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空间几何体 (2)


第三十九讲

空间几何体的结构

及其三视图和直观图
班级________ 姓名________ 学号________ 得分________ 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. 在下列四个选项中,只有一项是符合题意的) 1.(2011· 江西)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所 示,则该几何体的

左视图为( ) 日期________

解析

被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面

对角线,它们的右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另 一条为体对角线, 它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合, 对照 各图,只有选项 D 符合. 答案 评析 D 本小题主要考查简单组合体的三视图的画法以及空间想

象能力. 在画由基本几何体拼接而成的组合体的三视图时, 除了要注 意三视图的排列规则和特点外, 最重要的是看清该组合体由哪几个基 本几何体拼接而成,并找准其表面的交线,即分界线. 2.在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( )

A.角的水平放置的直观图不一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.若两条线段平行,且相等,则在直观图中对应的两条线段仍 然平行且相等 解析 角在直观图中可以与原来的角不等, 但仍然为角; 由正方

形的直观图可排除 B、C,故选 D. 答案 D

3.(2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 直观图可以是( )

解析

根据正视图与俯视图,我们可以将选项 A、C 排除,根据

侧视图,可以将 D 排除,故选 B.

答案 评析

B 本题主要考查考生对几何体的三视图的认识. 解题关键是

要从三视图中构建几何体,对空间想象能力要求较高. 4 .下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ( )

A.①② C.①④ 解析

B.①③ D.②④

正方体三个视图都相同; 圆锥的正视图和侧视图都是等腰

三角形, 俯视图是带圆心的圆; 三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯 形但不一定相同;正四棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形, 故选 D. 答案 D

5.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形面积 为 2,则原梯形的面积为( )

A.2 C.2 2

B. 2 D.4

解析

设直观图中梯形的上底为 x,下底为 y,高为 h,则原梯

形的上底为 x,下底为 y,高为 2 2h,故原梯形的面积为 4,选 D. 答案 D

6.某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的正视图中,这条棱 的投影是长为 6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱 的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A.2 2 C.4 解析 B.2 3 D.2 5 构造长方体,将棱 BH 构造为长方体的体对角线,由题意 )

知 BH 的正视图的投影为 CH,BH 的侧视图的投影为 BG,BH 的俯 视图投影为 BD.

设 AB=x,AD=y,AE=h, 则由 CH= 6?DC2+DH2=6?x2+h2=6, 又 BH= 7?BC=1,即 y=1. BH 侧视图的投影为 BG= y2+h2, BH 俯视图的投影为 BD= x2+y2, ∴ y +h + x +y ≤2 当 x=h 时,取等号.
2 2 2 2

?y2+h2?+?x2+y2? =4, 2

答案

C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.把正确答 案填在题后的横线上) 7.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可 能图形为________.(只填写序号)

解析

当截面与正方体的某一面平行时, 可得①, 将截面旋转可

得②,继续旋转,过正方体两顶点时可得③,即正方体的对角面,不 可能得④. 答案 ①②③

8.有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母.如图是从 3 种 不同角度看同一粒骰子的情况,请问 H 反面的字母是________.

解析

因为正方体的骰子共有六个面, 每个面都有一个字母, 从

每一个图中都看到有公共顶点的三个面,又与标有 S 的面相邻的面 有四个,由图可知,这四个平面分别标有 H,E,O,P 四个字母, 故能说明 S 的反面是 D,翻转图②使 P 调整到正前面,S 调整到正左 面,则 O 为正下面,所以 H 的反面是 O. 答案 O

9.有一个三棱锥和一个四棱锥,棱长都相等,问它们的一个侧 面重叠后,还有几个暴露面?________. 解析 如图①三棱锥 S—A′B′C′有四个暴露面, 如图②四棱

锥 V—ABCD 有五个暴露面,且它们的侧面都是完全相同的正三角 形.

如图③当三棱锥 S—A′B′C′ 的底面 A′B′C′ 与四棱锥 V—ABCD 的侧面 AVD 完全重合后,四点 S,A,B,V 共面,同样 四点 S,D,C,V 也共面,此时,新几何体共有 5 个面. 答案 5

10.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,两条侧棱长为 13 ,则第三条侧棱长的取值范围是________. 2 解析 = 如图①,四面体 ABCD 中,AB=BC=CA=1,DA=DC

13 ,只有棱长 BD 是可以变动的. 2

设 M 为 AC 的中点,则 MD=

? 13?2 ?1?2 3 ? ? -? ? = 3,MB= . 2 ?2? ? 2 ?

但是要构成三棱锥, 如图②所示, 必须 BD1<BD<BD2, BD1=MB= BD2=3MB= 即 3 3 , 2

3 , 2

3 3 3 <BD< . 2 2
? 3 3 3? ? , ? 2 ? ? 2

答案

三、解答题(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分.写 出证明过程或推演步骤) 11. 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1, P 是 AA1 的中点, E 是 BB1 上一点,如图所示,求 PE+EC 的最小值.



把面 A1ABB1 和面 B1BCC1 展成平面图形,如图所示,PE+

1 EC 的最小值即为线段 PC 的长.由于 AP=PA1= ,AC=2, 2

所以 PC=

?1? 17 22+?2?2= , 2 ? ?

所以 PE+EC 的最小值为 评析

17 . 2

“化折为直”是求空间几何体表面上折线段最小值问题

的基本方法,其途径是将各侧面展开. 12.以正四棱台(底面为正方形,各个侧面均为全等的等腰梯形) 为模型, 验证棱台的平行于底面的截面的性质: 设棱台上底面面积为 S1,下底面面积为 S2,平行于底面的截面距棱台上、下两底的距离的

m S2+n S1 比为 m:n,则截面面积 S 满足下列关系: S= .当 m=n m+n 时,则 S= 解 S1+ S2 (中截面面积公式). 2

如图所示,把棱台补成棱锥.根据棱台上、下底面与平行于

底面的截面相似的性质,上底面、下底面、截面的相似比为 S1? S2 ? S.

设 PO2=h,O1O2=x, 则 S1 PO2 = = S PO h?m+n? = , m h?m+n?+mx h+x· m+n h

h+x ?h+x??m+n? S2 PO1 = PO = = , m h?m+n?+mx S h+x· m+n ∴ nh?m+n? n S1 m S2 + = + h?m+n?+mx S S

m?h+x??m+n? ?hn+hm+mx??m+n? = =m+n, h?m+n?+mx h?m+n?+mx 即 S= m S2+n S1 . m+n

当 m=n 时,则 S= 评析

m S1+m S2 S1+ S2 = . 2 m+m

由于棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体,

台体中一些几何量的计算不是很容易时就可以把台体还原为锥体, 利 用锥体的一些性质解决台体问题, 如利用平行于锥体底面的平面截锥 体, 则截面面积和底面面积的比等于被截得的小锥体的高和原锥体的 高的比的平方, 截得的小锥体的体积和原来锥体的体积的比等于被截 得的小锥体的高和原来锥体高的比的立方等. 13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体 的各条棱相切, 第三个球过这个正方体的各个顶点. 求这三个球的半 径之比. 解 设正方体的棱长为 a,球的半径分别为 R1,R2,R3.球内切

于正方体时,球的直径和正方体的棱长相等,如图①所示,AB=2R1 a =a,所以 R1= ; 2

球与这个正方体的各条棱相切时, 球的直径与正方体的面对角线 长相等,如图②所示,CD=2R2= 2a,所以 R2= 2a ; 2

当球过这个正方体的各个顶点时, 也即正方体内接于球, 此时正 方体的八个顶点均在球面上,则正方体的体对角线长等于球的直径,

如图③所示,EF=2R3= 3a,

所以 R3=

3a . 2

故三个球的半径之比为 1: 2: 3.


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