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高一数学 函数映射、单调性


高一数学
的对应不是映射.

函数及函数的性质

1、映射的概念(1)映射是特殊的对应,即是“一对一”的对应和“多对一”的对应,而“一对多” (2)给定一个映射 f:A→B,则 A 中的每一个元素都有唯一的象,B 的某些元素可以没有原象, 如果有原象,也可以不唯一的. 2、函数的概念(1)函数是特殊的映射,即集合 A、B 均为非空

数集的映射. (2)构成函数的三要素;对应关系 f、定义域 A、值域{f(x)|x∈A},其中值域 {f(x)|x∈A} B. 正确理解函数符号 y=f(x):①它表示 y 是 x 的函数,绝非 f 与 x 的积; ②f(a)仅表示函数 f(x)在 x=a 时的函数值,是一常数. (3)确定函数的条件:当对应关系 f 和定义域 A 已确定,则函数已确定,判定两个函数是否相 同时,就要看定义域和对应法则是否完全一致. (4)函数的定义域,一般是使函数解析式有意义的 x 值的集合,在具体问题中则应考虑 x 的实 际意义,如时间 t,距离 d 均应为非负数等. 求函数定义域的基本方法: ①分式中分母不为零; ②偶次根式中的被开方式不小于零; 个部分式子都有意义的实数集合. 根据对应法则的性质求定义域,如已知 f(x)的定义域为[a,b],则 f[ψ (x)]的定义域应为 ψ (x)的定义域与 a≤ψ (x)≤b 的解集的交集. 3、函数的表示法: 解析法、列表法、图象法. 4、函数的值域是全体函数值所组成的集合,有观察法,换元法、配方法、图象法、反求法、判别式 法等求值域的基本方法. 函数的值域是函数的“三要素”之一,在一个给定的函数中,函数的值域随对应法则和定义域而 确定. 几个基本初等函数的值域: 一次函数 y=kx+b(k≠0)的值域:{y|y∈R}; 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的值域: ③ [f(x)]0中的底 f(x)不为零;④如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使每

当 a>0时,



当 a<0时,



反比例函数

(k≠0)的值域: (-∞,0)∪(0,+∞) .

求函数值域的基本方法 (1)直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围; 例如: +∞) . 这是因为 x≤3,所以 ≥0,∴ y≥1. 的值域为[1,

(2)二次函数法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域(或最值) ;

(3)反函数法:将求函数值域转化为求反函数的定义域; 4)判别式法:运用方程的思想,将函数变形成关于 x 的二次方程,依据二次方程有实根,求出 y 的取值范围; (5)利用函数的单调性求值域; (6)图象法:作出函数的图象,由图象来确定函数的值域. 1、判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的映射; (1)A=R,B={x|x>0且 x∈R},x∈A,f:x→|x|; (2)A=N,B=N*,x∈A,f:x→|x-1|; (3)A={x|x>0且 x∈R},B=R,x∈A,f:x→x2.

2、求函数

的定义域.

1、已知映射 f:A→B,则下列说法正确的是( ) A.A 中某一元素的象可能不止一个 C.B 中某一元素的原象可能不止一个 B.A 中两个不同元素的象必不相同 D.B 中两个不同元素的原象可能相同

2、若 A={2,4,6,8},B={-1,-3,-5,-7},下列对应法则:①f:x→9-2x;②f:x→1-x; ③f:x→7-x;④f:x→x-9中,能确定 A 到 B 的映射的是( A.①② B.②③ C.③④ D.②④ ) )

3、下面四组函数 f(x)与 g(t)中,表示同一函数的是(

A.

B.

C.

D.

4、函数

的定义域是(

)A. (4,+∞)

B. (2,3)

C. (-∞,2)∪(3,+∞)

D . (-∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞)

5、已知 f(x)是一次函数,且满足2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则 f(x)的解析式为( ) A.3x-2 B.3x+2 C.2x-3 D.2x+3

6、设函数 y=f(x)的定义域为[-

],则函数 y=f(

-2)的定义域是(



A.[-

,2]

B.[2-

,2+

] C.[6-4

,6+4

] D.[0,6+4

]

7、若函数

的定义域为 A,y=

的定义域为 B, C C.A∩B C D.A∪B

的定义域为 C,则集合 A、 C )

B、C 之间的关系是( )A.A∩B=C B.A∩B

8 、若函数 y=f(x)的定义域为 [0, 1] ,则函数 y=f(x + a)+ f(2x+ a) (0<a<1 )的定义域是(

A.

B.

C.[-a,1-a]

D.

9.下列图中,画在同一坐标系中,函数



的图象只可能是( )

A.

B.

C.

D.

10、给出四个命题: (1)函数是其定义域到值域的映射;2)

是函数; (3)函数

y=2x(x∈N)是一次函数;4)

与 g(x)=x 是同一个函数.其中正确的有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

11、设(x,y)在映射 f:A→B 的作用下的象是(

) ,则在 f 的作用下,元素(-1,1)

象是_____________,元素(3,-2)的原象是_____________. 12、若 f(x+1)=2x2+1,则 f(x-1)= _____________. 13、 (1)f(x)是二次函数,且 f(2)=-3,f(-2)=-7,f(0)=-3,求 f(x)的表达式; (2)已知:f(2x-1)=4x2-2x,求 f(x)的表达式.
14、已知函数 y=f(x)的定义域为[0,1],设函数 F(x)=f(x+a)+f(x-a),求正实数 a 的取值范围,并求函数 F(x)的定义域.

15、已知 f(x)是二次函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(1-

)的值.

6、求下列函数的值域.

1、函数的单调性(1)定义: 设函数 y=f(x)的定义域为 A :区间



如果对于区间 I 上的任意两个自变量的值

,当

时,都有

,那么就说

f(x)在区间 I 上是增函数. 区间 I 称为 y=f(x)的单调增区间;

如果对于区间 I 上的任意两个自变量的值

,当

时,都有

,那么就说

f(x)在这个区间上是减函数。区间 I 称为 y=f(x)的单调减区间. 函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数,而 在另一些区间上可能是减函数,因此函数的单调性是函数的局部性质. (2)图象的特点:如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一 区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右 是下降的.

(3)判定方法①定义法:

1)取值:对任意

,且



2)作差:

;3)变形:把差化为乘积或平方和的形式 ②图象法

4)判定差的正负;5)根据判定的结果作出相应的结论.

2、函数的最值(1)定义:一般地,设

,如果存在实数 M 满足:

①对于任意的

,都有

②存在

,使得

那么,我们称 M 是函数

的最大值(maximum value).同理,设

,若存在

实数 M 满足:①对于任意的

,都有

②存在

,使得

我们称 M 是函数

的最小值(minimum value).

(3)求函数最值的常用方法有:①配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和, 然后根据变量的取值范围确定函数的最值. 间上的最值. ②换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区 ③数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值

3、函数奇偶性(1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 ,都有 f(x)就叫做偶函数

,那么函数

如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x, 都有 function).

, 那么函数 f(x)就叫做奇函数(odd

如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性. 奇偶性是函数的整体性质,函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数. (2)图象特点:偶函数关于 y 轴对称。奇函数关于原点对称 (3)判定方法函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.

若 对 称 , ① 再 根 据 定 义 判 定 ;② 有 时 判 定 或

比较困难,可考虑根据是否有

来判定;③利用定理或借助函数图象判定.

例1、若函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+b 在区间(-∞,4)上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( )

A.[0,+∞)

B.{

}C. (0,

]

D.[0,

]

例2、若 y=f(x)

是奇函数,则下列坐标表示的点一定在 y=f(x)图象上的是(



A.(a, -f(a))

B.(-a, -f(a))

C.(-a, -f(-a))

D.(a, f(-a ))

1、在区间(-∞,0)上为增函数的函数是( )

A.y=|x+1|

B.y=-x2-2x+2 C.

D.

2、已知函数 f(x)=4x2-mx+5在[-2,+∞)上是增函数,在(-∞,-2]上是减函数,则 f(1)的 值为( ) A.-7 B.1 C.17 D.25

3、已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)满足

,则 f(x)在[-2,3]上有(



A.最大值 f(-2),最小值

B.最大值

,最小值 f(-2)

C.最大值 f(3),最小值

D.最大值

,最小值 f(3)

4、函数 A. (-∞,-2]

的单调递增区间是(

) D.[-2,1] )

B.[-2,+∞) C.[-5,-2]

5、已知二次函数 f(x)=ax2-3ax+a2-1(a<0) ,则下列不等式能成立的是(

A.f(3)<f(-3)<f(

)

B.f(-3)<f(3)<f(

)

C.f(3)<f(

)<f(-3)

D.f(-3)< f(

)<f(3)

7、下列函数中,既非奇函数又非偶函数,并且在(-∞,0)上为增函数的是( )

A.f(x)=5x+2

B.

C.

D.f(x)=x2

8、下列函数中,不是偶函数的是(



A.y=-3x2

B.y=3x2

C.

D.y=x2+x-1

9、若 f(x)在[-5,5]上是奇函数,且 f(3)<f(1),则( ) A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1) C.f(-1)<f(1) D.f(-3)>f(-5)

13、若 x+y=2,则 x2+y2的取值范围是_____________. 14、已知函数 y=|x2-2x-3|,则此函数的单调增区间是___________.

15、已知函数 (2)判断该函数的奇偶性.

.1)用定义证明该函数在

上是减函数;

16、已知函数 (1)求函数 f(x)的解析式;

是奇函数,且

.

(2)判断函数 f(x)在(0,1]上的单调性,并加以证明.


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