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组合计数在数学竞赛中的应用


2  

中 等 数 学 

组 合 计 数 在 数 学 竞 赛 中 的 应 用 
王 慧 兴 
( 清华大学附属中学朝 阳学 校 , 1 0 0 0 2 7 )  
中图分 类号 : 0 1 5 7   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 0 7— 0 0 0 2— 0 6  

( 本讲适合 高 中)  

( i v ) 若  : A   B为“   一倍 ” 满射 ( 集合  中每 个 元 素 在 集 合  中均 有 k个 不 同 的  像) , 则 I A   I =J  1 .  
( 5 ) 排列数与组合数 
( i ) 异元情形 
’’

组合计 数是各类 高 中数学竞赛 的必 考 内  
容, 题材 广泛 , 方法灵 活 , 是培 养学 生组合 思  维能力 的基础题 材  . 笔者 基 于多年竞 赛 培 
训 经历撰写本文 , 希望能给初 学者有效 引领.  
1 基 础 知 识 

t  

A  = n ( n—1 ) …( n— m+ 1 )  

,  

‘   ( 1 ) 加法原理 数 学表 达式 为 

面向整体分类加法计数 ,  

r  一


笠一  

!  
从{ 1 , 2 , …, n } 中可重 复  n个元 素 1 , 2 , …, n在 

m! 一 / ' n ! ? ( n— m) ! ‘  

Ⅳ= ∑ .  
( 2 ) 乘法原理 数学表达式 为  基 于局部分步乘法计数 ,  

( i i ) 重元情形 ( i i i ) 圆排 列数


地取出k 个元素的组合数为 c : +  .  
个 圆周 上的不同排 列数为 ( n 一1 ) ! .  

Ⅳ: ⅡN i .  
( 3 ) 容斥原理 计算 有 限个有 限集并 集  中元素个数 的根本 方法 , 数学表达式为 

( i v ) 控距 组合 从 集 合 { 1 , 2 , …, n } 中  取出满 足  一  一 , ≥m( i ∈{ 2 , 3 , …, k } ) 的k  
个 不同元素 1 ≤  < J 2 <… < J k ≤/ 7 , 的取 法数 
为c   _ 1 ) (  _ 1 ) .   ( 6 ) 不定方程  1 +  2 十… +   =n ( m ∈ N+ , / " t ∈ N)  

l =  ( _ 1  l   A i , f ' I A  … N A   l ,  
另有筛法公式 

的一个非 负整数解 是指满足此方程 的一个 m  

I  

J +  ( _ 1 )  k 。 l ,  

元 有序数组 (  ,  , …,  ) , 同样可理解 为一 
个正整数解.  

其中, 有 限集  A   ( 1 ≤   ≤n ) .   ( 4 ) 映射原理 设 A 、  为两个有 限集合 ,   对于映射 厂 . A   , 有 以下结论 :   ( i ) 若f : A   ( i i ) 若厂 : A  
( i i i ) 若  :  

( i ) 非 负整数解个数 为 C m +   -   1 一   ;   ( i i ) 正 整数解 个数 为 C   m - I .   ( 7 ) 形式幂级数 应 用形 式幂 级数 求解  组合计数是基 于“ 算 两次” 或“ 换 序求 和” , 通 

为单射 , 则l A   I ≤I  I ;   为满射 , 则I A   I ≥I   B   I ;  
B为双射 , 则I A   l =I   B I ;  

过幂级数的形式运算得到幂级数∑ a n  , 从 
而得 出 目 标数 a   . 最 常用的两个 幂级数为 

收稿 日期 : 2 0 1 5— 0 3—1 8  

2 0 1 5年 第 7期 

3  

薹   =   1  I < 1 ) '   ( 1 +   = 薹  
2 基 本 方 法 

小题 与此题完全类似.  
例 2 设 A、 B、 C、 D为 空间不共 面 四点 ,  

任意两  I < 1 ) .   以÷的概率在每对点之间连一条边,
点对 之间是 否 连边是 相互 独立 的. 求 点  、  
可用 ( 一条 边 或若 干条 边 组 成 的 ) 空 间折线 

2 . 1   分 类与分 步 

连接 的概率.  

组合计数 经常要 施 以分 步与分 类. 分 步 
计数 面向局 部 , 每一种 方法 均只 能完成 一 件  事 的某个环 节 , 各 个环 节 的做法 构成有 序 串   联, 因此 , 对 分步计 数相 乘 , 得 到完成 一件 事 

( 2 0 1 4 , 全 国高中数学联合竞赛 )   解 每 对 点之 间 是 否 连边 各 有 2种 可 
能, 共计 2   = 6 4种可能.   下面计 算  、   两 点 之 间有 折线 相 连 的  种数.   ( 1 ) 有边 A B, 共计 2   = 3 2种.  
( 2 ) 无边 A B, 但有边 C D . 此 时, 点 、  之 

的不 同方法数 ; 分类计数面 向整体 , 每一类 的  任何一种方法均能完成一件事 , 因此 , 分类所 
得方法数 必须求 和. 为了保证计数结果 正确 ,  

分 步应要 求 完整 ( 做一 件 事 的每 个 环节 ) 而  不重 叠 ( 各步 独立 ) , 分 类应 要 求完 整 ( 涵 盖 
做一件 事 的每 一 类办 法 ) 而 不重 复 ; 分 类 的  另一 重要功能是从 总控数据 中剔 除与提取.   例1  将 2 4个 志愿 者名 额 分配 给 3所 

间有折线相连 的条件是点  与 C 、 D之一有折  线相连 , 并且点 曰与 C 、 D之一有折线相连 , 把  两个局部计数相乘 , 共计 ( 2   一 1 ) ( 2   一 1 ) = 9   种情形.   ( 3 ) 无边 A B , 也无边 C D . 此时, C A 、 C B  

学 校. 则每所 学 校至少 有一 个名 额且 各校 名  额互 不相 同的分配方法共 有— — 种.   ( 2 0 0 8 , 全 国高 中数 学联赛 )   解 设 甲、 乙、 丙 三 校 分 配名 额 分 别 为 


均连边 的情 形 共有 2  种 , D A 、 D B均 连 边 的  情形共有 2   种, 但C A 、 C B 、 D A 、 D B均连 边 的 
情形 重 复计 数 1次.由容 斥 原 理 , 知 点 A、  

之 间有折线相连 的情形共有 4+ 4— 1 = 7 种.  

y、  ?  

先不考虑 、 Y 、  两两互异.  

故点 A 、 曰之间有边相连的概率 

=   .  

由  + Y + z = 2 4得到一个总控数据 c   。 .   再分 离 出其 中不是两两互 异的正整数组 
(  , y , z ) 的个数.   由2 n+b= 2 4 , 知 b= 2 c .  
所以, 0+c =1 2 , 共有 1   1 个解.  

【 评注 】 基 于面 向局部 的计数与面向整 
体 的计 数 , 分 别 精 准 选 用 乘 法 原 理 与 加 法 
原理.  

2 . 2   化 归 与 转 化 
2 . 2 . 1   标 准化 

其 中, 有一个解满足 0= b = 8 , 对应 一个  三元数组 ( 8 , 8 , 8 ) ;  
另外 , 1 O个解 (  , t 7 , , 6 ) ( 口≠b ) 对应 I O C  

通过换元 消除控 距 与重复 , 转化 为 常态 

组合数与排列数可 以表现 的计数模式.  
例3   若从数 1 , 2 , …, 1 4中 , 按 由小 到 

个正整数组 (  , Y ,   ) .   因此 , 两两互异的正整数组 (  , y , z ) 的个  数为 
c   一1一I OC  =2 2 2 .  

大 的顺序 取 出 口   、 n : 、 口 3 , 使得 口 2 一 口 l ≥3 , 且  0   一 0   >3 I , 求不 同取法 的种数.  

( 1 9 8 9 , 全 国高 中数学联赛 )  
解 由已知得 
01 ≤口 2—3≤ 0 3—6  

【 说明 】 2 0 1 0年全国高 中数学联赛第 8  

4  
1≤ 口l< a 2—2 < a 3—4≤ l O .  

中 等 数 学 

完这  份文件的可能顺 序有 多少种 ?  

换元 ( a 1 , a 2 —2 , a 3 — 4 )=( 戈 , y , z ) .   则所求 数 组 ( a   , a   , a , ) 的 个 数 等 于 从 

【 分析 】 诸如经历“ 放人” 与“ 拿出” 两种 
相等次数 的操 作 , 使 得从 0状 态 回归 到 O状 
态 的计数 问 题 可 以尝 试 化 归 转 化 为 “ 折 线 
方法 ” .  

{ 1 , 2 , …, 1 O } 中取 出三个 不 同元素 的组合 数 

c ; o = 1 2 0 .  
【 评注】 控距组合试题经常 出现在各级  竞赛 中, 命题 中的惊人 之举 不断呈现.  
2 . 2 . 2 映射 与 置换 

从坐标 原 点 O 开 始 , 经 理 送 来 一 份 文 

件, 就画一 条斜 率为 1 、 长为  的斜 线段 , 秘 
书打 印完 一 份 文 件 , 则 接 着 画 一 条 斜 率 为  1 、 长为  的斜线 段 , 这样 秘 书打 印完这 n  

求解 一个 置换 . 厂 :  

A ( A为有 限集 ) 的  



个数要 分析其 中“ 映射圈 ” 个 数 与长度 , 建 构  映射 可以实现计数 转移求解.   例 4 设 A={ 1 , 2 , …, 1 O } , 映射 f : A   A   满足  ) ≠   (  E   A ) , 但  (   ) =  (  ∈  ) .  
求这种 置换 的数 目.  

份文件 的每一种顺序就对应于用这两种斜线 
段连接点 0与 M( 2 n , 0 ) 的折线 , 如图 1 .  
‘ ’ ,  

【 分析 】 任取 i   E   A , 则 
厂 (   )   z (   )   f…ff J ( i )  f …  

V /  
图 1  

2 _  
M 

从而 , 对任意 的.   ∈ N, 均有 
f i   j 、 ) ∈ A,  

其中 , f。 (   ) - i , f   )  

卜  ( i ) )  E   N+ ) .  

很 明显 , 有 向线段 O A和 B M 是 固定 的 ,   也 就是 点  ( 1 , 1 ) 和 日( 2 n一1 , 1 ) 均 为必 经 

由于 I   A   I=1 0 , 故 只要 .  >1 0 , 必 存 在 

k∈{ 1 , 2 , …, l O } , 使得 
(   )= 厂   (   ) .  

点. 于是 , 这种 折线 的条数 由两种斜线 段连接  4 、 B两点 的方 式决 定 , 共有 c  : 条. 这是 一 

于是 , 存在最小 的 t   ∈{ 2 , 3 , …, 1 0 } , 使 
得.  (   )= i .  

个 总控数据 , 其中, 穿越  轴 的折 线 ( 与 直线 
Y =一 1 有公共 点 , 如图2 ) 是不 符合 题 意 的 ,   这样折线 条数应减 去.  
1 V 

由此形成一个含 t   个元素 的 “ 映射圈 ”  
i   i )   …  “  ( i )   (   )=i .  

由题设条件 , 知 映射 . 厂 : A   A由一 个含  有三个元素 的映射 圈与一个含有七个元素 的  映射圈构成 , 每个映射圈为一个 圆排列. 故满  足题设条件 的映射个数为 


2  

\/  
/ ,

M  
y =-l  

/ K 

/ /  
、  

2   1 × 6   1   c j n = 1 7 2   8 0 0 .  
2 . 2 . 3   折 线 方 法 

图2  

例 5 在 一 天 的不 同时刻 , 经 理 把 文件  交给秘书打 印 , 每次 均将 文件 放在 秘书要 打 
印文件堆 的上 面 , 秘 书有 时 间就从 最上方 取 


对 于这样 的折 线 总存 在 与直 线 Y= 一1   最左边 的一 个公 共 点 K, 把此 折线 上 位 于点 
与  之 间的部分关 于直线 Y=一1 作 对称 ,  

份文件 打 印. 若 有 n份 文 件 , 且 经 理 是 按 

得 到一 条连 接点  ( 1 , 一 3 ) 与  ( 2 n一 1 , 1 )  
之 间 的线 段 , 其 中斜 向上方 的线 段 为 n+1  

1 , 2 , …, n的顺 序 依 次交来 的 , 问: 秘 书 打 印 

2 0 1 5年第 7 期 

5  

条, 共计 c  : 条折线.   因此 , 符合条件 的折线条数为 
c  2一c   2  


X   ={ 1   0 0 1 一  J   ∈ X} .  
若 X=x   , 则 
mi n   X =mi n   X :1   0 01一ma x   X  =ma x   X +mi n   X =1   0 01 .  

( 2 n一 2 ) !   ( 2 n一 2 ) !   ( n一1 ) ! ? ( n一1 ) ! (  +1 ) ! ? ( n一 3 ) !  
  一

若X #X ’ , 则 
r r i f n   X   = 1   0 0 1 一 m a x   X及 m a x   X   = 1   O 0 1 一 n f l n   X  
O l   , =1   0 01   X   2一O t  

一 一

r 

几+1  

- 1 "  

故不同顺 序数有 
2 . 3   换序求和 

c  一   种?  

+O /  

1   0 01   X   2 .  

记2   。 。 。 一1个非空子集 中满足 X’ = X的 

例 6 对集 合 M ={ 1 , 2 , …, 1 , 0 0 0 } 的任 


共有 k 个. 则 

非空子集  , 令  表示  中的最大数与最 

Ⅳ = ∑ 
: =   1   0 01 k+ +   — _  —  × ×2    0 0 2  

小数之和. 求所有这种 0 [  的算术平均数.  

( 1 9 9 1 , 全 国高中数学联合竞赛 )  

【 分析】 按题意 , 所求平均数为 
r   ≠X   M 


∑ 
1 ‘  

J一 2   o o o

故 厂=  

=1   0 0 1 .  

则求解 的关键是算 出分子上 的和式 

Ⅳ = ∑ % 

① 

计算这种 “ 无序 和式 ” , 首先要 选定 一种 

“ 顺序 ” . 为此 , 可 以先 考 虑每 个元 素 对 总 和  的贡献 , 再作 出累加 , 常称 “ 贡献法 ” ; 或者考  虑把两个子集进行 配对 , 使得 它们 的“ 和数 ”  
容易计算.  

【 分析 】 先分析数据本质结构 : 将2 4个 

解法 1 ( 贡献法 )   任取 i ∈ M, 则i 以两 

种方式对和式①作贡献 :   作 为最 大数 贡献的 
次数为子集 { i } u   P ( P  { 1 , 2 , …, i 一 1 } ) 的  个数 2   , i 作 为 最小 数 贡献 的次 数 为子 集  { i } u   P ( P  { i + l , i + 2 , …, 1   0 0 0 } ) 的个数 
2   。 。 。 - i
. 

厂1  

4  

7   1 0   1 3   1 6   1 9  2 2、  

l   9   1 2  1 5  1 8  2 1  2 4   3   6   1 .  
I   1 7  2 0  2 3   2   5   8   1   1   1 4   J  

故i 对分子的总贡献为 i ( 2 卜   + 2   。 。 。  ) ,  

累计对式① 的“ 定 序” 求 和 

Ⅳ = ∑  ( 2  + 2   。 。 。 ~   ) .  
应用 “ 等差乘等 比型数列 ” ( 或 阿 贝尔 分  步求和公式 ) 求和方法得 
N=1   0 0 1 ( 2   。 。 。 一1 )j  f :1   0 0 1 .  

解法 2 ( 配对法 )   任取  ≠  

, 定义 

6  

中 等 数 学 

数, 且相邻两 列所 取 的数不 同行 ( 第 一 列与  第n 列 视 为相 邻两 列 ) , 记 这种 取 数 的 方法  数为 0   .  
则0   = 6 .  

下面证 明 : 1 , 2 , …, p全排在第一行 中.  

假设 1 , 2 , …, k ( 2 ≤k < P ) 排 在第 一 行 ,   但k + 1 不排在第一行.  
于是 ,  1 = k+1 .  

当/ b ' >4时 , i 有 
口  + 0 


将连续 的 k个 整数称 为一个 “ 块 ”, 只要  证 明表 中第 一行 恰 有若 干 个块 组 成 , 即前 k   个数 为一个块 , 后续 的 k个数又是一个块 , 等 

l =3× 2   一  =  0  = 2 “ +2 ( -1 )   .  

递推计算得 0   = 2 。 + 2 ( 一 1 )  = 2 5 8 .  
3 深度探究 发 掘 本 质 

等. 否则 , 设前 组 k 个数均为块 , 但之后 的 k  
个数 不 为块.由此 , Y ( , 一 1 )   , Y (   一 1 )   + 2 , …, 强 
(  =1 , 2, …, n ) 均 组 成 块.  

很多组 合 计 数 问 题 的计 数 方 法 极 不 明  显, 因此 , 需要 基 于问题 的条件作 深入 分析 ,   才能发现计数本质.  

从而, 数 表 的前  列 共 可 分 成 p n个  1   X  的 子 数 表 0 l ( 卜1 )  


卜 1 )  +2 ,… ,0f(


,口 
,  

例 8 给定素数 P . 设 A=( 0   ) 是 一 个 
P× p 的矩阵 , 满足 

( i = l , 2 , …, P ; J =1 , 2 , …, n ) , 每个 子数 表 中  
的k个数成块.   现假 设 0   +  =  . 记 b为 最 小 的 正 整  数, 使得 n+b 不在第一行 中 , 则b ≤ 一1 .  
n  + l 一 由0 2


{ 口  1 ≤i 、  ≤ p } ={ l , 2 , …, P   } .   允许对一个 矩 阵作如 下操 作 : 先 选 取一 

行或一列 , 将该 行 或该 列 的每 个数 同时加上 
1 或 同时减去 1 , 若可 以通过有限多次上述操 

口l n   +1 =   2 一   1  


=口 2 1一口1 1=k,  

作将矩 阵 A中元 素全 变为 0 , 则 称 4为 一个 
“ 好矩 阵” . 求好矩 阵 A的个数.  
( 2 0 1 2, 中国数学奥林 匹克 )  

则0 2  + 1 :  + k .   从而, 0+b必在 前 以 列 中 , 这样 , 0+ b  
含 在 前 面 所 述 的某 个 1×k的块 中, 但 a 、   0+  均不在该块 中 , 矛盾.  

【 分析 】 若 A为好矩 阵, 则 经过有 限多 
次操作 , 可将 矩 阵 A化 为 “ 零阵” . 不 妨设 矩 

故第一行 由若 干个块 组成. 从而 , k   I P .  

阵 化为 “ 零阵” 过 程 中的所 有 操作 为使 得 
第i 行 各 数 均 减 去  , 第 列 各 数 均 减 去 
Y i ( 1 ≤   、  ≤p) .  

但1 < k < P , 这与 P为素数矛盾.  
于是 , 数 表 中第一 行 恰 为 1 , 2 , …, P , 而  第k 行必定为(  一 1 ) P + 1 , ( k 一 1 ) P + 2 , …,  .   综上 , 好矩 阵  有本 质特征 “ 在交 换行 、  

则0   =  +  .  

由矩 阵  中各数互异 , 知  , ,  , …,   互  异, Y   , Y 2 , …,   也互 异 ( 否则 , 假设  =  : ,   则导致 0 1 1 =   1 + Y 1 =   2 + Y l = 口 2 l , 矛盾 ) .   再 由题意 , 知任意交换两行或两列 , 不改 
变一个矩 阵是否 为好矩 阵 , 从而 , 不妨设 
1 <  2<… <  p , 且 Y 1 <Y 2<… <  .  

交换列 以及关 于主对 角线 作对 称下总可 以化  成 唯一形式” .  
所 以, 好矩阵 的个数为 2 ( P ! )   .  



习 题 

1 . 将 两个 0和两个 b 共 四个字母 填在如 

故假设 矩 阵 A每一 行 从 左 到 右是 递 增 
的, 每一列从上 到下也是递增 的.  
从而, 口 1 1 =l , 0 1 2 = 2或 0 2 1 = 2 .  

图3 所示 的 1 6 个格 内 , 每个 
格 内至 多填 1 个 字 母. 若使 
相 同字 母 既 不 同 行 也 不 同  列, 求不 同的填法种数.   ( 2 0 0 7 , 全 国 高 中数 学 

不妨设 0   : = 2 ( 否则 , 将整个数表关 于主  对角线作对称也不改变 A是好矩阵 ) .  

图3  

2 0 1 5年第 7期 

7  

联赛 )   提示: 分类计数. 答案 : 3   9 6 0 .  
2 . 从 1 , 2 , …, 2 O中任取 五个 不 同的数 ,  

派 出甲 、 乙两支 队参 加. 根 据 比赛 规则 , 比赛 
若 干天后进行统计 , 发现除 A市 甲队外 , 其他  各 队已比赛过 的场数各 不相 同. 求  市 乙 队  已赛过 的场数.  

使得其中至少有 两个 是 相邻 的. 求 这种取 法 
的概率.  

( 1 9 8 5 , 全 国高 中数学联赛 )  
提示: 一般化 , 递推方法. 答案 : 1 5场.  
6 . 一种密码锁 的密码设置是在正  边形 

, '   , '  

( 2 0 1 3 , 全 国高 中数学联合竞赛 )  
提 示: 转化消去控距. 答案:  
J 二 J 

.  

3 . 安排七名 同学参 加 五个 运动 项 目。 要 

A : …A  的每个顶点处赋值 O和 1 两个数 中 

求 甲、 乙两 同学不能参加 同一个项 目, 每个项  目均有人参加 , 每人只参加一个项 目. 则满足 
上述要求 的不 同安排方案数为— — .  

的一 个 , 同时 , 在 每个顶 点染 红 、 蓝两种 颜色 

之一 , 使得任 意相 邻 的两个 顶点 的数字 或颜 
色 中至少有一个相 同. 问: 该密码锁共有 多少 
种不 同的密码设置 ?  

( 2 0 1 1 , 全 国高 中数学联合竞赛 )  
提示: 分类计数。 答案 1 5   0 0 0 .  

( 2 0 1 0 , 全 国高 中数学联合竞赛 )  
提示: 递推方法. 答案 : 3   +( 一 1 )  + 2 .  
参考 文献 :  
[ 1 ] 罗 奇, 唐剑岚 . 数学 问题表征 与数学 问题 图式 [ J ] .  
数 学教 育学报 , 2 0 1 3 ( 2 ) .  

4 . 数列 { a   } 共有 9 项, 其 中, a 。 = a 9 =1 ,  

目 对 每 个i ∈ t   l , 2 , … , 8 } , 均 有  ∈ f L   2 , 1 , 一   二 1 J   .  
求这样数列 的个数.  

[ 2 ] 2 0 0 8年全 国高 中数学联赛 [ J ] . 中等数学 , 2 0 0 8( 1 2 ) .   [ 3 ] 2 0 1 4年全 国高 中数 学联合 竞赛 [ J ] . 中等 数学 , 2 0 1 4  
( 1 1 ) .  

( 2 0 1 3 , 全 国高 中数学联合竞赛 )  
提示: 分类计数. 答案 : 4 9 1 .   5 . 某 足球邀请赛有 1 6 个城市参加 , 每市 

[ 4 ] 2 0 1 2中国数学奥林 匹克[ J ] . 中等数学 , 2 0 1 2 ( 3 ) .  

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