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3.1不等关系和不等式


第三章 3.1

不等式

不等关系与不等式 第一课时

问题提出

1.在数学中,表示等量关系的式子叫做等式,那 么“不等式”的含义如何理解? 表示不等关系的式子叫做不等式. 2.现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存 在着大量的不等关系.例如,两点之间线段最短, 三角形两边之和大于第三边、两边

之差小于第三 边,等等.我们还经常用长与短、高与矮、轻与重、 大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物 在数量上存在的不等关系.因此,如何用数学语言 表述这样的不等关系,就成为一个新的学习的内 容.

知识探究(一):用不等式表示不等关系
思考1:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段 行使时,应使汽车的速度v不超过40km/h.怎样用 不等式表示这里的不等关系?

0<v≤40
思考2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪 的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于 2.3%,怎样用不等式组表示这里的不等关系?

? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%

思考3:设点A与平面α 的距离为d,B为平面α 上 的任意一点,则d与|AB|的大小关系怎样表示?

A

d
B d≤|AB|

思考4:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以 售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销 售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定 价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入不低 于20万元?

x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) x ? 20 0.1

思考5:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm两种.按照生产的要求,600mm钢管 的数量不能超过500mm钢管的3倍.如何用不等式组 表示上述所有不等关系?

?500x ? 600 y ? 4000 ?3x ? y ? ? x ? 0 ? ? ?y ? 0

不等式的概念:
用不等号 (? , ? , ? , ? , ? )表 示 不 等 关 系 的 式 子 作 叫 不等式。 用不等号“ ?” “ , ?” 表 示 不 等 关 系 的 式 叫 子作 严格不等式。 用不等号“ ?” “ , ?” 表 示 不 等 关 系 的 式 叫 子作 非严格不等式。
a ? b或b ? a的含义 思考:不等式 不等式 a ? b表示a ? b或a ? b中有一个成立即可
不等式 a ? b表示a ? b或a ? b中有一个成立即可

观察不等式 " a ? b" , " c ? d " , " e ? f " 有 什 么 思考6: 特点?
对 于 两 个 不 等 式 , 如每 果一 个 不 等 式 的 左 边 都大于 (或 都 小 于 )右 边 , 这 样 的 两 个 不 式 等 叫 作 同 向 不 等 式 。 如两 果个 不 等 式 的 不 等 号 开 口 方 向 不 同 , 那 么个 两不 等 式 叫 作 异 向 不 等式。

知识探究(二):比较实数大小的基本原理
思考1:实数可以比较大小,对于两个实数a,b, 其大小关系有哪几种可能?

a>b,a=b,a<b.
思考2:任何一个实数都对应数轴上的一个点,那 么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何? 大数对应的点位于小数对应的点的右边

思考3:如果两个实数的差是正数,那么这两个 实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学 语言描述这个原理?

a -b >0

? a >b

思考4:如果两个实数的差是负数,那么这两个实 数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语 言描述这个原理?

a -b <0

思考5:如果两个实数的差等于零,那么这两个实 数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语 言描述这个原理?

?

a <b

a-b=0

? a=b

例题讲解
例1 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单 片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据 需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,用不等 式组表示软件数x与磁盘数y应满足的条件.

?60x ? 70 y ? 500 ? ?x ? 3 ?y ? 2 ?

例2

比较下列三组代数式的大小:

(1)x2+3与3x; (2) x6+1与x4+x2; (3) ( x2 ? y 2 )( x ? y)与( x2 ? y 2 )( x ? y) ( x ? y ? 0)

3.1

不等关系与不等式 第二课时

问题提出
1.反映实数大小关系的基本原理是什么?

a -b >0 ? a >b

a-b=0

? a=b a -b <0 ? a <b

2.用“差比法”比较两个代数式大小的一般步骤 如何? 作差→变形→判断符号

探究(一):不等式的基本性质
思考1:若甲的身材比乙高,则乙的身材比甲矮, 反之亦然.从数学的观点分析,这里反映了一个不 等式性质,你能用数学符号语言表述这个不等式 性质吗?

a>b ? b<a(对称性)

思考2:若甲的身材比乙高,乙的身材比丙高, 那么甲的身材比丙高,这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述?

a >b ,b >c
a <b ,b <c

? ?

a >c ;
a<c(传递性)

思考3:再有一个不争的事实:若甲的年薪比乙高, 如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善 款,则甲的年薪仍然比乙高,这里反映出的不等 式性质如何用数学符号语言表述?

a>b

?a+c>b+c(可加性)

思考4:还有一个不争的事实:若甲班的 男生比乙班多,甲班的女生也比乙班多, 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述?
a >b ,c >d

? a+c>b+d(同向可加性)

思考5:如果a>b,c>0,那么ac与bc的 大小关系如何?如果a>b,c<0,那么 ac与bc的大小关系如何?为什么? a>b,c>0 ? ac>bc; a>b,c<0 ? ac<bc 思考6:如果a>b>0,c>d>0,那么 ac与bd的大小关系如何?为什么?

a >b >0 ,c >d >0

? ac>bd

思考7:如果a>b>0,n∈N*,那么an与 bn的大小关系如何?

a >b >0

n>bn (n∈N*) a ?

思考8:如果a>b>0,n∈N*,那么 n a

与 b 的大小关系如何? a >b >0

n

?

n

a > n b(n∈N*)

探究(二):不等式的拓展性质

思考1:在等式中有移项法则,即a+b= c ?a=c-b,那么移项法则在不等式 中成立吗? a +b >c ? a >c -b

思考2:如果ai>bi(i=1,2,3,?, n),a1+a2+?+an与b1+b2+?+bn的 大小关系如何? ai>bi (i=1,2,3,?,n) ? a1+a2+?+an>b1+b2+?+bn

思考3:如果ai>bi(i=1,2,3,?, n),那么a1· a2?an>b1· b2?bn吗? ai>bi>0 (i=1,2,3,?,n)

?a1· a2?an>b1· b2?bn
思考4:如果a>b,那么an与bn的大小关 系确定吗? a>b,n为正奇数

? a n>b n

思考5:如果a>b,c<d,那么a+c与b +d的大小关系确定吗?a-c与b-d的大 小关系确定吗?
a >b ,c <d

? a -c >b -d

1 1 思考6: 若a>b,ab>0,那么 a 与 b

的大小关系如何?

1 1 a>b,ab>0 ? ? a b

理论迁移

例1

已知a>b>0,c<0,

c c 求证: ? . a b

例2

1 1 已知a ? b ? 0

,x >y >0 ,

x y ? 求证: . x?a y ?b

例3 立.

若a<b<0,判断下列结论是否成

1 1 ? (1 ) a b
(3 ) a ? b
2 2

1 1 ? (2 ) a ? b a
(4)ac2<bc2

例4

给出三个不等式: , ③bc>ad,

c d ①ab>0,② ? a b

以其中任意两个作条件,余下一个做结 论,可组成几个正确命题.

小结作业

1.不等式的8条基本性质,就是不等式的 运算法则,是分析、研究和解决不等式 问题的逻辑依据,在此基础上还可引伸 出许多其他性质,学习上要求掌握基本 性质,了解拓展性质.

2.上述不等式性质都是可以证明的结论, 反映实数大小关系的基本原理是证明不 等式性质的理论基础.

3.在不等式的基本性质中,有些条件与 结论是等价的,有些是不等价的,在不 等式的乘法、乘方、开方运算性质中, 还要附加大于0的条件,应用时必须认准. 4.不等式的8条基本性质还可作适当变 通,如a≥b,b>c ? a>c; a≥b,c>0 ?ac≥bc; a<b,c<0 ?ac>bc等等.

3.1

不等关系与不等式

第三课时

知识梳理

1. 两个实数大小关系的比较原理 a -b >0 ? a >b a-b=0 ? a=b

a -b <0 ? a <b 2.不等式的基本性质
(1 )a >b (2 )a >b ,b >c a <b ,b <c

?b<a(对称性)
? a >c ; ?a<c(传递性)

(3)a>b ?a+c>b+c(可加性)

? a+c>b+d (5)a>b,c>0 ? ac>bc;
(4 )a >b ,c >d a>b,c<0 ? ac<bc (6 )a >b >0 ,c >d >0 (7 )a >b >0

? ac>bd
(n∈N*)

? a n>b n ?
n

(8 )a >b > 0

a >

n

b (n∈N*)

应用举例

例1

已知 a>b>1,求证:

2 ab > b +

b

例2

已知b>a>c,a>0,求证: bc a+ < b+ c a

3 2

例3

已知a、b为正实数,求证:
a b ? ? a? b b a

例4 比较下列各组代数式的大小: (1)a2+b2与2(a+b-1); (2)(a+b)(a3+b3)与(a2+b2)2 (a>0,b<0).

例5 已知c>a>0, c>b>0,比较 a与 c -

c - ab .

2

例6 已知数列{an}是等比数列,数 列{bn}是等差数列,且a1=b1>0,a3= b3>0,a1≠a3,试比较a5与b5的大小.

小结作业

1.证明不等式和比较大小,是不等式的 两个基本问题,解决不等式问题必须以 不等式性质为理论依据,常用方法有比 较法、综合法、分析法等.
2.比较法包括差比法和商比法.其中商比 a 法的理论依据是 ? 1, b ? 0 ? a ? b 或
a ? 1, b ? 0 ? a ? b b

b

.


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