

(1)求能听到立体声效果的概率; (2)求听不到声音的概率.(结果精确到 0.01) 解:(1)因为 A 与 B 中都不工作的概率为(1-0.9)(1-0.8), 所以能听到立体声效果的概率为[1-(1-0.9)(1-0.8)]× 0.95× 0.8× 0.7≈0.52. (2)当 A,B 都不工作,或 C 不工作,或 D,E 都不工作时,就听不到音响设备的声音. 其否定是:A,B 至少有 1 个工作,且 C 工作,且 D,E 中至少有一个工作. 所以,听不到声音的概率为 1-[1-(1-0.9)(1-0.8)]× 0.95× [1-(1-0.8)(1-0.7)]≈0.12.


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