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(新课标)高考数学考点专练(8)三角恒等变换(含答案)


三角恒等变换
1.计算 1 ? 2sin 22.5 ? 的结果等于(
2 0



1 (A) 2

2 (B) 2

3 (C) 3

3 (D) 2

【命题立意】本题考 查余弦的倍角公式的逆用,即降幂公式,并进行三角函数的化简求值.

【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式,即降幂公式即可.

【规范解答】选 B.

.

【方法技巧】对于三角公式的学习,要注意灵活掌握其变形公式,才能进行灵活的恒等变换.如倍角公式:

sin 2x ? 2sin x ? cos x , cos 2x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2cos 2 x ?1 ? cos 2 x ? sin 2 x 的逆用公式为“降幂公式” ,

sin x ? cos x ?
即为

1 1 ? cos 2x 1 ? cos 2x sin 2x sin 2 x ? , cos 2 x ? 2 2 2 , ,在三角函数的恒等变形中,降幂

公式起着重要的作用. 2.计算 sin43?cos13? ? cos43?sin13? 的 结果等于( )

1 (A) 2

3 (B) 3

2 (C) 2

3 (D) 2

【命题立意】本题考查学生对于三角函数两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆. 【思路点拨】 由正弦两角差公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 可得.

sin 43? cos 13? ? cos 43? sin 13? ? sin 30 ? ?
【规范解答】选 A.

1 2.

2 ? 4 ? cos ? ? ? 1 ? tan 5 , ? 是第三象限的角,则 2 ( 3.若
1 (A) 2 ?

1 ? tan

?

)

1 (B) 2

(C)2

(D) ?2

【命题立意】本题主要考查了三角函数的恒等变换公式及同角三角函数的基本关系式. 【思路点拨】根据余弦值求出正弦值,然后化简表达式进行求解.

cos ? ? ?
【规范解答】选A.由

4 3 sin ? ? ? 5 , ? 是第三象限的角,可得 5,

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ?

1?

sin cos

? ? ?
2 ? 2 cos cos

? ?
2 2

? sin ? sin

? ?
3 ? 1? ? sin )2 1 ? sin ? 5 ??1 2 2 ? 2 ? ? ? ? 4 cos ? 2 cos 2 ? sin 2 ? 2 2 5 ,故选A. (cos
2

2

1?

sin cos

?

?
2

2

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 sin 2 x 4 4.函数 的最小正周期是__________ .
【命题立意】本题考查三角函数、三角变换,关键是熟练掌握三角函数式变换的相关技巧. 【思路点拨】把 f ( x ) 先统一角,再利用化一公式化成正弦型函数.

?

f ( x) ?
【规范解答】

2 2 sin 2 x ? cos 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) 2 2

?

? ?? 2 2 ?? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 2 T ? 4 2 2 2 , .

【答案】 ? 【方法技巧】 (1)三角函数式化简时常用的技巧有:统一角、降幂扩角、化一公式等. (2)求三角函数式的最小正周期时,一般先把函数化为 y ? A sin(? x ? ? ) 的正弦型函数,再求周期.

1 5.在 ?ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= 2 DC, ? ADB =120°,AD=2,若 ?ADC 的面积为 3 ? 3 ,则
?BAC =
.

【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用. 【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论,列出边与角满足的关系式求解. 【规范解答】设 BD ? x ,则 CD ? 2 x ,由 ?ADC 的面积为 3 ? 3 可知

1 CD ?AD ? sin 60? ? 3 ? 3 2 ,可得 x ? 3 ? 1,由余弦定理可知

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD?BD cos ?ADB ? 6 ,所以 AB ? 6 . AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD?DC cos ?ADC ? 24 ?12 3 ,所以 AC ? 6( 3 ?1) .

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 cos ?BAC ? 2 AB?AC 由 ,及 AB ? 6, AC ? 6( 3 ?1), BC ? 3( 3 ?1) ,

可求得 ?BAC ? 60

?

【答案】60° 【方法技巧】找出三角形中隐含的角的关系,利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系,列出等式求解. 6.已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos x ?1( x ? R) ,
2

? ?? ?0, ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 2 ? 上的最大值和最小值. 6 ?? ? ? f ( x0 ) ? , x0 ? ? , ? 5 ? 4 2 ? ,求 cos 2 x0 的值. (Ⅱ)若
【命题立意】本题主要考查正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质、同 角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式等基础知识,考查考生基本运算能力.

?? ? ? 2 x0 ? ? 2 x0 ? ? ? 6? 6. ? 【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式,变角
【规范解答】 (Ⅰ)由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos x ?1 ,得
2

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 ,
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为

?

T?

2? ?? 2 .

?? ? ?? ? ? ? ?? f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 0, ? , ? 6 ? 在区间 ? 6 ? 上为增函数,在区间 ? ? ?6 2? ? 上为减函数,又 因为
?? ? ?? ? ? ?? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, f ? ? ? ?1 ?0, ? ?6? ?2? ,所以函数 f ( x ) 在区间 ? 2 ? 上的最大值为 2,最小值为-1.

?? 3 ?? ? ? 6 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ? ? sin ? 2 x0 ? ? ? f ( x0 ) ? 6 ? 5, 6 ? ,又因为 ? 5 ,所以 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知

?? ?? 4 ? ? 2? 7? ? ? ? ?? ? ? cos ? 2 x0 ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? 2 x0 ? ? ? ? x0 ? ? , ? 2 x0 ? ? ? , ? 6? 6? 5, 6 ? 3 6 ? ,从而 ? ? ? 4 2 ? ,得 由
?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 . ? ? ?? 所以
2 7.已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,

(1)求 ? 的值.

1 y ? f ( x ) (2)将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 2 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,
? ? ? ? 0, ? 求函数 y ? g ( x) 在区间 ? 16 ? 上的最小值.
【命题立 意】本题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质,进行运算、变形、转换和求值的能 力,考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求解能力. 【思路点拨】 (1)先利用二倍角 公式将 f ( x) 化简,再根据周期求出 ? 的值.(2)先根据 y ? f ( x) 的图象与

y ? g ( x) 图象的关系,求出 y ? g ( x) 的解析式,再根据 x 的范围求 y ? g ( x) 的最小值.
【规范解答】 (1)因为

f ? x ? ? sin ?? ? ? x ? cos ? x ? cos2 ? x

,所以

f ( x) ? sin ? x cos ? x ?

1 ? cos 2? x 1 1 1 2 ? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin(2? x ? ) ? 2 2 2 2 2 4 2,

2? ?? 由于 ? ? 0 ,依题意得 2? ,所以 ? ? 1 .
f ? x? ?
(2)由(1)知

2 ?? 1 ? sin ? 2? x ? ? ? 2 4? 2 ?
,所以

g ? x ? ? f ? 2x ? ?

2 ?? 1 ? sin ? 4 x ? ? ? 2 4? 2 ?
.



0? x?

?

?

16 时, 4

? 4x ?

?
4

?

?
2 , 所以

2 ?? ? ? sin ? 4 x ? ? ? 1 2 4? ?
.

因此

1 ? g ? x? ?

? ? ? 1? 2 ? 0, ? g x 2 ,故 ? ? 在区间 ? 16 ? 上的最小值为 1.

π 1 1 1 ?? ? f ? x ? ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin ? ? ? ? ? 0<?<? ? 2 2 2 ? ? 8.已 知函数 ,其图象过点( 6 , 2 ) .
(1)求

? 的值.

(2)将函数

y ? f ? x?

1 y ? g ? x? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 2 ,纵坐标不变,得到函数 的图象,

求函数

g ? x?

π 在[0, 4 ]上的最大值和最小值.

【命题立意】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用,图象变换以及三角函数的最 值问题,考查了考生的分析问题与解决问题的能力和运算求解能力 .

π 1 y ? f ? x? 【思路点拨】(1)根据图象过点( 6 , 2 ),代入 化简 可求 ? 值,同时应注意 ?
的取值范围. (2)利用(1)的结果,将 解析式,最后根据

y ? f ? x?

的解析式进行化简,再利用图象变换求出

y ? g ? x?



g ? x?

的范围求出最值.

π 1 【规范解答】 (1)因为已知函数图象过点( 6 , 2 ) ,所以有

1 ?? ? 1 1 sin 2 ? ?? 2 ? ? sin(2 ? ) sin ? ? cos cos ? ? sin ? ? ? ? ? 0<?<? ? 6 2 ?2 ? 2 2 66 ,

1?
即有

? 3 3 sin ? ? cos ? ? cos ? sin (? + ) 6 ,又 2 2 =
?
6 ?



?+
所以

?
2 ,解得

??

?
3.

??
(2)由(1)知

?
3,

1 ? ? 1 ?? ? ? f ? x ? ? sin 2 x sin ? cos 2 x cos ? sin ? ? ? ? 0<?<? ? 2 3 3 2 ?2 3? 所以

? 3 1 1 3 1 1+ cos 2x 1 1 sin2x+ cos2 xsin2x+ ? - = sin (2x+ ) 6 , 2 4= 4 2 2 4 2 = 4
1 ? π ? ? 7? 4x+ ? [ , ] g ? x ? 2 sin (4x+ 6 ) 6 6 6 , 所以 = ,因为 x ? [0, 4 ],所以 4x+
所以当

?
6

?

?

1 ? 7? 1 4x+ ? ? 2 时, g ? x ? 取最大值 2 ;当 6 6 时, g ? x ? 取最小值 4 .


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