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2012年惠安中学高三年级周考数学试题(理科)


惠安中学高三年级周考数学试题(理科)
命题人; 王 辉 、 N 都是全集 I 的子集, 一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知集合 M
? {x | y ? 3 ? x } , N ? { x | x ? 1 ? 2} ,且 M
2

则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为 ( A. { x | ?
3 ? x ? 1}


I N M

B. ? x ? 3 ? x ? 1? D. { x | 1 ?
x? 3}

C. ? x ? 3 ? x ? ? 3 ?

2. 下列函数中,在其定义域是减函数的是( A. f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 1 3.有下列四个命题 B.
f ( x) ? 1 x

)
1

C. f ( x) ? ( ) | x|
4

D.

f ( x ) ? ln( 2 ? x )

①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题;②“全

等三角形的面积相等”的否命题;③“若 q ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”的 逆否命题;④“等边三角形的三个内角相等”的否定。其中真命题为( A.①② 4.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A.( ,1)
2 1



B.②③
2 x

C.①③ )

D.③④

的零点所在的区间是(

B.(1, e ? 1)
2

C.(e ? 1,2)

D.(2, e) 的值为( D. 2 )

5.已知二次函数 A. -1

f ( x ) ? x ? ax ? 4 ,若 f ( x ? 1) 是偶函数,则实数

B. 1
f

C. -2

6.已知函数 f ? x ? 在 x 0 处可导,则 lim A. f ? ? x 0 ? B. 2 f ? ? x 0 ?

? x0

? h? ? f h

? x0

? h?

h? 0

的值为





C.

1 2

f ? ? x0 ?

D. f ? x 0 ?
y

7.幂函数 y ? x ? 1 及直线 y ? x , y ? 1, x ? 1 将平面直角坐标系的 第一象限分成八个“卦限”: ①②③④⑤⑥⑦⑧,如右图所示,
2

③ ② ④ ① ⑧ ⑥ ⑦
1 x

1



那么幂函数 y ? x 的图像经过的“卦限”是
3





O

A.④⑧

B.③⑦

C.②⑥

D.①⑤

8.曲线 y A. y

?

x x? 2

在点 ? ? 1, ? 1 ? 处的切线方程为 B. y
? 2x ?1


? ?2 x ? 3



? 2x ? 1

C. y

D. y

? ?2 x ? 2

9. 函数 y ? log a (| x | ?1), (a ? 1) 的图像大致是(
y y


y y

A.

O

x

B.
?a x ( x ? 0)

O

x

-1 O

C.

1 x

-1 O

D.

1

x

10.已知函数 f ( x) ? ?

?( a ? 3) x ? 4a ( x ? 0)

满足对任意 x1 ? x 2 ,都有 ( D. (0,3) )

( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? 0

成立,则 a 的取值范围为 C. [ ,1)
4 1

A. (0, ]
4

1

B. (0,1)

二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.函数
f ( x) ? 2 x ? 3x ? 2
2

log 2 ( x ? 1)

的定义域为_______________.
2π 5

12、若 a ? 20.5 , b ? log π 3 , c ? log 2 sin

,则__________.

13.、设定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=-f(1-x),若 f(3)=2,则 f(2013) =____. 14、从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率为________. 15、设 p : | 4 x ? 3 |? 1 ; q : x 2 ? (2 a ? 1) x ? a ( a ? 1) ? 0 .若 ? p 是 ? q 的必要而不充 分条件,则实数 a 的取值范围为________.
(附加题 5 分)已知集合 A ? { x | x ? a 0 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 2 ? a 3 ? 2 } ,其中
2 3

a k ? {0,1} ( k ? 0,1, 2, 3) 且 a 3 ? 0 .则 A 中所有元素之和是________.

(附加题 5 分)已知函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ( ab ? 0) 满足 f ( 则直线 ax ? by ? c ? 0 的斜率为________.

?
4

? x) ? f (

?
4

? x) ,

数学试题答题卡(理科科)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.) 题号 答案 二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11. ______________. 14. ______________. 12. ______________. 15. ______________. 13. ______________.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

附加题 1. ______________. 附加题 2. ______________. 三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分.) 16、已知集合 A={x∣x2-3(a+1)x+2(3a+1)<0},B= ? x
? ? ? ? 0? , 2 x -(a ? 1) ? x -2a

(1)当 a=2 时,求 A∩B;

(2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

17、 设函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3ax 2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、b 的值以及在 x=3 处的切线方程; (2)若对于任意的 x ? [0, ,都有 f ( x) ? c 2 成立,求 c 的取值范围. 3]

18、设函数 f(x)=(1+x)2-2ln(1+x) (1)若定义域内存在 x0,使得不等式 f(x0)-m≤0 成立,求实数 m 的最小值; (2)g(x)=f(x)-x2-x-a 在区间[0,3]上恰有两个不同的零点,求 a 范围.

19、 已知 (1)若

f ( x) ? ax ? 2 ln x , x ? (0 , e] ,

2

其中 e 是自然对数的底 . (2)求
f (x ) 的单调区间;

f (x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;
1 e
2

(3)设 a ?

, g ( x ) ? ?5 ? ln

x a

,存在 x1

, x2 ? (0 , e] ,使得 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 9 成立,求 a

的取值范围.

20、 (附加题)已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点
P ( ? 3, 3) .

⑴求 sin 2? ? tan ? 的值; 求函数 y
? 3f(

⑵若函数 f ( x ) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ,
2

?
2

? 2 x ) ? 2 f ( x ) 在区间 0, ?
?

?

2π ? 上的取值范围. 3 ? ?

数学试题参考答案(理科)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.)
题号 答案

1

2
D

3

4
C

5
D

6

7

8

9
B

10
A

二、填空题(每题 4 分,共 20 分)
11、 (2,+ ? ) 12、A a ? b ? c

14、3

1

15、 ? 0 , ? . 2
? ?

?

1?

附加题 1. 9 2 附加题 2. 1 三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分.) 16.解: (1)当 a=2 时,A=(2,7)B=(4,5)∴ A ? B ? (4, 5) (2)∵B=(2a,a2+1), ② 当a ? 时A ? ?, 使B ? A的a不存在.
3 1

①当 a< 时,A=(3a+1,2) 要使 B ? A 必须
3

1

? 2a ? 3a ? 1 此时a ? ?1, ? 2 ? a ?1 ? 2

③a> 时,A=(2,3a+1)要使 B ? A ,必须 ?
3

1

?
2

2a ? 2

? a ? 1 ? 3a ? 1

此时1 ? a ? 3 .

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的范围为[1,3]∪{-1}. 17. (1) (2)
a = - 3, b = 4

,
2

切线
> f (x )max

y = 12x - 27 + 8c

c > f (x )

2

恒成立, c

由(1)知 f (x )max

= f (3) = 9 + 8c

,即有 c

2

> 9 + 8c

得到

c < - 1或c > 9

18. (1)存在 x0 使 m≥f(x0)min

f ' ( x ) ? 2(1 ? x ) ?

2 1? x

?

2 x ( x ? 2) 1? x

( x ? ?1)



f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

∴y=f(x)在(-1,0)上单减,在(0,+ ? )单增 f(0)min=1 ∴m≥1 ∴mmin=1 (2)g(x)=x+1-a-2ln(1+x)在[0,3]上两个零点 ? x+1-2ln(1+x)=a 有两个交点令 h(x)=x+1-2ln(1+x)
h' ( x ) ? 1 ? 2 x ?1 ? x ?1 x ?1

h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

∴y=f(x)在[0,1]上单减,(1,3]上单增 h(0)=1-2ln1=1 h(1)=2-2ln2 h(3)=4-2ln4 ∴2-ln2<a≤1 19.解: (Ⅰ) 由已知 (Ⅱ)
f ?( x) ? 2ax ? 2 x ? 2ax ? 2
2

x

. 经检验,
a ? 1 符合题意.

f ?(1) ? 2a ? 2 ? 0 ,

解得 a ? 1 .
2ax ? 2
2

f ?( x) ? 2ax ?

2 x

?

x

.

1) 当 a ? 0 时,

f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (0 , e] 上是减函数.

2)当 a ? 0 时, ① 若 ② 若
a a a a ?e ? e ,即 a ?

2a ( x ? f ?( x ) ?
1 e
2

a a

) (x ? x

a a

)

.
) 上是减函数,在 ( a a , e] 上是增函数;

, 则
1 e 1 e
2 2

f ( x ) 在 (0 ,

a a

,即 0 ? a ?

,则

f ( x ) 在 (0 , e] 上是减函数.

综上所述,当 a ? 当a ?
1 e
2

时,

f ( x ) 的减区间是 (0 , e] ,
a a ) ,增区间是 ( a a a a

时,

f ( x ) 的减区间是 (0 ,
1 e
2

, e] .

(III)当 a ?

时,由(Ⅱ)知

f ( x ) 的最小值是 f (

) ? 1 ? ln a ;

易知 g ( x) 在 (0 , e] 上的最大值是 g (e) ? ?4 ? ln a ;
?(1 ? ln a ) ? ( ?4 ? ln a ) ? 9 , 注意到 (1 ? ln a) ? (?4 ? ln a) ? 5 ? 2 ln a ? 0 ,故由题设知 ? 1 ? ?a ? 2 . e ?

解得

1 e
2

?a?e

2

.故 a 的取值范围是 (

1 e
2

,e ).
2

20、 (附加题)解: (1)因为角 ? 终边经过点 P ( ? 3, 3 ) ,所以
? sin ? ? 1 2

, co s ? ? ?

3 2

, tan ? ? ?

3 3

-----3 分
3 2 ? 3 3 ? ? 3 6

? sin 2 ? ? tan ? ? 2 sin ? co s ? ? tan ? ? ?

------3 分
?
6

(2) ? f ( x ) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ? cos x , x ? R -------1 分
? y ? 3 co s(

?
2

? 2 x ) ? 2 co s x ?
2

3 sin 2 x ? 1 ? co s 2 x ? 2 sin ( 2 x ?

) ? 1 ----2 分

?0? x?
?? 1 2

2? 3

,? 0 ? 2 x ?

4? 3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6

? sin ( 2 x ?

?
6

) ? 1 ,? ? 2 ? 2 sin ( 2 x ?

?
6

) ? 1 ? 1 -------3



函数 y ? 3 f (

?

? 2π ? 2 ? 2 x ) ? 2 f ( x ) 在区间 0, ? 2 3 ? ? ?

上的取值范围是 [ ? 2 ,1] ----2 分


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