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wo函数模型的应用实例(1)


函数模型的应用实例(一)

(一)函数图象的应用 例1:一辆汽车在某段路程中的行驶速 并 一 度与时间的关系如图: 说 90 y (Km/h) 明求 90 图 80 所 75 80 中 求 65 70 阴 面 60 50 积影 50 部 的 40 分 实 30 的 际 20 面 含 10 t (h) 积 义 0 4 5 1 2 3 。, ( )

(2)假设这辆汽车的里程表在行驶这段 路程前的读数为2004km,试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时 间 t h的函数解析式,并作出相应的图像。
90 80 70 60 50 40 30 20 10

y

t
1 2 3 4 5

y
2400 2300 2200 2100 2000

x
1 2 3 4 5

(二)已知函数模型解决实际问题 例4:人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律,可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型:

y ? y0 e

rt

y0 表示t=0时的人 其中t表示经过的时间, 口数,r表示人口的年平均增长率。

下面是1950~1959年我国的人口数据资料:
19501951 19521953195419551956195719581959
55196 56300 57482587966026661456628286456365994 67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否 相符; (2)如果按表中数据的增长趋势,大约在哪一年 我国的人口达到13亿?

ai - ai- 1 ,所以可以得出 因为 ri = ai- 1
年份19511952195319541955195619571958 1959

ri

0.0210 0.0200

0.0250 0.0223 0.0222 0.0229 0.0197 0.0276 0.0184

于是,1951~1959年期间,我国人口的年 平均增长率为:

r1 ? r2 ? ? r9 r? ? 0.0221 9

根据马尔萨斯人口增长模型 y ? y0 e , y0 = 55196,则我国在1951~1959年期间的人 口增长模型为
rt

y ? 55196e

0.0221t

,t ? N

从该图可以看出,所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。
y

70000 65000

60000 55000
50000 0 2

4

6

8

t

(2)将y=130 000代入 由计算器可得

y ? 55196e

你对由模型得出 的结果与实际存在 0.0221t 的情况有何看法?

t≈38.76

所以,如果按表的增长趋势,那么大约 在1950年后的第39年(1989)我国的人口 就已达到13亿。由此可以看到,如果不 实行计划生育,而是让人口自然增长, 今天我国将面临难以承受的人口压力。





用已知的函数模型刻画实际的问题 时,由于实际问题的条件与得出已知 模型的条件会有所不同,因此往往需 要对模型进行修正。

“神舟”五号飞船由椭圆形轨道变为以地球球心为

圆心的圆形轨道,绕地球一周的时间为90分钟.
1、 试把飞船沿圆形轨道飞行的离地高度表示为 速度大小的函数.(地球半径为6327km). 2 、为使飞船顺利回收,离地高度应为343km,试 求飞船飞行速度的大小。

h

1.解:设飞行速度为v km/s,离地 高度为h km 由题意得:
h

2? (h ? 6327) ? 90 ? 60v
即: h ? 2700

?

v ? 6327

由物理学知识知定义域为 ( 0,7.9)

2.解:由h ?

2700

?

v ? 6327 得:
h

h ? 6327 v? ? ? 7.76 2700
答:飞船的飞行速度为7.76km/s.

函数应用题的解题步骤可以用下面 的框图表示:
实际应用问题 抽象概括 数学模型 推理演算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解

小 结

本课小结:





1、注意培养制表,读表,读图,画图的能力。 2、分段函数是刻画现实问题的重要模型。 3、用已知的函数模型刻画实际的问题的 重要模型。


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