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指数函数


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大方向教育个性化辅导教案
教师: 徐琨 学生: 学科: 数学 时间:

指数与指数函数
课 题(课型)

教学方法:

知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练

实数指数幂
一、复习引入: 在初中阶段我

们已经学习过几个相同的因数相乘的运算叫做乘方,即

a?a?
n个

? a ? a n ,(n 为正整数).

其中,a 称为底数,n 称为指数,乘方运算的结果叫做幂.因此, a n 可以读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”. 显然,正数的任何次幂均为正数,负数的偶次幂为正数,负数的奇次幂为负数, 0 ? 0 (n 为正
n

整数)。 由正整数指数幂的概念不难证明,乘方运算具有下列基本性质:

a m ? a n ? a m?n

同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

a m ? a n ? a m?n (a≠0,m>n) 同底数幂相除,底数不变,指数相减.

(a ? b)n ? a n ? bn
a an ( ) n ? n (b≠0) b b

积之幂,即为幂之积. 商之幂,即为幂之商. 幂的乘方,底数不变,指数相乘.

(a m )n ? a mn
整数指数幂 规定

a?n ?
a0 ? 1

1 (n 为正整数) an
(a≠0)

二、新课讲授: 1.开方运算
2 若 x ? a(a ? 0) ,则称 x 为 a 的平方根,记作: x ? ? a ,其中 a 称为 a 的算术平方根, a ≥

0.求平方根的运算称为把 a 开平方.显然,负数不能开平方. 若 x3 ? a ,则称 x 为 a 的三次方根(或立方根),记作: x ? 3 a .求立方根的运算称为开立方.因
-1-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 为 a 与 x 是同号的,因此 a 可取一切实数. 推广:如果 x n ? a (n 是大于 1 的正整数),那么 x 叫做 a 的 n 次方根,求 a 的 n 次方根的运算, 叫做把 a 开 n 次方,简称开方.其中 a 叫做被开方数,n 叫做根指数. 比如: 210 ? 1024 ,因此 2 是 1024 的 10 次方根;同时 (?2)10 ? 1024 ,所以?2 也是 1024 的 10 次 方根.即 1024 的 10 次方根有两个,为±2. 正数 a 的正偶次方根有两个,这两个方根互为相反数,记为 ? n a (n 为正偶数),其中 n a 称为 a 的算术 n 次方根. n 0 ? 0 .在实数范围内,当 n 为正偶数时, x n 总是非负的,即 a 总是非负的,所以 负数不能开偶次方.任何实数都能开奇次方,且正奇次方根只有一个,即若 x n ? a (n 为正奇数),则

x ? n a (a 为一切实数);x 与 a 一定是同号的.
填空: 81 的 4 次方根为_______,算术 4 次方根为_______;正数 a 的 6 次方根记为_______,6 次算术方
6 a 有意义, 根记为_______; 0 的 n 次方根(n 为正整数)为________; 则 a 的取值范围是_____________;

7

a 有意义,则 a 的取值范围是______________;?32 的 5 次方根为_______,负数 a 的 9 次方根记为

________; 4 16 =______, 5 32 =_______, ? 4 81 =_____. ① 有理指数幂 规定
n n

a ? a n ,(n 是正整数)
m

1

am ? a n ,

1
n

am

?a

?

m n

(n,m 是正整数).

有理指数(整数或分数)幂: (1) a? ? a ? ? a? ? ? ; (3) (a ? b)? ? a? ? b? ; (5) (a? ) ? ? a?? 例如, (2) a? ? a ? ? a? ? ? (a≠0);

a a? (4) ( )? ? ? (b≠0); b b
(以上?,? 均为有理数)

5 3 ? 53 ? 5 3
1 1

2

1

2 1 ? 3
1

? 51 ? 5 , 8 3 ? (23 ) 3 ? 2
1 1 1

2

2

3?

2 3

? 22 ? 4 ,

(a 2 ? b 2 ) ? (a 2 ? b 2 ) ? (a 2 )2 ? (b 2 ) 2 ? a ? b
三、典型例题:
-2-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 例 1:将下列各分数指数幂写成根式形式
3 5 (1) a
5 (2) b (b ? 0) ? 3

例 2:将下列各根式分数指数幂写成分数指数幂形式
5 2 (1) a

(2)

1
3

a5

( a ? 0)

例 3:求下列各式的值
1 2 (1) 100

(2) 8

?

2 3

1

2

3 3 (3) 8 8

例 4:化简下列各式 (1) 2 ? 2
3

(2) a a ? a ? a
3 6

(3) (a b)

2 3

3

四、课堂练习 1.把下列根式表示为有理指数幂的形式。 (1) (4)
4

63 =____________;(2) b 2 =____________;(5)

3

? 16 =____________;(3)

9

b 7 ? _________ ;
x n =___________.

n

6

b m =_____________;(6)

m

2.填空:
1 2 1 2 3 3 3 3 (1) (?7) ? (?7) =__________;(2) (?7) ? 7 =____________;

(3) 8 ? 8 =____________;(4) (16 ) =_____________;(5) (9a) =___________; (6) (a ? b ) ? (a ? a b ? b ) =______________. 3.将下列各根式写成分数指数幂的形式:
7 2 (1) 3 ; (2) 4 ; (3) (?27) ? 2
5

2 3

1 3

1 2 8

1 2

1 3

1 3

2 3

1 3

1 3

2 3

?

4 3

3 4 ; (4) 2

五、课堂小结 规定: n a ? a n ,(n 是正整数)
n 1

am ? a n ,

m

1
n

am

?a

?

m n

(n,m 是正整数).

有理指数(整数或分数)幂: (1) a? ? a ? ? a? ? ? ; (2) a? ? a ? ? a? ? ? (a≠0);

-3-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 (3) (a ? b)? ? a? ? b? ; (5) (a? ) ? ? a??

a a? (4) ( )? ? ? (b≠0); b b
(以上?,? 均为有理数)

指数函数
新课讲授: 1.定义:一般地,形如 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 的函数叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 为常数称为 指数函数的底。指数函数的定义域为 R。 2.在同一坐标系中画出指数函数 y ? 10 x , y ? 2x , y ? ( ) , y ? (
x

1 2

1 x ) 的图像, 10

观察 并总结函数 y=a (a>0,且 a≠1)的性质.

x

a ?1
图象 y 1 O 定义域 值域 性质 x

0 ? a ?1
y 1 O x

二、例题分 析 例 1、比较大小 (1) 1.5 2.5 与 1.5 3.2 (2) 0.51.2 与 0.51.5 (3) 1.5 0.3 与 0.81.2

例 2、(1)已知 3 x ? 30.5 ,求实数 x 的取值范围;(2) 已知 0.2 x ? 25 ,求实数 x 的取值范围。

例 3、下列函数是指数函数的是 (1) y ? 4
x

( 填序号) (3) y ? (?4)
x

(2) y ? x

4

(4) y ? 4 x 。
2

-4-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 例 4、函数 y ? a 2 x?1 (a ? 0, a ? 1) 的图象必过定点 。

例 5、若指数函数 y ? (2a ? 1) x 在 R 上是增函数, 求实数 a 的取值 范围。

四、随堂练习 1、如果 指数函数 f ( x) ? (a ? 1) x 是 R 上的单调减函数,那么 a 取值范围是( A、 a ? 2 B、 a ? 2 )
0.1



C、 1 ? a ? 2

D、 0 ? a ? 1

2、下列关系中,正确的是(

1 1 A、 ( ) 3 ? ( ) 5 2 2

1

1

B、 2

?2

0.2

C、 2

?0.1

?2

?0.2

1 ? 1 ? D、 ( ) 5 ? ( ) 3 2 2

1

1

3、比较下列各组数大小: (1) 3.1 ,
0.5

3.1

2.3

?2? (2) ? ? ?3?

?0.3

?2? , ? ? ?3?

?0.24

(3) 2.3?2.5 ,

0.2 ?0.1

4、函数 f ( x) ? 10 在区间[-1,2]上的最大值为
x

,最小值为 ,最小值为

。 。

函数 f ( x) ? 0.1 在区间[-1,2]上的最大值为
x x

5、已知函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 在 ?1,2? 上的最大值比最小值 多 2,求 a 的值。

一、【知识复习】 1. 作出下列函数的图像 (1) f ( x) ? 2
x

?

(2) g ( x) ? 2

x ?1

?

(3) h( x) ? 2

x ?1

?1
-5-

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三、【互动探究】 函数图象平移变换结论:

h ? 0 时,将 y ? f ( x) 向_____平移_____个单位,得到 y ? f ( x ? h) 的图象;
将 y ? f ( x) 向_____平移_____个单位,得到 y ? f ( x ? h) 的 图象; 将 y ? f ( x) 向上平移 h 个 单位,得到____________________的图象; 将 y ? f ( x) 向下平移 h 个单位,得到____________________的图象. 四、【交流展示】 ( 1 ) 将函数 f (x) = 3 的图象向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,可以得到函数 的图象. ( 2 )将函数 f (x)= 3 的图象. (3)将函数 y ? ? ? . (4)对任意的 a>0 且 a≠1,函数 y=a 2 的图象恒过的定点的坐标是 五、【精讲点拨】 在同一坐标系下作出下列函数的图像 (1) f ( x) ? 2
x
2x 1

x

x

的图象向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,可以得到函数

?1? ? 2 图象先向左平移 2 个单位,再向 下平移 1 个单位所得函数的解析式是 ? 3?

2x

的图象恒 过的定点的坐标是

.函数 y=a -

2x



?1? ? g ( x) ? ? ? ? 2? x ? ? ? 2?

x

(2) f ( x) ? 2

x

? g ( x) ? ?2x ? ?

这两个图象关于_________对称. 一般 地:函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x)

这两个图象关于_________对称. 一般地:函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f ( x)
-6-

的图象关于__________对称. 随堂练习 1 将 函 数 y ?? ?

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 的图象关于__________对称

?1? ? 3?

2x

图象左移 2 个单位,再下移 1 个单位所得函 数的解析式为

_________________________ 2 求函数 y ? 4x ? 2x?1 ? 1 的最小值以及取得最小值时的 x 值

3、求下列函数的定义域和值域: (1) y ? 2
1 x

(2) y ? 3

x

(3) y ? 1 ? 3x

2、求证: f ( x) =

a x ? a ?x (a ? 0, a ? 0) 是奇函数。 2

2 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x<0 时,f(x)=1-2 ,求 f(x)解析式

x

课后作业
【基础】
-7-

大方向教育——值得您信赖的专业化个性化辅导学校 1. 求值(1) 25
3 2

25 -1 (2) ( ) 2 4

(3) (0.0081 )

?

1 4

2. 指数函数 f ( x) ? (a 2 ? 1) x 是减函数,求实数 a 的取值范围. 3. 已知指数函数 f ( x) = a x ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3, ? ),求 f (0), f (1), f (?3)的值.

4. 求函数 y ?

1 5x ?1

的定义域.

【巩固】 1. 计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; 2.计算下列各式
2 1 1 1 1 5 1

(2) (m 4 n 8 ) .

?

3 8

(1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 ;

(2)

a2 a. 3 a2

(a >0)



3.已知 a ?

1 a

(a a ? ? 3, 求

1 a a
4

? 2)(a 2 ? 1
4

1 ? 3) a2

的值.

a?

a

4.函数 y ? a 在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为 3,则 a ?
x



5.函数 y=

1 的值域是_ 2 ?1
x

____.

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能力提升:
1 |x+1| 1.已知函数 y=( ) . 3 (1)作出函数的图象(简图); (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值,并求出最值.

2.如果函数 y=a +2a -1(a>0 且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

2x

x

-2 +b 3.(2011·常州模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; 2 2 (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

x

4.函数 y=1+2 +4 a 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围

x

x

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教师评定: 1、学生上次作业评价: ○好 ○较好 ○较好 ○一般 ○一般 教师签字: 教导主任签字: 大方向教育教务 ○差 ○差

2、学生本次上课情况评价:○好

- 10 -


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