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等差数列求和的几种方法


数列求和的几种情形
Sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

am -an ? ? m ? n? d

一、分组法 例 1 求 Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ?

? (?1)n?1 (2n ? 1) .

变式练习 1:已知数列 ?an ?

的前 n 项和 Sn ? n2 ? 50n ,试求: (1) an 的通项公式; (2)记 bn ? an ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

二、倒序相加
1

n个

2Sn ? ? a1 ? an ? ? (a1 ? an ) ?

? (a1 ? an )

? n(a1 ? an )
Sn ? n(a1 ? an ) 2
2 o 2 o 2 o 2 o

例 2 求 sin 1 +sin 2 +sin 3 +.......sin 89

三、错位相减

an ? a1q

n ?1

Sn ?

a1 ( 1? q n ) a1 ? a n q ? (q ? 0 且q ? 1 ) 1-q 1-q

例 3 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ?

? nxn?1 ( x ? 0)

变式练习 3(1)已知数列 ?an ? 的通项 an ? n.2n ,求其 n项和 Sn

2

(2)已知数列 ?an ? 的通项 an ? ? 2n ? 1? . ? ? ,求其 n项和 Sn

?1? ? 3?

n

四、裂项相消 例 4 已知数列 {an }的通项公式为an ?

1 , 求前n项和. n(n+1)

变式练习 4:(1)

1 1 1 ? ? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

?

1 . n ? (n ? 2)

3

(2)求数列

1 1 1 1 , , ,..., ,... 的前 n 项和 Sn 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 n ? n ?1

在数列?an ?中,a1 ? 1, an ? an ?1 ?

1 , ? n ? 2? n ? n ? 1?

?1? 写出数列的前5项; ? 2 ? 求数列?an ?的通项公式.

已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

4

1 1 1 , 1 ? ? ,……, 2 2 4 1 1 1 1 ? ? +……+ n ?1 的和. 2 4 2 1 1 1 解:∵ an ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 4 2 1 1 ? ( )n 2 ? 2? 1 ? 1 2n ?1 1? 2 1 1 1 ∴ S n ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? 2 2 4 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) 2 4 2 1 1 ? (2 ? 1) ? (2 ? ) ? (2 ? 2 ) 2 2 1 ? ? (2 ? n ?1 ) 2 1 1 1 ? 2n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) 2 4 2 1 ? 2n ? 2 ? n ?1 2
求数列 1, 1 ? 解:①若 x=1,则 Sn=1+2+3+…+n = ②若 x≠1,则 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ?

n(n ? 1) 2

? nxn?1

xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ?
两式相减得:

? nxn

(1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x2 +…+ x n?1 ? nxn
? 1 ? xn ? nx n 1? x



1 ? xn nx n Sn ? ? ( 1? x 2 ) ? 1x

5


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