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解题--充分条件与必要条件认识的误区-苗 勇


(数学通讯 2012 年 9 月上半月) 充分条件与必要条件认识的误区
苗 勇
(江苏省睢宁县古邳中学 221241) 教学中, 我们发现学生对充分条件和必要条件的理解一般仅停留在机械记忆的层面上, 一般来说, 学生被直接且明确地要求判断 p 是 q 的充分条件还是必要条件等问题时, 多数情 况下也能解决,但更深层次的应用,学生往往不能自觉从充分条件和必要条件上进行分析, 经常出现思维上的混乱.下面通过几个案例予以说明.

案例 1(误把充分条件当充要条件):设数列 {an } 的前 n 项的和 S n 列 {an } 的通项公式.

1 ? (an ? 1) 2 ,求数 4

误解:由条件得 a1

1 ? S1 ? (a1 ? 1)2 ,即 (a1 ?1)2 ? 0 ,所以得 a1 ? 1 . 4

当 n ? 2 时, an

1 ? Sn ? Sn?1 ? [(an ? 1)2 ? (an?1 ? 1) 2 ] ,得 (an ?1)2 ? (an?1 ? 1)2 , 4

即 an 当 an 当 an

? an?1 ? 2 或 an ? ?an?1 对任意的 n ? 2, n ? N ? 成立 ? an?1 ? 2 时,数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n ? 1 ; ? ?an?1 时,数列 {an } 是首项为 1,公比为-1 的等比数列,故 an ? (?1)n . ? 2n ? 1 或 an ? (?1)n .

综上,数列 {an } 的通项公式为 an

评析:该题以上解答过程看似严谨,实则错误,其错误比较隐蔽,其根源在于对 “

an ? an?1 ? 2 或 an ? ?an?1 对 任 意 的 n ? 2, n ? N ? 成 立 ” 的 理 解 上 . 事 实 上 ,
,所表示的是:对每一个不小 ? an?1 ? 2 或 an ? ?an?1 对任意的 n ? 2, n ? N ? 成立”

“ an

于 2 的正整数 n , an 与 an?1 的关系至少满足两上等式中的一个,不同的 n 的值,所满足的 等式可以不同, 并不表示同一个数列的所有项要么满足 an 要么满足 an ? ?an?1 . ? an?1 ? 2 ,

如数列 1,3,-3;数列 1,3,5,-5,5 都是满足条件的数列,可以知道,满足条件的数列有 无穷多个. 由上可知, “

an ? an?1 ? 2 对 任 意 的 n ? 2, n ? N ? 成 立 或 an ? ?an?1 对 任 意 的

n ? 2, n ? N ? 成立”只是“ an ? an?1 ? 2 或 an ? ?an?1 对任意的 n ? 2, n ? N ? 成立”的
充分而不必要条件,错解中却当成充要条件了,这一做法,使“解集”变小了. 案例 1 的一般化是: “命题 p 恒成立或命题 q 恒成立”是“命题 p 或 q 恒成立”的充分条 件,解题时切莫当成充要条件. 案例 2(误把必要条件当充要条件):函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? a 2 , 在 x ? 1 时有极值

10 ,那么 a ? b ?

__

误解:f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b , 因函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? a 2 , 在 x ? 1 时有极值 10 ,

所 以

? f ?( 1?) ? ? f ( 1?)

0 即 1 0

? 2a ? b ? 3 ? 0 ? a ? ?3 ?a ? 4 解 得 ? 或 ? 所 以 ? 2 , a ? a ? b ? 1 ? 10, ?b ? 3 ?b ? ?11, ?

a ? b ? 0或 - .7
评析: f ?( x0 ) ? 0 是连续可导函数 f ( x ) 在 x ? x0 处取得极值的必要而非充分条件,只 有 x ? x0 处左右两侧导数符号相反时,函数 f ( x ) 才在 x ? x0 处取得极值,本题错误的根源 在于误把必要条件当充要条件来解题了 .本题应补充验证充分性的过程:当 a ? ?3, b ? 3
2 2 时, f ?( x) ? 3x ? 6x ? 3 ? 3( x ?1) ? 0 , 显然 f ( x ) 在 (??, ??) 上是增函数, 从而 f ( x ) 在

x ? 1 时 无 极 值 , 故 a ? ?3, b ? 3 舍 去 ; 当 a ? 4 b ,? ?

1时1 ,

f ?( x) ? 3x2 ? 8x ?11 ? (3x ? 11)( x ?1) , 当 x ? ( ?

11 , 1)时 , f ?( x ) ? 0 ,函 数 f ( x) 在 3

(?

11 ,1) 上是减函数,当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数,所 3

以此时函数 f ( x ) 在 x ? 1 时有极小值,所以 a ? b ? -7 .

案例 3(误把既不充分也不必要条件当充要条件): 若函数 f ( x) ? 在定义域上为奇函数,则 k 的值为 误解:因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即

k ? 2x ( k 为常数) 1? k ? 2x

k ?1 ? 0 ,所以 k ? 1 . 1? k

评析: f (0) ? 0 是函数 f ( x) 为奇函数的既不充分也不必要条件,本题解答错当成充要 条件了,正确解答为:因为 f ( x) 是奇函数,所以

k ? 2x k ? 2? x (k 2 ? 1)(2? x ? 2x ) f ( x) ? f ( ? x) ? ? ? ? 0 对函数定义域中的 1 ? k ? 2x 1 ? k ? 2? x (1 ? k ? 2x )(1 ? k ? 2? x )
1? 2x 任意 x 都成立, 得 k ? ?1 , 当 k ? 1 时, f ( x) ? , 函数定义域为 (??, ??) , 当 k ? ?1 1? 2x
时, f ( x) ? ?

1? 2x ,函数定义域为 (??,0) ? (0, ??) 都关于原点对称,所以 k ? ?1 . 1? 2x

案例 4( 误把充要条件当必要条件 ) :已知 p , q 是常数,等比数列 {an } 的前 n 项的和

Sn ? pn ? q( p ? 0, p ? 1),求 q 的值.
误解:由条件得 a1 为

? S1 ? p ? q ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn?1 ( p ?1) ,因

p ? 0, p ? 1,故当 n ? 3 时,

an p n?1 ( p ? 1) ? n?2 ? p, an?1 p ( p ? 1)

因为数列 {an } 是等比数列,

把所以

p( p ? 1) a2 ? p, 解得 q ? ?1,这是 {an } 是等比数列的必要条件,下面证 ? p, 即 p?q a1



q ? ?1 也 是 {an } 是 等 比 数 列 的 充 分 条 件 : 当 q ? ?1 时 , a1 ? p ? 1 , 也 适 合

? an ? pn?1 ( p? 1),所以 an ? pn?1 ( p? 1)(n? N ),则

an ? p( n ? 2, n ? N? ),故 an?1

{an } 是等比数列.因此 q ? ?1.

评析:上面的解法,看起来似乎无懈可击,求解一个命题成立的充要条件时,若先求出 命题成立的必要条件,则必须验证这个条件是否充分,但当所列的式子不仅仅是必要的,而 且是充分的,这样的求解结果就是充要条件,就不必再验证充分性了.事实上,数学中的每 一个概念的定义都是充要性命题, 所以利用概念的定义来处理问题得出的结论一定是充要条 件.上述解答是利用等比数列的定义求出 q

? ?1的,其过程步步用充要条件表达为: 数列

{an } 是等比数列 ? 对任意的正整数 n ? 3 时,
所以此种方法得到 q 是否满足充分性.

an p( p ? 1) a ? 2 ? p? ? q ? ?1, p?q an?1 a1

? ?1就是数列 {an } 是等比数列的充要条件,不必要再去验证 q ? ?1

上述解答中,错把充要条件当成必要条件使用,不仅仅是有画蛇添足之嫌,而且犯了逻 辑上的错误.值得一提的是,本题若是利用

a3 a2 ? 求出 q ? ?1时,只能说明 q ? ?1就是 a2 a1

数列 {an } 是等比数列的必要条件,那就得验证是否充分了. 从以上案例可以看出, 对充分条件和必要条件的深层次的理解, 体现在每一次解决问题 中,教学中,我们不能只把“充分条件和必要条件”作为知识和技能教学,而应作为一种思 维方式教学, 要在解题中自觉地把充分条件和必要条件的作为分析问题的一种工具, 这样就 不会出现思维上的混乱,就会避免很多错误. 参考文献: 1. 庞新军.对一道高考选择题的思考.数学通讯,2010(1,2 学生) 2. 陈云烽.话说无解.中学数学教学参考(上旬),2009,11 3. 王峰.从一个案例看充要条件的求解.中学数学教学参考(上旬),2010,11 4. 龚辉斌.凸显数学概念的思维价值—“充分条件和必要条件”的教学思考.中学数学教学 参考(上旬),2010,10


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