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高三复习课第五章 5.3平面向量数量积(公开课)


第五章

平面向量

§5.3 平面向量的数量积

教学目标:
1.理解掌握数量积的定义、几何意义、性质、运算律; 2.掌握计算数量积的常用方法; 3.会用数量积解决向量的模、夹角问题。

1

知识梳理
1.向量的夹角

→ → 已知两个

非零向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,则 ∠AOB 就是向量 a 与 b 的夹角,向量夹角的范围是: [0,π] .

2.平面向量的数量积

定义 投影

cos θ 叫做a与b 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量 |a||b|· ? ? 的数量积,记作a· b; 规定: 0? a ? 0 |a|cos θ 叫做向量a在b方向上的投影,
|b|cos θ 叫做向量b在a方向上的投影

几何意义 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积
答案

3.平面向量数量积的性质

设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e· a=a· e=|a|cos θ.

b=0 . (2)a⊥b? a·
(3)当a与b同向时,a· b=|a||b|;

当a与b反向时,a· b=-|a||b|.
a . 特别地,a· a= |a|2 或|a|= a· a· b (4)cos θ= . |a||b|

(5)|a· b|≤ |a||b| .
答案

4.平面向量数量积满足的运算律
a ; (1)a· b= b· b) = a· (λb) (λ为实数); (2)(λa)· b= λ(a· c+b· c . (3)(a+b)· c= a·

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= x1x2+y1y2 ,由此得到 2 2 2+y2 2 x + y x (1)若a=(x,y),则|a| = 或|a|= . (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离 2 2 → ? x - x ? + ? y - y ? 2 1 . |AB|=|AB|= 2 1 (3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a⊥b? x1x2+y1y2=0 .
答案

题型分类 深度剖析

题型一

平面向量数量积的运算

??? ? ??? ? 例1.(1)在△ABC中,BC ? 8, CA ? 7, ?C ? 60?, 求 BC ? CA.
A

7
B
60?

120?

8

C

??? ? ??? ? BC ? CA ? 8 ? 7 ? cos120? ? ?28.

点拨:定义法求数量积,注意向量的夹角与三角形内角相等还是互补。

→ → (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE· CB的 → → 值为________;DE· DC的最大值为________.

D

C

A

E

B

点拨:利用几何意义求数量积,准确找准投影
解析答案

题型二

用数量积求向量的模、模的最值

练高分 7题

例 2(1)如图,在△ABC 中,O 为 BC 中点,若 AB=1,AC=3, 点拨:求向量模的 13 → → → 常用方法: 2 〈AB,AC〉=60° ,则|OA|=________. (1)利用公式
→ → 解析 因为〈AB,AC〉=60° , 1 3 → → → → 所以AB· AC=|AB|· |AC|cos 60° =1×3× = , 2 2
|a|2=a2,将模的 运算转化为向量 的数量积的运算 (2)坐标化

→ 1 → → →2 1 → → 2 1 →2 → → →2 又AO= (AB+AC),所以AO = (AB+AC) = (AB +2AB· AC+AC ), 2 4 4

13 13 →2 1 → 所以AO =4(1+3+9)= 4 ,所以|OA|= 2 .
解析答案

(2)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 → → → → 7+1 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是________. → → 解析 设 D(x,y),由CD=(x-3,y)及|CD|=1 知(x-3)2+y2=1,

即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.
→ → 又OA+OB+OD=(-1,0)+(0, 3)+(x,y)=(x-1,y+ 3),
→ → → ∴|OA+OB+OD|= ?x-1?2+?y+ 3?2. 问题转化为圆(x-3)2+y2=1 上的点与点 P(1,- 3)间距离的最大值.
∵圆心 C(3,0)与点 P(1,- 3)之间的距离为 ?3-1?2+?0+ 3?2= 7,



故 ?x-1?2+?y+ 3?2的最大值为 7+1.
解析答案

思维升华

求向量模的最值(范围)的方法: ①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求 解;

②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表
示的图形求解.

题型三

用数量积求向量的夹角

跟踪训练2

1 例 3(1)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cosα=3,向量 a=3e1-2e2 2 2 与 b=3e1-e2 的夹角为 β,则 cosβ=________. 3
1 解析 ∵|a|= ?3e1-2e2? = 9+4-12×1×1× =3, 3 1 2 |b|= ?3e1-e2? = 9+1-6×1×1× =2 2, 3
2 2 ∴a· b=(3e1-2e2)· (3e1-e2)=9e2 - 9 e · e + 2 e 1 1 2 2

1 =9-9×1×1× +2=8, 3 8 2 2 ∴cos β= = . 3 3×2 2

温馨提示:分步计算能提升准确率哟!
解析答案

(2) 若向量a = (k,3) , b = (1,4) , c = (2,1) ,已知 2a - 3b 与 c 的夹角为钝角, ? ? 9? 9 ? ? ? ? ? - ∞ ,- ∪ - , 3 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 则k的取值范围是____________________. 解析 ∵2a-3b与c的夹角为钝角, ∴(2a-3b)· c<0,即(2k-3,-6)· (2,1)<0, ∴4k-6-6<0,∴k<3.
9 又若(2a-3b)∥c,则 2k-3=-12,即 k=- . 2 9 当 k=- 时,2a-3b=(-12,-6)=-6c, 2

即2a-3b与c反向.
综上,k

? ? 9? 9 ? ? ? ? ? 的取值范围为?-∞,- ?∪?- ,3?. 2? ? 2 ? ?
思维升华 解析答案

课堂练习:

→ → → 在△ABC 中,若 A=120° ,AB· AC=-1,则|BC|的最小值是( C ) A. 2 B.2 C. 6 D.6

→ → 解析 ∵AB· AC=-1, → → ∴|AB|· |AC|· cos 120° =-1, → → 即|AB|· |AC|=2, → 2 → → 2 →2 → → →2 ∴|BC| =|AC-AB| =AC -2AB· AC+AB → → → → → ≥2|AB|· |AC|-2AB· AC=6, ∴|BC|min= 6.
解析答案

小结:

思想方法 感悟提高

作业:

1.计算数量积的三种方法:定义法、坐标运算、数量积的几何意义,

解题要灵活选用恰当的方法,和图形有关的不要忽略数量积几何意义
的应用.

2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的
数量积的运算. 3.求向量模的最值(范围)的方法:①代数法②几何法(数形结合法) 4.两个向量的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立;两个向量夹角 为钝角,则有a·b<0,反之不成立.


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