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高中数学竞赛辅导讲义第十二讲 立体几何


第十二章
一、基础知识

立体几何

公理 1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线 在这个平面内,记作:a ? a. 公理 2 两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的 公共直线,即若 P∈α ∩β ,则存在唯一的直线 m,使得α ∩β =m, 且 P∈m。 公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线 的三点确定一个平面. 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面. 推论 2 两条相交直线确定一个平面. 推论 3 两条平行直线确定一个平面. 公理 4 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行. 定义 1 异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线.过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线 所成的角中,不超过 900 的角叫做两条异面直线成角.与两条异面直 线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线, 公垂线夹在两条异面直 线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离. 定义 2 直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面

外.直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做 直线与平面平行)统称直线在平面外. 定义 3 直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直, 则直线与这个平面垂直. 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平 面垂直. 定理 2 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个 平面垂直. 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若 一条直线与平面平行,则直线上每一点到平面的距离都相等,这个距 离叫做直线与平面的距离. 定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜 线上每一点向平面引垂线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样 的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平面内的射影.斜线与它 的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角. 定理 4 (三垂线定理)若 d 为平面。 的一条斜线, 为它在平面 a 内的 b 射影,c 为平面 a 内的一条直线,若 c ? b,则 c ? a.逆定理:若 c ? a, 则 c ? b.

定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线, 若它与平面内一条直线 b 平行, 则它与平面 a 平行 定理 6 若直线。与平面α 平行,平面β 经过直线 a 且与平面 a 交于 直线 6,则 a//b. 结论 2 若直线。与平面α 和平面β 都平行,且平面α 与平面β 相交 于 b,则 a//b. 定理 7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且 方向相同,则两个角相等. 定义 6 平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即 平行,否则即相交. 定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a,b 都与平面β 平行,则α //β . 定理 9 平面α 与平面β 平行,平面γ ∩α =a,γ ∩β =b,则 a//b. 定义 7 (二面角),经过同一条直线 m 的两个半平面α ,β (包括直线 m,称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角,记作α —m—β ,也可 记为 A—m 一 B,α —AB—β 等.过棱上任意一点 P 在两个半平面内 分别作棱的垂线 AP,BP,则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角. 它的取值范围是[0,π ]. 特别地,若∠APB=900,则称为直二面角,此时平面与平面的位置 关系称为垂直,即α ? β . 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

定理 11

如果两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面

的垂线在第一个平面内. 定理 12 如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线

与另一个平面垂直. 定义 8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形,并且每相邻 两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行,由这些面所围成的 几何体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做底面.如果底面是平行四边 形则叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱;底面是正多 边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是矩形的直棱柱叫做长方体.棱长都 相等的正四棱柱叫正方体. 定义 9 有一个面是多边形(这个面称为底面),其余各面是一个有公 共顶点的三角形的多面体叫棱锥.底面是正多边形,顶点在底面的射 影是底面的中心的棱锥叫正棱锥. 定理 13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V,棱数为 E, 面数为 F,则 V+F-E=2. 定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球

面. 球面所围成的几何体叫做球. 定长叫做球的半径, 定点叫做球心. 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R,那么平面与球相交 所得的截面是圆面, 圆心与球心的连线与截面垂直. 设截面半径为 r,

则 d2+r2=R2.过球心的截面圆周叫做球大圆.经过球面两点的球大 圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离. 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的

截面四周叫做纬线. 纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的 角叫做这点的纬度. 用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面 半圆周(以两极为端点)叫做经线,经线所在的平面与本初子午线所在 的半平面所成的二面角叫做经度,根据位置不同又分东经和西经. 定理 15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于 这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那 么这两个几何体的体积相等. 定理 16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条

射线共组成三个角.其中任意两个角之和大于另一个,三个角之和小 于 3600. 定理 17 (面积公式)若一个球的半径为 R,则它的表面积为 S
球面

=4π R2。若一个圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,则它的侧面积 S 侧 =π rl. 定理 18 (体积公式)半径为 R 的球的体积为 V 球= ?R 3 ;若棱柱(或 圆柱)的底面积为 s,高 h,则它的体积为 V=sh;若棱锥(或圆锥) 的底面积为 s,高为 h,则它的体积为 V= sh. 定理 19 如图 12-1 所示,四面体 ABCD 中,记∠BDC=α ,∠ADC=β ,
1 3 4 3

∠ADB=γ ,∠BAC=A,∠ABC=B,∠ACB=C。DH ? 平面 ABC 于 H。

(1)射影定理:SΔ ABD?cosФ =SΔ ABH,其中二面角 D—AB—H 为Ф 。 (2)正弦定理:
sin ? sin ? sin ? ? ? . sin A sin B sin C

(3)余弦定理:cosα =cosβ cosγ +sinβ sinγ cosA. cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα . (4)四面体的体积公式 V ? DH?SΔ ABC = abc 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 cos ? cos ? cos ?
? ? 1 aa1 d sin ? (其中 d 是 a1, a 之间的距离, ? 是它们的夹角) 6 2 SΔ ABD?SΔ ACD?sinθ (其中θ 为二面角 B—AD—C 的平面角)。 3a 1 6 1 3

二、方法与例题 1.公理的应用。 例 1 直线 a,b,c 都与直线 d 相交,且 a//b,c//b,求证:a,b,c,d 共面。 [证明] 设 d 与 a,b,c 分别交于 A,B,C,因为 b 与 d 相交,两者确定 一个平面,设为 a.又因为 a//b,所以两者也确定一个平面,记为β 。 因为 A∈α ,所以 A∈β ,因为 B∈b,所以 B∈β ,所以 d ? β .又过 b,d 的平面是唯一的, 所以α , 是同一个平面, β 所以 a ? α .同理 c ? α .即 a,b,c,d 共面。 例2 [解] 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件? 充要条件。先证充分性,设图 12-2 中 PQRSTK 是长方体

ABCD-A1B1C1D1 的正六边形截面,延长 PQ,SR 设交点为 O,因为 直线 SR ? 平面 CC1D1D,又 O∈直线 SR,所以 O∈平面 CC1D1D,又因 为直线 PQ ? 平面 A1B1C1D1, O∈直线 PQ, 又 所以 O∈平面 A1B1C1D1。 所以 O∈直线 C1D1, 由正六边形性质知,∠ORQ=∠OQR=600,所以Δ ORQ 为正三角形,因为 CD//C1D1,所以
CR SR =1。所以 R 是 CC1 中点, ? C1 R RO

同理 Q 是 B1C1 的中点, 又Δ ORC1≌Δ OQC1, 所以 C1R=C1Q, 所以 CC1=C1B1, 同理 CD=CC1,所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者 自己证明。 2.异面直线的相关问题。 例3 [解] 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对? 每条棱与另外的四条棱成异面直线, 重复计数一共有异面直线
48 ? 24 对。 2

12×4=48 对,而每一对异面直线被计算两次,因此一共有

例 4 见图 12-3,正方体,ABCD—A1B1C1D1 棱长为 1,求面对角线 A1C1 与 AB1 所成的角。 [解] 连结 AC,B1C,因为 A1A // B1B // C1C,所以 A1A // C1C,所以 A1ACC1 ? ? ?

为平行四边形,所以 A1C1 // AC。 ? 所以 AC 与 AB1 所成的角即为 A1C1 与 AB1 所成的角,由正方体的性 质 AB1=B1C=AC,所以∠B1AC=600。所以 A1C1 与 AB1 所成角为 600。 3.平行与垂直的论证。 例 5 A,B,C,D 是空间四点,且四边形 ABCD 四个角都是直角,

求证:四边形 ABCD 是矩形。 [证明] 若 ABCD 是平行四边形,则它是矩形;若 ABCD 不共面, 设过 A,B,C 的平面为α ,过 D 作 DD1 ? α 于 D1,见图 12-4,连结 AD1, 1, CD 因为 AB ? AD1, 又因为 DD1 ? 平面α , AB ? α , 又 所以 DD1 ? AB, 所以 AB ? 平面 ADD1, 所以 AB ? AD1。 同理 BC ? CD1,所以 ABCD1 为矩形, 所以∠AD1C=900,但 AD1<AD,CD1<CD,所以 AD2+CD2=AC2= AD12 ? CD12 ,与
AD12 ? CD12 <AD +CD 矛盾。所以 ABCD 是平面四边形,所以它是矩形。
2 2

例6

一个四面体有两个底面上的高线相交。证明:它的另两条高线

也相交。 [证明] 见图 12-5,设四面体 ABCD 的高线 AE 与 BF 相交于 O,因为 AE ? 平面 BCD, 所以 AE ? CD, ? 平面 ACD, BF 所以 BF ? CD, 所以 CD ? 平 面 ABO,所以 CD ? AB。设四面体另两条高分别为 CM,DN,连结 CN, 因为 DN ? 平面 ABC,所以 DN ? AB,又 AB ? CD,所以 AB ? 平面 CDN,所 以 AB ? CN。设 CN 交 AB 于 P,连结 PD,作 CM ' ? PD 于 M ' ,因为 AB ? 平 面 CDN,所以 AB ? CM ' ,所以 CM ' ? 平面 ABD,即 CM ' 为四面体的高, 所以 CM ' 与 CM 重合,所以 CM,DN 为Δ PCD 的两条高,所以两者相交。 例7 在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E 是 AD 中点,沿 BE 将Δ ABE 折起,

并使 AC=AD,见图 12-6。求证:平面 ABE ? 平面 BCDE。 [证明] 取 BE 中点 O,CD 中点 M,连结 AO,OM,OD,OC,则 OM//BC,

又 CD ? BC,所以 OM ? CD。又因为 AC=AD,所以 AM ? CD,所以 CD ? 平 面 AOM,所以 AO ? CD。又因为 AB=AE,所以 AO ? BE。因为 ED≠BC,所

以 BE 与 CD 不平行,所以 BE 与 CD 是两条相交直线。所以 AO ? 平面 BC-DE。又直线 AO ? 平面 ABE。所以平面 ABE ? 平面 BCDE。 4.直线与平面成角问题。 例8 见图 12-7,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,G 为

BF 的中点,将正方形沿 EF 折成 1200 的二面角,求 AG 和平面 EBCF 所 成的角。 [解]设边长 AB=2,因为 EF // AD,又 AD ? AB。所以 EF ? AB,所以 ? BG= BF ?
1 2 1 0 5 ,又 AE ? EF,BE ? EF,所以∠AEB=120 。过 A 作 AM ? BE 2
1 2 1 3 ,AM=AEsin600= .由余弦定理 2 2
2

于 M,则∠AEM=600 ,ME= AE ?
2 2 2

2 ? 5? 3 3 5 1 9 5 3 MG =BM +BG -2BM ? BGcos ∠ MBG= ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 5 4 4 2 ?2? ? 2 ? ?

=2, 所以 MG= 2. 因为 EF ? AE, ? BE, EF 所以 EF ? 平面 AEB, 所以 EF ? AM, 又 AM ? BE,所以 AM ? 平面 BCE。所以∠AGM 为 AG 与平面 EBCF 所成的
3 6 6 角。 tan∠AGM= 2 ? 而 。 所以 AG 与平面 EBCF 所成的角为 arctan . 4 4 2

例 9 见图 12-8,OA 是平面α 的一条斜角,AB ? α 于 B,C 在α 内,且 AC ? OC,∠AOC=α ,∠AOB=β ,∠BOC=γ 。证明:cosα =cosβ ?cos γ . [证明] 因为 AB ? α , ? OC, AC 所以由三垂线定理, ? OC, BC 所以 OAcos β =OB,OBcosγ =OC,又 RtΔ OAC 中,OAcosα =OC,所以 OAcosβ cosγ =OAcosα ,所以 cosα =cosβ ?cosγ .

5.二面角问题。 例 10 见图 12-9,设 S 为平面 ABC 外一点,∠ASB=450,∠CSB=600, 二面角 A—SB—C 为直角二面角,求∠ASC 的余弦值。 [解] 作 CM ? SB 于 M,MN ? AS 于 N,连结 CN,因为二面角 A—SB—C 为直二面角, 所以平面 ASB ? 平面 BSC。 CM ? SB, 又 所以 CM ? 平面 ASB, 又 MN ? AS,所以由三垂线定理的逆定理有 CN ? AS,所以 SC?cos∠ CSN=SN=SC?cos∠CSM?cos∠ASB,所以 cos∠ASC=cos450cos600=
2 。 4

例 11 见图 12-10,已知直角Δ ABC 的两条直角边 AC=2,BC=3,P 为 斜边 AB 上一点, CP 将此三角形折成直二面角 A—CP—B, AB= 7 沿 当 时,求二面角 P—AC—B 的大小。 [解] 过 P 作 PD ? AC 于 D,作 PE ? CP 交 BC 于 E,连结 DE,因为 A—

CP—B 为直二面角,即平面 ACP ? 平面 CPB,所以 PE ? 平面 ACP,又 PD ? CA,所以由三垂线定理知 DE ? AC,所以∠PDE 为二面角 P—AC—B 的平面角。设∠BCP=θ ,则 cos∠ECD=cosθ ?cos(900-θ )=sinθ cos
1 2 2 ? 32 ? 7 1 θ ,由余弦定理 cos∠ACB= ? ,所以 sinθ cosθ = ,所 2 2? 2?3 2
2

以 sin2θ =1.又 0<2θ <π ,所以θ = ,设 CP=a,则 PD= 所以 tan∠PDE=
PE ? 2. PD

? 4

2 a,PE=a. 2

所以二面角 P—AC—B 的大小为 arctan 2 。 6.距离问题。

例 12 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a, 求对角线 AC 与 BC1 的距离。 [解] 以 B 为原点,建立直角坐标系如图 12-11 所示。设 P,Q 分别
1 3 1 3

是 BC1,CA 上的点,且 BP ? BC1 , CQ ? CA ,各点、各向量的坐标分 别 为 A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0) ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 PQ ? BQ ? BP ? BC ? CA ? BC1 ? BC ? BA ? BC ? BC ? BB1 ? BC ? BA ? BB1 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 3 ? ( a, a,? a) ,所以 | PQ |? a ,所以 PQ ? BC 1 ? ? a×a+ a×a=0, 3 3 3 3 3 3

PQ ? CA ?

1 1 a×a- a×a=0.所以 PQ ? BC1 , PQ ? CA 。 所以 PQ 为 AC 与 BC1 3 3

的公垂线段,所以两者距离为

3 a. 3

例 13 如图 12-12 所示,在三棱维 S—ABC 中,底面是边长为 4 2 的 正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面,E,D 分别是 BC,AB 的中 点,求 CD 与 SE 间的距离。 [分析] 取 BD 中点 F,则 EF//CD,从而 CD//平面 SEF,要求 CD 与 SE 间的距离就转化为求点 C 到平面 SEF 间的距离。 [解] 设此距离为 h,则由体积公式

1 1 ? SC ? S ?CEF ? VS ?CEF ? h ? S ?SEF . 3 3

计算可得 SΔ SEF=3, S ?CEF ? 3. 所以 h ? 7.凸多面体的欧拉公式。

2 3 . 3

例 14 一个凸多面体有 32 个面,每个面或是三角形或是五边形,对 于 V 个顶点每个顶点均有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交,求

100P+10T+V。 [解] 因 F=32,所以 32-E+V=2,所以 E=V+30。因为 T+P 个面相交 于每个顶点,每个顶点出发有 T+P 条棱,所以 2E=V(T+P). 由此得 V(T+P)=2(V+30),即 V(T+P-2)=60. 由于每个三角形面有三条棱,故 三角形面有
VT VP 个,类似地,五边形有 个,又因为每个面或者是三 3 5

T P 角形或者是五边形,所以 V ? ? ? =32,由此可得 3T+5P=16,它的唯 ? ? ?3 5?

一 正 整 数 解 为 T=P=2 , 代 入 V(T+P-2)=60 得 V=30 , 所 以 100P+10T+V250。 8.与球有关的问题。 例 15 圆柱直径为 4R,高为 22R,问圆柱内最多能装半径为 R 的球 多少个? [解] 最底层恰好能放两个球,设为球 O1 和球 O2,两者相切,同时 与圆柱相切,在球 O1 与球 O2 上放球 O3 与球 O4,使 O1O2 与 O3O4 相 垂直,且这 4 个球任两个相外切,同样在球 O3 与球 O4 上放球 O5 与 球 O6,……直到不能再放为止。 先计算过 O3O4 与过 O1O2 的两平行面与圆柱底面的截面间距离为
( 3R) 2 ? R 2 ? 2 R 。设共装 K 层,则(22- 2 )R< 2 R(K-1)+2R≤22R,

解得 K=15,因此最多装 30 个。 9.四面体中的问题。 例 16 已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上

的射影 H 是Δ SBC 的垂心,二面角 H—AB—C 的平面角等于 300, SA= 2 3 。求三棱锥 S—ABC 的体积。 [解] 由题设,AH ? 平面 SBC,作 BH ? SC 于 E,由三垂线定理可知 SC ? AE,SC ? AB,故 SC ? 平面 ABE。设 S 在平面 ABC 内射影为 O,则 SO ? 平面 ABC, 由三垂线定理的逆定理知, ? AB 于 F。 CO 同理, ? AC, BO 所以 O 为Δ ABC 垂心。又因为Δ ABC 是等边三角形,故 O 为Δ ABC 的 中心,从而 SA=SB=SC= 2 3 ,因为 CF ? AB,CF 是 EF 在平面 ABC 上的 射影,又由三垂线定理知,EF ? AB,所以∠EFC 是二面角 H—AB—C 的 平 面 角
1 2







EFC=300







OC=SCcos600= 2 3 ? ? 3 ,SO= 3 tan600=3 , 又 OC= AB= 3 OC=3。所以 VS—ABC= ?
1 3
9 3 ×32×3= 3 。 4 4

3 AB , 所 以 3

例 17 设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值, 是四面体的最 h 小高的长,求证:2d>h. [证明] 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h,AC 与 BD 间的距离为 d, 作 AF ? BD 于点 F, ? BD 于点 N, CN//HF, CN 则 在面 BCD 内作矩形 CNFE, 连 AE,因为 BD//CE,所以 BD//平面 ACE,所以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d。在Δ AEF 中,AH 为边 EF 上的高,AE 边上的高 FG=d,作 EM ? AF 于 M,则由 EC//平面 ABD 知,EM 为点 C 到面 ABD 的 距离(因 EM ? 面 ABD) ,于是 EM≥AH=h。在 RtΔ EMF 与 RtΔ AHF 中, 由 EM ≥ AH 得 EF ≥ AF 。 又 因 为 Δ AEH ∽ Δ FEG , 所 以

h AH AE AF ? EF ? ? ? ≤2。所以 2d>h. d FG EF EF

注:在前面例题中除用到教材中的公理、定理外,还用到了向量法、 体积法、射影法,请读者在解题中认真总结。 三、基础训练题 1.正三角形 ABC 的边长为 4,到 A,B,C 的距离都是 1 的平面有 __________个. 2.空间中有四个点 E,F,G,H,命题甲:E,F,G,H 不共面;命题 乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙的__________条件。 3.动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发,沿棱运动,每条棱 至多经过一次,则点 P 运动的最大距离为__________。 4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是面 ADD1A1、面 ABCD 的中心, G 为棱 CC1 中点,直线 C1E,GF 与 AB 所成的角分别是α ,β 。则α + β =__________。 5.若 a,b 为两条异面直线,过空间一点 O 与 a,b 都平行的平面有 __________个。 6.CD 是直角Δ ABC 斜边 AB 上的高,BD=2AD,将Δ ACD 绕 CD 旋转使 二面角 A—CD—B 为 600, 则异面直线 AC 与 BD 所成的角为__________。 7.已知 PA ? 平面 ABC,AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上一点且 AC= AB, 则二面角 A—PC—B 的大小为__________。 8.平面α 上有一个Δ ABC,∠ABC=1050,AC= 2( 6 ? 2 ) ,平面α 两侧
1 2

各 有 一 点 S , T , 使 得 SA=SB=SC= ST=_____________.

41 , TA=TB=TC=5 , 则

9. 在三棱锥 S—ABC 中, ? 底面 ABC, SA 二面角 A—SB—C 为直二面角, 若∠BSC=450, SB=a, 则经过 A, C, 的球的半径为_____________. B, S 10.空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为 _____________. 11.异面直线 a,b 满足 a//α ,b//β ,b//α ,a//β ,求证:α //β 。 12.四面体 SABC 中,SA,SB,SC 两两垂直,S0,S1,S2,S3 分别表示 Δ ABC,Δ SBC,Δ SCA,Δ SAB 的面积,求证: S02 ? S12 ? S 22 ? S32 . 13.正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E 在棱 BB1 上,截面 A1EC ? 侧面 AA1C1C, (1)求证:BE=EB1; (2)若 AA1=A1B1,求二面角 EC-A1-B1C1 的平面角。 四、高考水平训练题 1.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 为 A1B1 的中点,N 为 B1C 与 BC1 的交点,平 面 AMN 交 B1C1 于 P,则
B1 P =_____________. PC1
13 3 ,AC= , 2 2

2.空间四边形 ABCD 中,AD=1,BC= 3 ,且 AD ? BC,BD= 则 AC 与 BD 所成的角为_____________.

3. 平面α ? 平面β , ? β =直线 AB, C∈α , D∈β , α 点 点 ∠BAC=450, ∠ BAD=600 , 且 CD ? AB , 则 直 线 AB 与 平 面 ACD 所 成 的 角 为 _____________.

4 . 单 位 正 方 体 ABCD — A1B1C1D1 中 , 二 面 角 A — BD1 — B1 大 小 为 _____________. 5.如图 12-13 所示,平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角α —MN—β 的棱 MN 上,点 B,C,D 都在α 上,且 AB=2AD,∠DAN=450,∠BAD=600, 若 ◇ ABCD 在 半 平 面 β 上 射 影 为 为 菜 , 则 二 面 角 α — MN — β =_____________. 6.已知异面直线 a,b 成角为θ ,点 M,A 在 a 上,点 N,B 在 b 上, MN 为公垂线,且 MN=d,MA=m,NB=n。则 AB 的长度为_____________. 7.已知正三棱锥 S—ABC 侧棱长为 4,∠ASB=450,过点 A 作截面与侧 棱 SB, 分别交于 M, 则截面Δ AMN 周长的最小值为_____________. SC N, 8.l1 与 l2 为两条异面直线,l1 上两点 A,B 到 l2 的距离分别为 a,b, 二面角 A—l2—B 大小为θ ,则 l1 与 l2 之间的距离为_____________. 9.在半径为 R 的球 O 上一点 P 引三条两两垂直的弦 PA,PB,PC,则 PA2+PB2+PC2=_____________. 10.过Δ ABC 的顶点向平面α 引垂线 AA1,BB1,CC1,点 A1,B1,C1∈ α ,则∠BAC 与∠B1A1C1 的大小关系是_____________. 11.三棱锥 A—BCD 中∠ACB=∠ADB=900,∠ABC=600,∠BAD=450,二 面角 A—CD—B 为直角二面角。 (1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角; (2)若 M 为 BC 中点,E 为 BD 中点,求 AM 与 CE 所成的角; (3)二 面角 M—AE—B 的大小。

12. 四棱锥 P—ABCD 底面是边长为 4 的正方形, ? 底面 ABCD, PD PD=6, M,N 分别是 PB,AB 的中点, (1)求二面角 M—DN—C 的大小; (2) 求异面直线 CD 与 MN 的距离。 13.三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,M 为Δ ABC 的重心,D 为 AB 中点,作与 SC 平行的直线 DP,证明: (1)DP 与 SM 相交; (2)设 DP 与 SM 的交点为 D ' ,则 D ' 为三棱锥 S—ABC 外接球球 心。 五、联赛一试水平训练题 1.现有边长分别为 3,4,5 的三角形两个,边长分别为 4,5, 41 的 三角形四个,边长分别为
5 2 ,4,5 的三角形六个,用上述三角形 6

为面,可以拼成_________个四面体。 2.一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正 三角形, 这两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数 mn=_________。
? 3.已知三个平面α ,β ,γ 每两个平面之间的夹角都是 ? ? 0 ? ? ? ? , ? ?
? 2?
m , 那么 n

且 ? ? ? =a, ? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,命题甲:? ? 一点。则甲是乙的_________条件。

?
3

;命题乙:a,b,c 相交于

4. 棱锥 M—ABCD 的底面是正方形, MA ? AB, 且 如果Δ AMD 的面积为 1, 则能放入这个棱锥的最大球的半径为_________. 5.将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有

二面角都相等的六面体,并且该六面体的最短棱长为 2,则最远两个 顶点间距离为_________。 6.空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直 线有_________条。 7.一个球与正四面体的六条棱都相切,正四面体棱长为 a,这个球 的体积为_________。 8. 由曲线 x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋 转体的体积为 V1, 满足 x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4 的点(x,y) 组 成 的 图 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 为 V2 , 则
V1 ? _________。 V2

9.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆围上的 点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB ? OB,垂足为 B,OH ? PB, 垂足为 H,且 PA=4, 为 PA 的中点,则当三棱锥 C—HPC 体积最大时, C OB=_________。 10.OA, OB, OC 是三个互相垂直的单位向量,π 是过点 O 的一个平面,
A' , B' , C ' 分 别 是 A , B , C 在 π 上 的 射 影 , 对 任 意 的 平 面 π , 由 OA' 2 ?OB' 2 ?OC' 2 构成的集合为_________。

11.设空间被分为 5 个不交的非空集合,证明:一定有一个平面,它 至少与其中的四个集合有公共点。 12.在四面体 ABCD 中,∠BDC=900,D 到平面 ABC 的垂线的垂足 S 是

Δ ABC 的垂心,试证:(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2),并说明等号成 立时是一个什么四面体? 13.过正四面体 ABCD 的高 AH 作一平面,与四面体的三个侧面交于三 条直线, 这三条直线与四面体的底面夹角为α , , , tan2α +tan2 β γ 求 β +tan2γ 之值。 六、联赛二试水平训练题 1.能否在棱长为 1 的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个 公共点的棱长为 1 的正四面体? 2.P,Q 是正四面体 A—BCD 内任意两点,求证: cos ?PAQ ? . 3.P,A,B,C,D 是空间五个不同的点,∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA= θ ,这里θ 为已知锐角,试确定∠APC+∠BPD 的最大值和最小值。 4.空间是否存在有限点集 M,使得对 M 中的任意两点 A,B,可以在 M 中另取两点 C,D,使直线 AB 和 CD 互相平行但不重合。 5.四面体 ABCD 的四条高 AA1,BB1,CC1,DD1 相交于 H 点(A1,B1,C1, D1 分别为垂足) 三条高上的内点 A2, 2, 2 满足 AA2: 。 B C AA=BB2: 2B1=CC2: B C2C1=2:1。证明:H,A2,B2,C2,D1 在同一个球面上。 6.设平面α ,β ,γ ,δ 与四面体 ABCD 的外接球面分别切于点 A, B,C,D。证明:如果平面α 与β 的交线与直线 CD 共面,则γ 与δ 的 交线与直线 AB 共面。
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