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2007-2011年全国新课标理科数学(宁夏,海南)卷


2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(海南,宁夏)
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 )

/>B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

1 3 a? b? a ? (11) b ? (1 ? 1) ,则向量 2 ,, , 2 2.已知平面向量 (



? A. (?2, 1)

1) B. (?2, , D. (?1 2)

, C. (?1 0)

π? ? ? π ? y ? sin ? 2 x ? ? ? ? 2 ,π ? 3 ? 在区间 ? ? ? 的简图是( 3.函数
y
? ? 3



y

1
? 6

1
?

? ? 2

O
?1

x

?

? ?? O 3 2

?1

? 6

? x

A.

B.

y
1
? ? 2

y
?
? 3

?

?

? O 6

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O
?1
D.

?

x

C. 4.已知

开始

?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 ,


k ?1 S ?0

则其公差 d ? (

2 A. 3 ?

1 B. 3 ?

1 C. 3

2 D. 3

k ≤ 50?



? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

k ? k ?1

5.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2450 C.2550
2



B.2500 D.2652

6.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点 且

P ( x1,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P ( x3,y3 ) 在抛物线上, 1 3 2x2 ? x1 ? x3 , 则有(
) B. D.

A. C.

FP ? FP ? FP 1 2 3 2 FP ? FP ? FP 2 1 3

FP ? FP2 ? FP3 1
2 2

2

FP2 ? FP· FP3 1
2

7.已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列,

( a ? b) 2 x,c,d,y 成等比数列,则 cd 的最小值是(
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4



8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出 的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 ( )

20

4000 3 cm A. 3 8000 3 cm B. 3
C. 2000cm D. 4000cm
3

20 正视图

20 侧视图

10

10
3

c ? os2 2 ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? sn i ? 9. 若 , cs ? ? 则 o
为( )

20 俯视图

? 的值

?
A.

7 2

1 B. 2 ?

1 C. 2
10.曲线 y ? e
1 x 2

7 D. 2
在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
2



9 2 e A. 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 7 8 9 10 环数 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 6 4 4 6 频数 频数 4 6 6 4

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A. C.



s3 ? s1 ? s2 s1 ? s2 ? s3

B. D.

s2 ? s1 ? s3 s2 ? s3 ? s1

12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且 底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、 三棱锥、 三棱柱的高分别为 A. 3 :1:1

h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h ? (

) D. 3 : 2 : 3

B. 3 : 2 : 2

C. 3 : 2 : 2

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答, 第 22 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心 率为 .

f ( x) ?
14.设函数

( x ? 1)( x ? a) x 为奇函数,则 a ?



?5 ? 10i ? 15. i 是虚数单位, 3 ? 4i

. (用 a ? bi 的形式表示, a,b ? R )

16.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个 班,不同的安排方法共有 种. (用数字作答) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的

两个测点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰 角为 ? ,求塔高 AB .

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 S ? ABC 中, 侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边 三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.

S

O
B A

C

19. (本小题满分 12 分)

x2 ? y2 ? 1 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 2 在平面直角坐标系 有两个不
同的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围; (II)设椭圆与 x 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,使得向量

y

??? ???? ??? ? ? OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.
20. (本小题满分 12 分) 如图, 面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M , 可按下面方法估计 M 的面积: 在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估计

D m S 值为 n ,假设正方形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并向 M

C

A

B

正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目. (I)求 X 的均值 EX ; ( II ) 求 用 以 上 方 法 估 计 M 的 面 积 时 , M 的 面 积 的 估 计 值 与 实 际 值 之 差 在 区 间

(?0.03, ) 内的概率. ????
t P(k ) ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?t t ?0 k

附表:

k

2424

2425 0.0423

2574 0.9570

2575 0.9590

P(k )

0.0403

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x
2

(I)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性;

(II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于

ln

e 2.

22.请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AP 是 ? O 的切线, P 为切点, AC 是 ? O 的割线,与 ? O 交于 B,C 两点,圆心 O 在 ?PAC 的 内部,点 M 是 BC 的中点.

P

A B M

O

, (Ⅰ)证明 A P,O,M 四点共圆;
(Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小.

C

22.B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? O1 和 ? O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ?

(Ⅰ)把

? O1 和 ? O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; ? O1 , ? O2 交点的直线的直角坐标方程.

(Ⅱ)求经过

22.C(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 ;不等式选讲 设函数

f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4



(I)解不等式 f ( x) ? 2 ; (II)求函数 y ? f ( x) 的最小值.

2008 年普通高等学校统一考试 (宁夏卷)
数学(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图像如下:

那么ω=( A. 1

) B. 2 C. 1/2 D. 1/3

z2 ? 2z ? 2、已知复数 z ? 1 ? i ,则 z ? 1 (

) 开始

A. 2i B. -2i C. 2 D. -2 3、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦 值为( ) A. 5/18 B. 3/4 C.

3 /2

输 a,b,c x=a



D. 7/8

S4 ? {an } 的公比 q ? 2 , n 项和为 Sn , a2 ( 4、 设等比数列 前 则
15 C. 2 17 D. 2



b>x 否

是 x=b

A. 2

B. 4

5、右面的程序框图,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三 个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选 否 输出 x

是 x=c

结束

项中的( A. c > x 6、已知

) B. x > c C. c > b D. b > c )

a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1 (i ? 1, 2,3) 都成立的 x 取值范围是(
2 a B. (0, 1 ) 2 a D. (0, 3 )

1 a A.(0, 1 ) 1 a C. (0, 3 )
3 ? sin 700 2 0 7、 2 ? cos 10 =(
1 A. 2



B.

2 2

C. 2 )

D.

3 2

r r a , b 共线的充要条件是( 8、平面向量 r r
r r b ? ?a

r

r

A. a , b 方向相同 C. ?? ? R ,

B. a , b 两向量中至少有一个为零向量

r r r ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0 D. 存在不全为零的实数

9、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加 一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有( ) A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种

x?
10、由直线

1 1 y? 2 ,x=2,曲线 x 及 x 轴所围图形的面积为( 17 B. 4
2



15 A. 4

1 ln 2 C. 2

D. 2 ln 2

11、已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )

1 A. ( 4 ,-1)

1 B. ( 4 ,1)

C. (1,2)

D. (1,-2)

12、某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大 值为( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。

r r r r a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1,0) , | ? a ? b |? 29 且 ? ? 0 ,则 ? = ____________ 13、已知向量
x2 y 2 ? ?1 14、过双曲线 9 16 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直
线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为______________ 15、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面

9 上,且该六棱柱的体积为 8 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 _________
16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 由以上数据设计了如下茎叶图: 甲 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 乙

27 7 5 28 4 5 29 2 5 8 7 3 30 4 6 7 9 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 32 0 2 2 4 7 9 7 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ①__________________________________________________________________________ ②__________________________________________________________________________ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 已知数列 求 求

{an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。

{an } 的通项 an ; {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。

甲 品 种: 乙 品 种:

271 308 284

273 310 292

280 314 295

285 319 304

285 323 306

287 325 307

292 325 312

294 328 313

295 331 315

301 334 315

303 337 316

303 352 318 356

307

318

320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 18、 (本小题满分 12 分) 如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,∠PDA=60°。

求 DP 与 CC1 所成角的大小; 求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。
D1 A1 P

C1 B1

D

C

A

B

19、 (本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2。根据市场分 析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3

在 A、B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求方 差 DY1、DY2; 将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,100-x 万元投资 B 项目,f(x)表示投资 A 项目所得利 润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和。求 f(x)的最小值,并指出 x 为何值时,f(x) 取到最小值。 2 (注:D(aX + b) = a DX)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 20、 (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1: a 的左、右焦
点分别为 F1、F2。F2 也是抛物线 C2: y ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且
2

| MF2 |?

5 3。

求 C1 的方程;

uuu uuur uuuu r r uur uuu r MN ? MF1 ? MF2 , 平面上的点 N 满足 直线 l∥MN, 且与 C1 交于 A、 两点, OA ·OB =0, B 若
求直线 l 的方程。

f ( x) ? ax ?
21、 (本小题满分 12 分) 设函数 处的切线方程为 y ? 3 。

1 ( a, b ? Z ) x?b , 曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2))

求 y ? f ( x) 的解析式; 证明:曲线 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; 证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积为定值, 并求出此定值。 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 作直线 AP 垂直直线 OM,垂足为 P。 2 (1)证明:OM·OP = OA ; (2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交直线 ON 于 K。证明:∠OKM = 90°。
B A N O P M K

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ?x ? ? ? x ? cos ? ? ?y ? (? 为参数) ? ? ? y ? sin ? 已知曲线 C1: ,曲线 C2: ? 2 t? 2 2 (t为参数) 2 t 2 。

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线

C1 ' ,C2 ' 。写出 C1 ' ,

C2 ' 的参数方程。 1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C 与 C 公共点的个数是否相同?说明你的理由。 C 1 2
24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | 。 作出函数 y ? f (x) 的图像; 解不等式 | x ? 8 | ? | x ? 4 |? 2 。

2009 年普通高等学校招生考试新课标理 科数学(海南、宁夏卷)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其 他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2,…,xn 的标准差

s?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] n

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

V ?
锥体体积公式

1 Sh 3

其中 S 为底面面积,h 为高

球的表面积、体积公式 S=4πR ,

2

V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩ A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} B 等于( ) D.{1,2,3}

3 ? 2i 3 ? 2i ? 2.复数 2 ? 3i 2 ? 3i 等于 ……(

)

A.0 B.2 C.-2i D.2i 3.对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图 1;对变量 u,v 有观测数据 (ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图 2.由这两个散点图可以判断( )

图1 图2 A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关

C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

x2 y2 ? ?1 12 4.双曲线 4 的焦点到渐近线的距离为(
A. 2 3 B.2 C. 3

) D.1

5.有四个关于三角函数的命题: p1: ? x∈R,

sin 2

x x 1 ? cos 2 ? 2 2 2

p2: ? x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny

1 ? cos 2 x ? sin x 2 p3: ? x∈[0,π],
? x? y ?
p4:sinx=cosy 其中的假命题是( ) A.p1,p4 B.p2,p4

?
2
C.p1,p3 D.p2,p3

6.设 x,y 满足

?2 x ? y ? 4, ? ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ?

则 z=x+y(

)

A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4 等于( A.7 B.8 C.15 D.16

)

EF ?
8.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 下列结论中错误的是( )

2 2 ,则

A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD

C.三棱锥 A—BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 9.已知点 O,N,P 在△ABC 所在平面内,且 | OA |?| OB |?| OC | ,

| NA | ? | NB | ? | NC |? 0 , | PA | ? | PB |?| PB | ? | PC |?| PC | ? | PA | ,则点 O,N,P 依次
是△ABC 的( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心) 10.如果执行下边的程序框图,输入 x=-2,h=0.5,那么输出的各个数的和等于(



A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 2 11.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm )为( )

A. 48? 12 2 C. 36 ? 12 2

B. 48? 24 2 D. 36 ? 24 2
x

12.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2 ,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x) 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.

第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为_________________. 14.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图像如图所示,则 φ=_______.

15. 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排 3 人,则不同的 安排方案共有__________种(用数字作答). 2 16.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-am =0,S2m-1=38,则 m=________________. :解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测 量.A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离. 请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公 式写出计算 M,N 间的距离的步骤.

. 18.(本小题满分 12 分)某工厂有工人 1 000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工 人),另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二 层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的 零件数). (1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为 A 类工人,乙为 B 类工人; (2)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2. 表 1: 生产能 力分组 人数 表 2: 生产能力分组 人数 [110,120) 6 [120,130) y [130,140) 36 [140,150) 18 [100,110) 4 [110,120) 8 [120,130) x [130,140) 5 [140,150) 3

①先确定 x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A 类工人中个体间 的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回

答结论)

图 1 A 类工人生产能力的频率分布直方图

图 2 B 类工人生产能力的频率分布直方图 ②分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的

2 倍,P 为侧棱 SD 上的点.

(1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 PACD 的大小. (3)在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC?若存在,求 SE∶EC 的值; 若不存在,试说明理由. 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个 顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程;

| OP | ?? (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, | OM | ,求点 M 的轨迹
方程,并说明轨迹是什么曲线

. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(x +3x +ax+b)e . (1)若 a=b=-3,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明 β-α>6. 请考生在第 22、 23、 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 24 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠B=60°,F 在 AC 上,且 AE=AF.

3

2

-x

(1)证明 B,D,H,E 四点共圆; (2)证明 CE 平分∠DEF. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? ?4 ? cost , ? x ? 8 cos? , ? ? ? y ? 3 ? sin t (t 为参数),C2: ? y ? 3 sin ? (θ 为参数). 已知曲线 C1:
(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

t?
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为

?

? x ? 3 ? 2t , ? 2 ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3: ? y ? ?2 ? t (t

为参数)距离的最小值. . 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点.设 x 表示 C 与原点的距 离,y 表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和.

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 (宁夏卷)
数学(理科) 参考公式: 样本数据

x1 , x2 ,? xn 的标准差

锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R

2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| x≤4,x∈Z},则 A∩B=( A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2} 3+i 2.已知复数 z= ? 1- 3i? 1 A. 4 1 B. 2 , z 是 z 的共轭复数,则 z· z =( ) )

2

C.1 )

D.2

x 3.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3

D.y=-2x-2

4.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度 为 1,那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

5.已知命题 p1:函数 y=2 -2 在 R 为增函数. x -x p2:函数 y=2 +2 在 R 为减函数. 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真命题是( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4 6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需 再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 7.如果执行如图的框图,输入 N=5,则输出的数等于( )

x

-x

5 A. 4

4 B. 5
3

C.

6 5

5 D. 6

8.设偶函数 f(x)满足 f(x)=x -8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} α 1+tan 2 4 9.若 cosα=- ,α是第三象限的角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 1 B. 2 C.2

)

D.-2

10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为( ) A.πa
2

7 2 B. πa 3

11 2 C. πa 3

D.5πa

2

?|lgx|,0<x≤10, ? 11.已知函数 f(x)=? 1 ?-2x+6,x>10. ?

若 a,b,c 互不相等,

且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 12.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点, 且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( ) x y A. - =1 3 6
2 2

x y B. - =1 4 5

2

2

x y C. - =1 6 3

2

2

x y D. - =1 5 4

2

2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二(填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似 计算积分 ?
1

f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1, 2, x …, N 和 y1, x y2, yN, …, 由此得到 N 个点(xi, i)(i=1,2, N). y …, 再数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1,2, …,
0

N)的点数 N ,那么由随机模拟方法可得积分 ?
1

1

f(x)dx 的近似值为________. 14.正视图为一个三角形的几何体可以是________.(写出三种) 15.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为 ________________.
0

1 16.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= CD,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 的面积为 3 2 - 3,则∠BAC=________. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2n-1 17.(本小题满分 12 分)设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·2 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 18.(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD, 垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 中点. (1)证明:PE⊥BC;(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方 法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论, 能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中, 需要志愿者提供帮 助的老年人的比例?说明理由. 附: 2 P(K ≥k) 0.050 0.010 0.001 k K= ? a+b?
2

3.841
2

6.635

10.828

n? ad-bc? ? c+d? ? a+c?

? b+d?
2 2

x y 20.(本小题满分 12 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率 a b 为 1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=e -1-x-ax . (1)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆上的弧 AC = BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:
x 2

?

?

(1)∠ACE=∠BCD;

(2)BC =BE×CD.

2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
?x=1+tcosα, ? 已知直线 C1:? ? ?y=tsinα, ?x=cosθ ? (t 为参数),圆 C2:? ? ?y=sinθ,

(θ为参数).

π (1)当α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当α变化时,求 P 点轨迹的参数 方程,并指出它是什么曲线. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数 y=f(x)的图象; (2)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围.

2011 年普通高等学校招生全 国统一考试理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

2?i 1.复数 1 ? 2i 的共轭复数是

3 ? i (A) 5

3 i (B) 5

(C) ?i

(D) i

2.下列函数中,既是偶函数哦、又在(0, )单调递增的函数是 (A) y ? x
2

(B)

y ? x ?1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x

3.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 4.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

1 (A) 3

1 (B) 2

2 (C) 3

3 (D) 4

5. 已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y ? 2 x 上, cos 2? = 则

4 (A) 5 ?

3 (B) 5 ?

3 (C) 5

4 (D) 5

6.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的侧视图可以为

7. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, 与 C 交于 A,B 两点, l 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3
5

AB

(C)2

(D)3

a ?? 1? ? ? x ? ?? 2 x ? ? x ?? x ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 8. ?
(A)-40 9.由曲线 y ? (B)-20 (C)20 (D)40

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
16 (C) 3

10 (A) 3

(B)4

(D)6

10.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, 1 ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A)

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

P , P4 1

(B)

P , P3 1

(C)

P2 , P3

(D)

P2 , P4

f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
11 . 设 函 数

?

) 2 的最小正周期为 ? ,且

f (? x) ? f ( x) ,则

? ?? ? 0, ? (A) f ( x ) 在 ? 2 ? 单调递减

? ? 3? ? , (B) f ( x ) 在 ? 4 4

? ? ? 单调递减

? ?? ? ? 3? ? 0, ? ? , (C) f ( x ) 在 ? 2 ? 单调递增 (D) f ( x ) 在 ? 4 4
y?
12.函数

? ? ? 单调递增

1 x ? 1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有焦点的横坐标之和等
(D)8

于 (A)2 (B) 4 (C) 6 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

?3 ? 2 x ? y ? 9, ? x, y 满足约束条件 ?6 ? x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 13.若变量
14.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点



F1 , F2 在

x 轴上,离心率为

2 2 。过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为



15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥

O ? ABCD 的体积为
?

。 。

16.在 ?ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 等比数列 求数列

?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .

?an ? 的通项公式.

?1? ? ? bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? bn ? 的前项和. 设
18.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 19. (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越 好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验 结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]

频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 频数 4 12 42 32 10 (Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望. (以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) 20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 21. (本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已知函数

a ln x b ? x ? 1 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。

(Ⅰ)求 a 、 b 的值;

(Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时,

f ( x) ?

ln x k ? x ? 1 x ,求 k 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请 写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。
2

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ? ? y ? 2 ? 2sin ? ( ? 为参数)
??? ? ???? ? OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 M 是 C1 上的动点,P 点满足
(Ⅰ)求 C2 的方程

??
(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求

?
3 与 C1 的异于极点的交

AB

.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数

f ( x) ? x ? a ? 3x

,其中 a ? 0 。

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集

?x | x ? ?1 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为

?

,求 a 的值。

答案
2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案
一、选择题 1.C 2.D 7.D 8.B 二、填空题 13. 3 14. ?1 三、解答题

3.A 9.C 15. 1 ? 2i

4.D 10.D 16.240

5.C 11.B

6.C 12.B

17.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得 所以 BC ?

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s sin ? · ? . sin ?CBD sin(? ? ? )

在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

s tan ? sin ? · . sin(? ? ? )
S

18.证明: (Ⅰ) 由题设 AB= AC = SB= SC ? SA , 连结 OA ,△ ABC 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OC ?

2 ,且 SA 2
O
B

M

AO ? BC ,又 △ SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC ,且

C
A

SO ?

2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2

所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法一: , O M 由 ( Ⅰ ) 知 S O? 取 SC 中 点 M , 连 结 A M , O M? S C A M .S C , ?

OC ,

? A S

AC , 得

∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC .
所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 SA , 2

故 sin ?AMO ?

AO 2 6 . ? ? AM 3 3
3 . 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为 解法二:

以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系

O ? xyz .
, 0) , 0) 1 ,, 0, 设 B(1 0, ,则 C (?1 0,,A(0,0) S (0,1) .

? ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? ? 1 1 ? ???? ? 1 SC 的中点 M ? ? , ? , MO ? ? , ? ?, ? ? , ? ?, ? (?1 0, 1) . 0, 0, MA 1 , SC ,? 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ∴MO SC ? 0, · SC ? 0 . · MA

z
S

???? ??? ? ? 故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等 于 二 面 角
A ? SC ? B 的平面角.

M

O

C
A y

x

B

???? ???? ? ???? ???? ? MO MA · 3 , cos ? MO MA ?? ???? ???? ? , ? 3 MO· MA
所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 . 3

19.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

x2 ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 代入椭圆方程得 2
整理得 ?

?1 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 ?2 ?



直 线 l 与 椭 圆 有 两 个 不 同 解 得 k??

2 2 或 k? .即 k 的取值范围为 2 2

? ? 2? ? 2 ? , ∞? . ? ? ? ?∞, ??? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
(Ⅱ)设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 由方程①, x1 ? x2 ? ?

??? ??? ? ?

4 2k . 1 ? 2k 2



又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 . 而 A( 2 0) B(01) AB ? (? 21) . ,, ,, ,



??? ?

所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?

??? ???? ?

??? ?

2 . 2

由(Ⅰ)知 k ? ?

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k . 2 2

20.解: 每个点落入 M 中的概率均为 p ? 依题意知 X ~ B ?10000, ? .

1 . 4

? ?

1? 4?

(Ⅰ) EX ? 10000 ?

1 ? 2500 . 4

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ?0.03 ?

? ?

X ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? , 10000 ?

X ? ? P ? ?0.03 ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? ? P(2425 ? X ? 2575) 10000 ? ? ?
2574

t ? 2426

?C

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
2574

的交点 P ?

t ? 2426

?

t t C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?t ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?1 t ?0

2425

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 .
21.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ? 2x , x?a 3 . 2

依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? 从而 f ?( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? . 3 3 x? x? 2 2

3 ? 3 ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ∞? ,当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; ? 2 ? 2 ?
当 ?1 ? x ? ? 当x??

1 时, f ?( x) ? 0 ; 2

1 时, f ?( x) ? 0 . 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1?,? , ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 ? ? ? ? ,

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

? (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (?a, ∞) , f ?( x) ?
2 2

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 .

若a ?

2 , x? (? 2,∞) , f ?( x) ? ?

( 2 x ? 1)2 . x? 2

当x??

? ? 2? ? 2 2 ? , ∞? 时,f ?( x) ? 0 , ? ? 时,f ?( x) ? 0 , x ? ? ? 2, 当 所以 f ( x ) ???? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? ?

无极值和 Q 等价于若 a ? ? 2 ,x? ( 2 ? ) , f ?( x) ? ,∞ (ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2

有 2 或 a ? ? 2 , 则 2 x2 ? 2a x? 1 ? 0 两 个 不 同 的 实 根

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , x2 ? . x1 ? 2 2
当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极 值. 当a ?

2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,由根值

判别方法知 f ( x ) 在 x ? x1,x ? x2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2,∞) . ?

f ( x) 的极值之和为
1 e f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln 2 2
. 22.A (Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与 ? O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是 ? O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC .

P

A B

O
M

C 于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . , 由圆心 O 在 ?PAC 的内部, 可知四边形 APOM 的对角互补, 所以 A P,O,M 四点共圆. , (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A P,O,M 四点共圆,所以 ?OAM ? ?OPM .
由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 所以 ?OAM ? ?APM ? 90° . 22.B 解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单 位.
2 (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4cos ? 得 ? ? 4? cos? .

所以 x ? y ? 4 x .
2 2

即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 为 ? O1 的直角坐标方程. 同理 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 为 ? O2 的直角坐标方程.

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x1 ? 0,? x2 ? 2 ? (Ⅱ)由 ? 2 解得 ? . ? 2 ?x ? y ? 4 y ? 0 ? y1 ? 0, y2 ? ?2 ? ?
即 ? O1 , ? O2 交于点 (0, 和 (2, 2) .过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x . 0) ? 22.C解: (Ⅰ)令 y ? 2x ?1 ? x ? 4 ,则

y

1 ? x≤? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4, ....... 分 ........3 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?

y?2
O 1 ? 2
4

x

2) 作出函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 和 ? ,? . 2
所以 2x ?1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 (? x, 7) ? ? , x ? . ? ? (Ⅱ)由函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图像可知,当 x ? ? 值?

?5 ?3

? ?

?5 ?3

? ?

1 时, y ? 2x ?1 ? x ? 4 取得最小 2

9 . 2

2008 年普通高等学校统一考试(宁夏卷) 数学(理科)参考答案
一、选择题 1.B 2.B 7.C 8.D 二、填空题 13. 3 3.D 9.A 4.C 10.D 5.A 11.A 6.B 12.C

14.

32 15

15.

4 ? 3

16. 1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长 度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . 2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的

纤维长度的分散程度更大) . 3.甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. 4.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉花 的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 三、解答题 17.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

? a1 ? d ? 1 ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 18.解: 如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyzz. 则 DA ? (1 0, , CC? ? (0, . ,0) 01) , 连结 BD , B ?D ? . 在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H . 设 DH ? (m,m, m ? 0) , 1)(

uur u

uuu r

D?

A?

H P

C?
B?
C B

uuu r

D A x

y

uuu uur r u o 由已知 ? DH, ?? 60 , DA uur uuu uur uuu u r u r uur uuu u r , 由 DAgDH ? DA DH cos ? DA DH ?
可得 2m ? 2m2 ?1 . 解得 m ?

uuu ? 2 2 ? r 2 1? ,所以 DH ? ? ? 2 ,2 , . ? 2 ? ?

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 uuu uuu r r 2 2 ? ?? 2 CC ? (Ⅰ)因为 cos ? DH, , 2 1? 2
所以 ? DH, ? ?? 45 . CC
o

uuu uuu r r

即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 .
?

(Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (01 0) . , ,

uuu r

2 2 ?0? ?1 ? 1? 0 uuu uuu r r 1 2 2 因为 cos ? DH, ?? DC ? , 2 1? 2
所以 ? DH, ?? 60o . DC 可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 .
?

uuu uuu r r

19.解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 5 0.8 10 Y2 0.2 2 0.2 8 0.5 12 0.3

P

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ,

P

DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 , EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 , DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 .
(Ⅱ) f ( x) ? D ?
2

? x ? ? 100 ? x ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 100 ? ? 100 ?
2

? x ? ? 100 ? x ? ?? ? DY1 ? ? ? DY2 ? 100 ? ? 100 ?
4 ? x 2 ? 3(100 ? x) 2 ? ? 1002 ? 4 ? (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) , 2 100 600 ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值. 当x? 2? 4 ?
20.解: (Ⅰ)由 C2 : y ? 4 x 知 F2 (1 0) . ,
2

设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ? 得 x1 ?

5 5 ,所以 x1 ? 1 ? , 3 3

2 2 6 , y1 ? . 3 3

M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, 2 消去 b 并整理得 ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?
9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0 ,
解得 a ? 2 ( a ?

1 不合题意,舍去) . 3

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 C1 的方程为 4 3
(Ⅱ)由 MF1 ? MF2 ? MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

uuur

uuuu r

uuu r

2 6 故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 . 2 3
设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) .

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? 由? 消去 y 并化简得 ? y ? 6( x ? m), ?
9 x 2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .
设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,

16m 8m2 ? 4 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 9 9
因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

uur

uur u

x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m)

? 7 x1x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
8m2 ? 4 16m ? 7g ? 6 mg ? 6m 2 9 9
1 ? (14m 2 ? 28) ? 0 . 9
所以 m ? ? 2 .

此时 ? ? (16m)2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 ,或 y ? 6x ? 2 3 . 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 , ( x ? b) 2

f ( x) ? x ?

1 . x ?1 1 都是奇函数. x

(Ⅱ)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ? 所以函数 g ( x ) ? x ? 而 f ( x) ? x ? 1 ?

1 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形. x

1 ?1 . x ?1

, 可知,函数 g ( x) 的图像按向量 a ? (11) 平移,即得到函数 f ( x ) 的图像,故函数 f ( x ) 的图 , 像是以点 (11) 为中心的中心对称图形.
(Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ? x0,x0 ?

? ?

1 ? ?. x0 ? 1 ?

由 f ?( x0 ) ? 1 ?

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1)2

2 x0 ? x0 ? 1 ? 1 ? y? ? ?1 ? ( x ? x0 ) . 2? x0 ? 1 ? ( x0 ? 1) ?

令 x ?1得 y ?

? x ?1? x0 ? 1 ,切线与直线 x ? 1 交点为 ? 1,0 ?. x0 ? 1 ? x0 ? 1 ?

令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ?1 2 x0 ?1) . ,

, 直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为 (11) .
从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以,所围三角形的面积为定值 2 . 22.解: (Ⅰ)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ? AM . 又因为 AP ? OM .在 Rt△OAM 中,由射影定理知,

OA2 ? OM gOP .

(Ⅱ)证明:因为 BK 是圆 O 的切线, BN ? OK .

OK ,又 OB ? OA , 同(Ⅰ) ,有 OB ? ON g
2

OM ? ON gOK ,即 所以 OPg
又 ∠NOP ? ∠MOK ,

ON OM ? . OP OK
?

所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM ? ∠OPN ? 90 . 23.解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, ,半径 r ? 1 . 0)
C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

? ? x ? cos ?, ?x ? ? :? ?:? C1 ? ( ? 为参数) C 2 ; 1 ? ? y ? 2 sin ? ?y ? ? ? ?
2 2

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 4
1 2 , x? 2 2

化为普通方程为: C1? : x ? 4 y ? 1 , C 2? : y ? 联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 ,
2

其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 , 所以压缩后的直线 C 2? 与椭圆 C1? 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同

2009 新课标数学(宁夏,海南)
1.答案:A 解析:即在 A 中把 B 中有的元素去掉. 2.答案:D 解析:原式

(3 ? 2i )(2 ? 3i) ? (2 ? 3i)(3 ? 2i) 13i ? 13i ? ? 2i .故选 D. (2 ? 3i)(2 ? 3i ) 13

3 答案:C 解析:由图象观察易知 C 正确.

.4. 答案:A 解析:焦点 F(4,0),渐近线方程为 y ? 3x .由点到直线的距离得 d ? 5.答案:A 解析: ? x∈R, sin
2

4 3 ? 2 3 .故选 A. 2

x x ? cos 2 ? 1 ,故 p1 为假命题. 2 2

由 sinx=cosy ? sinx=sin( 或x ?

?

?
2

2

? y )? x ?

?

2

? y =π+2kπ,

? y ? 2k? ,k∈Z,故 p4 为假命题.

故选 A. 6.答案:B 解析:由图象可知 z=x+y 在点 A 处取最小值 zmin=2,无最大值.

7.答案:C 解析:由 4a1+a3=4a2 ? 4+q2=4q ? q=2, 则 S4=a1+a2+a3+a4=1+2+4+8=15. 故选 C. 8.答案:D 解析:由 AC⊥ 平面 DBB1D1 可知 AC⊥ BE.故 A 正确. EF∥ BD,EF ? 平面 ABCD,知 EF∥ 平面 ABCD,故 B 正确. 且 S ?BEF ?

1 BB1 ? EF ? 定值 , 2

故 VA—BEF 为定值,即 C 正确. 故选 D. 9.答案:C 解析:由 | OA |?| OB |?| OC | 知 O 到 A、B、C 三点的距离相等,即为外心. 由 | NA | ? | NB | ? | NC |? 0 ,设 D 为 BC 中点,则有 NA+2ND=0. 则 N 为中线靠近中点的三等分点,即为重心. 由 | PA | ? | PB |?| PB | ? | PC |?| PB | ?(PC ? PA) ? 0 ? PB ? AC ? 0 , 同 理 , 有

| PA | ? | BC |? 0 , | PC | ? | AB |? 0 .
则 P 为垂心,故选 C. 10.答案:B 解析:当 x<0 时输出 y 恒为 0, 当 x=0 时,输出 y=0. 当 x=0.5 时,输出 y=x=0.5. 当 1≤x≤2 时输出 y 恒为 1,而 h=0.5,故 x=1、1.5、2. 故输出的各个数之和为 0.5+3=3.5. 故选 B. 11.答案:A 解析:由三视图可知原棱锥为三棱锥,记为 P—ABC(如图). 且底边为直角三角形,顶点 P 在底面射影为底边 AC 的中点,

且由已知可知 AB=BC=6,PD=4. 则全面积为 S ?

1 1 1 ?6?6 ? 2? ?6?5 ? ? 4?6 2 2 2 2

? 48? 12 2 .
故选 A. 12.答案:C A 到平面 BEF 的距离即为 A 到平面 DBB1D1 的距离,为 解析:令 2x=x+2 ? x1<0(舍)或 x2=2, 令 2x=10-x 即 2x+x=10,则 2<x<3. 则可知 f(x)的大致图象如下图所示.

2 2

故 f(x)≤6,即选 C.

填空题
13.答案:y=x

解析:由 F(1,0)知抛物线 C 的方程为 y2=4x,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 y12=4x1,y22=4x2,两式相减有 y12-y22=4(x1-x2)

?

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 ? k AB ? 1 . x1 ? x2
9? 10

故 lAB:y-2=x-2,即 y=x. 14.答案:

4 3? 5? )? ,故 ? ? . 5 4 2 4 4 3? ? ? ? ? 2k? ? ∴ y ? sin( x ? ? ) ,令 4 ? (k∈ Z). 5 5 4 2 11? 则 ? ? 2k? ? ,k∈ Z.又-π≤φ<π, 10 9? 则? ? . 10
解析: T ? 2 ? (2? ? 15.答案:140
1 解析:分两步:(一)有一人不参加活动 C7 , 3 (二)将 6 人分成二组,每组 3 人安排在两天工作 C6 .

1 3 故共有 C7 ? C6 ? 140.

16.答案:10 解析:由 am-1+am+1-am2=0 且 am-1+am+1=2am 知 am2=2am ? am=2 或 am=0. 又 S2m-1=38 知 am≠0, 故 am=2,则 S2m-1=(2m-1)× 2=38 ? m=10.

三、解答题
18.分析:本小题主要考查三角形中正、余弦定理的应用. 解:方案一:① 需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 α1,β1;B 点到 M,N 的俯角 α2,β2;A,B 的 距离 d(如图所示).

② 第一步:计算 AM.由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 ; sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算 AN.由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 ; sin(? 2 ? ?1 )

第三步:计算 MN.由余弦定理 MN ?

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos( ? 1 ? ? 2 ) .

方案二:① 需要测量的数据有: A 点到 M,N 点的俯角 α1,β1;B 点到 M,N 点的俯角 α2,β2;A,B 的距离 d(如图所示). ② 第一步:计算 BM.由正弦定理 BM ?

d sin ?1 ; sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算 BN.由正弦定理 BN ?

d sin ?1 ; sin(? 2 ? ?1 )
BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

第三步:计算 MN.由余弦定理 MN ?

19.分析:本小题第(1)问考查分层抽样和相互独立事件同时发生的概率. 第(2)问考查频率分布直方图及期望的求解.

1 ,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立, 10 1 1 1 ? ? 故甲、乙两工人都被抽到的概率为 p ? 10 10 100
解:(1)甲、乙被抽到的概率均为 (2)① 由题意知 A 类工人中应抽查 25 名,B 类工人中应抽查 75 名. 故 4+8+x+5+3=25,得 x=5, 6+y+36+18=75,得 y=15. 频率分布直方图如下:

图 1 A 类工人生产能力的频率分布直方图

图 2 B 类工人生产能力的频率分布直方图

从直方图可以判断:B 类工人中个体间的差异程度更小. ②x A ?

4 8 5 5 3 ? 105 ? ? 115 ? ? 125 ? ? 135 ? ? 145 ? 123 , 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB ? ? 115 ? ? 125 ? ? 135 ? ? 145 ? 133.8 , 75 75 75 75 25 75 x? ? 123 ? ? 133.8 ? 131.1 . 100 100

A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的 估计值分别为 123,133.8 和 131.1. 20 分析:本小题主要考查线面垂直、 线面平行的基本空间位置关系.第(1)问可以通过线面垂直 去求证线线垂直.第(2)问可利用第(1)问结论进一步求解.第(3)问可以从线面平行需要的条件 进行转化.亦可以从空间向量方向入手. 解法一:(1)证明:连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO⊥ AC.在正方形 ABCD 中,AC⊥ BD,所以 AC⊥ 平面 SBD,得 AC⊥ SD.

(2)设正方形边长 a,则 SD ? 又 OD ?

2a .

2 a ,所以∠ SDO=60° . 2

连 OP,由(1)知 AC⊥ 平面 SBD,所以 AC⊥ OP,且 AC⊥ OD.所以∠ POD 是二面角 P-AC-D 的平 面角. 由 SD⊥ 平面 PAC,知 SD⊥ OP,所以∠ POD=30° , 即二面角 P-AC-D 的大小为 30° . (3)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE∥ 平面 PAC. 由(2)可得 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取一点 N,使 PN=PD.过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点 4

即为 E.连 BN,在△BDN 中知 BN∥ PO. 又由于 NE∥ PC,故平面 BEN∥ 平面 PAC,得 BE∥ 平面 PAC. 由于 SN∶ NP=2∶ 1,故 SE∶ EC=2∶ 1. 解法二:(1)证明:连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意知 SO⊥ 平面 ABCD.以 O 为坐标原点, OB 、

OC 、 OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标 O—xyz,如图.

设底面边长为 a,则高 SO ?

6 a. 2

于是 S(0,0,

6 2 2 a ),D( ? a ,0,0),C(0, a ,0), 2 2 2 2 a ,0), 2 2 6 a ,0, ? a ), 2 2

OC =(0,

SD =( ?

OC ? SD ? 0 .
故 OC⊥ SD. 从而 AC⊥ SD. (2)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS =(

2 a ,0, 2

6 a ),平面 DAC 的一个法向量 OS = 2

(0,0,

?S ? DS 3 6 ? a ).设所求二面角为 θ,则 cos ? ? ,所求二面角的大小为 30° . 2 2 | ?S || DS |

(3)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥ 平面 PAC. 由(2)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量, 且 DS =(

2 a ,0, 2

6 2 6 a ), CS =(0, ? a, a ). 2 2 2

设 CE ? t CS , 则 BE ? BC ? CE ? BC ? t CS =( ? 而 BE ? DS ? 0 ? t ?

2 2 a, a(1 ? t ) , 2 2

6 at ). 2

1 , 3

即当 SE∶ EC=2∶ 时, BE ? DS . 1

而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE∥ 平面 PAC. 20.分析:本题第(1)问求椭圆中的基本参数. 第(2)问考查形如(a-λ)x2+by2=c(其中 a,b,c 为定值) 所表示的曲线类型,渗透着分类讨论思想. 解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c,由已知得 ?

?a ? c ? 1, 解得 a=4,c=3. ?a ? c ? 7,

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 7

(2)设 M(x,y),其中 x∈ [-4,4] .由已知

| OP | 2 9 x 2 ? 112 ? ?2 及点 P 在椭圆 C 上可得 ? ?2 , 2 2 2 16( x ? y ) | OM |

整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中 x∈ [-4,4]. ①? ?

3 时,化简得 9y2=112, 4

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (-4≤x≤4),轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

x2 y2 3 ②? ? 时,方程变形为 112 ? 1122 ? 1 ,其中 x∈ [-4,4]. 4 16 ?2 ? 9 16 ?
当 0<λ< 当

3 ,点 M 的轨迹为中心在原点,实轴在 y 轴上的双曲线满足-4≤x≤4 的部分; 4

3 <λ<1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足-4≤x≤4 的部分; 4

当 λ≥1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆. 21. 分析:第(1)问考查利用导数求单调区间,属容易题. 第(2)问考查极值点与导函数的关系. - 解:(1)当 a=b=-3 时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e x,故 - - f′(x)=-(x3+3x2-3x-3)e x +(3x2+6x-3)e x - =-e x (x3-9x) - =-x(x-3)(x+3)e x. 当 x<-3 或 0<x<3 时,f′(x)>0; 当-3<x<0 或 x>3 时,f′(x)<0. 从而 f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少. - - - (2)f′(x)=-(x3+3x2+ax+b)e x +(3x2+6x+a)e x=-e x[x3+(a-6)x+b-a]. 由条件得 f′(2)=0,即 23+2(a-6)+b-a=0,故 b=4-a. - 从而 f′(x)=-e x[x3+(a-6)x+4-2a]. 因为 f′(α)=f′(β)=0, 所以 x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β) =(x-2)[x2-(α+β)x+αβ].

将右边展开,与左边比较系数,得 α+β=-2,αβ=a-2. 故 ? ?? ?

( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .

又(β-2)(α-2)<0,即 αβ-2(α+β)+4<0.由此可得 a<-6. 于是 β-α>6. 22.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等. 证明:(1)在△ABC 中,因为∠ B=60° ,

所以∠ BAC+∠ BCA=120° . 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠ HAC+∠ HCA=60° . 故∠ AHC=120° . 于是∠ EHD=∠ AHC=120° , 因为∠ EBD+∠ EHD=180° , 所以 B,D,H,E 四点共圆. (2)连结 BH,则 BH 为∠ ABC 的平分线,得∠ HBD=30° . 由(1)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以∠ CED=∠ HBD=30° . 又∠ AHE=∠ EBD=60° ,由已知可得 EF⊥ AD, 可得∠ CEF=30° . 所以 CE 平分∠ DEF. 23.分析:参数方程的考查,即为三角函数中同角三角函数的基本关系 sin2x+cos2x=1 的应用; 第(2)小问点到直线距离公式的应用.

x2 y2 ? ? 1. 解:(1)C1:(x+4) +(y-3) =1,C2: 64 9
2 2

C1 为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (2)当 t ?

?

2

时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故 M(-2+4cosθ, 2 ?

3 sin ? ). 2

C3 为直线 x-2y-7=0,M 到 C3 的距离 d ?

5 | 4 cos? ? 3 sin ? ? 13 | . 5

从而当 cos ? ?

4 3 8 5 , sin ? ? ? 时,d 取得最小值 5 5 5

24.分析:第(1)小问考查绝对值的几何意义——距离问题. 第(2)小问考查含绝对值不等式的解法及分段思想. 解:(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30.

(2)依题意,x 满足 ?

?4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, ?0 ? x ? 30.

解不等式组,其解集为[9,23]. 所以 x∈ [9,23].

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 数学(理科)答案
一、选择题 1.D 7.D 2.A 8.B 3.A 9.A 4.C 10.B 5.C 11.C 6.B 12.B

二、填空题 13.

N1 14. 三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分) N
2 2

15. (x-3) +y =2 三、解答题 17.(1) an=2
2n-1

16.

60°

1 2n+1 (2) Sn= [(3n-1)2 +2] 9 2 . 4

18.(1) 略 (2) 19. (1) 14%.

(2)K ≈9.967.由于 9.967>6.635, 99%

2

(3)由(2)的结论知, 该地区老年人是否需要帮助与性别有关, 并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异, 因此在调查时, 先确定该地区 老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法,比采用简单随机 抽样方法更好. 20.(1) e= =

c a

a2-b2 2 = a 2

(2)

+ =1. 18 9

x2

y2

1 21.(1) f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加.(2) (-∞, ]. 2 22 (1)略 (2) BC =BE×CD. 1 3 23 (1) (1,0),( ,- ) 2 2
2

?x=1sin α, ? 2 (2) ? 1 ?y=-2sinαcosα, ?
2

1 1 (α为参数). P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的 4 4

圆.

24.(1)

1 (2) (-∞,-2)∪[ ,+∞). 2 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案

一、选择题 (1)C (7)B 二、填空题 (13)-6 三、解答题 (17)解:
3 2 (Ⅰ) 设数列{an}的公比为 q, a3 ? 9 2a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ? 由 2 a
2

(2)B (8)D

(3)B (9)C

(4)A (10)A

(5)B (11)A

(6)D (12)D

(14)

x2 y 2 ? ?1 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

1 。 有条件可知 a>0, 9

故q ?

1 。 3
1 1 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? (Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 { (18)解:

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

(Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD
2 2 2

又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直 角坐标系 D- xyz ,则

A ?1,0,0? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。
??? ? ??? ? ??? ? AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)

?

? ?

?

设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 即

?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m,则

??? ? m ? PB ? 0 ??? ? m ? BC ? 0 cos m, n ?
2 7 7
22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配 100

可取 m=(0,-1, ? 3 )

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19)解

?

(Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方 100

( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

?90,94? , ?94,102? , ?102,110?
的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解: ( Ⅰ ) 设 M(x,y), 由 已 知 得 B(x,-3),A(0,-1). 所 以 MA = ( -x,-1-y ) ,

????

???? MB =(0,-3-y),

??? ? ???? ???? ??? ? AB =(x,-2).再由愿意得知( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.
所以曲线 C 的方程式为 y=

1 2 x -2. 更多免费试卷下载 w 绿 w 色 w.lsp 圃 jy.c 中 om 小学 4 1 2 1 ' 1 x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2

教育网 分站 www.fydaxue.com (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? 则 O 点到 l 的距离 d ?

1 x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2
.又 y0 ?

2 | 2 y0 ? x0 |

x ?4
2 0

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

(21)解:

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 ? f '(1) ? ? 2 , ? ?b ? 1, ? ?a 1 ?2 ?b ? ? 2 , ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 解得 a ? 1 , b ? 1 。

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

f ( x) ? (

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x2 x
k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 2 (ii)设 0<k<1.由于当 x ?(1, )时, (k-1) +1)+2x>0,故 h’ (x)>0,而 h(1) (x 1? k 1 1 =0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 1? k 1? x2 1 ’ (iii) k ? 1.此时 h (x) 设 >0,而 h (1) =0, 故当 x ?(1, ? ) + 时, (x) h >0, 可得 1? x2
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] (22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即

AD AE ? .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB AC AB
因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。

(Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.

2



AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(
0

1 (12-2)=5. 2

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2 ? 2 cos ?, ? ? ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ?2 ? ? ?
从而 C 2 的参数方程为 ?



? x ? 4 cos? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

, 。

?
3

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4

?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?

a = ?1 ,故 a ? 2 2


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