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新课标高中数学会考说明


新课标数学会考说明题型示例
一、选择题 1. 已知集合 A ? x x ( x ? 1) ? 0 ,那么下列结论正确的是( A. 0 ? A 参考答案:A B. 1 ? A C. ?1 ? A

?

?

) . D. 0 ? A

2. 设集合 M ? ?1, 2, 3, 4, 5? ,

集合 N ? ?2, 4,6? ,集合 T ? ?4, 5, 6? ,则 (M ? T ) ? N 是( A. ) .

?2,

4, 5, 6?

B. D.

?4,

5, 6?

C. ?1, 2, 3, 4, 5, 6? 参考答案:A

?2,

4, 6?

3. 已知全集 I ? ?1,  2,  3,  4,  5,  6? , A ? ?1,     2, 3, 4? , B ? ?3,     4, 5, 6? , 那么 ?I ( A ? B) 等于( A. ) . B. ?1, 2, 5, 6? D. ?

?3, 4?

C. ?1, 2, 3, 4, 5, 6?

参考答案:B 4. 设集合 M ={-2,0,2} ,N ={0} ,则下列结论正确的是( A. N ? ? 参考答案:C 5. 函数 y= A. B. N∈M C. N

) . D. M

M

N

16 ? x 2 的定义域是( x

) . B. [-4,4] D.

??4, 0? ∪ ? 0, 4?

C. ? ??, ? 4? ∪ ? 4, + ?? 参考答案:A

??4, 0? ∪ ?4, + ??
) . D. 0

6. 已知函数 f ( x) = log3 (8x +1) ,那么 f (1)等于( A. 2 参考答案:A 7. 如果 f ( x) ? x ? B. log310 C. 1

1 ,那么对任意不为零的实数 x 恒成立的是( x

) .

A. f ( x ) ? f ( ? x )

B. f ( x ) ? f ?

?1? ? ? x?

C. f ( x ) ? ? f ? 参考答案:C

?1? ? ? x?

D. f ( x) ? f ?

?1? ??0 ? x?

8. 设集合 A ? ?a, b, c? , B ? ?0, 1? 则从 A 到 B 的映射共有( A. 6 个 参考答案:C B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个

) .

9. 函数 f (x) = 的图象是( ) . x y y 1。 -1 O x O

x

y 1。

y 1 x

。 -1

1

x

O 。 -1



O -1

x

A. C. B. 参考答案:C 10. 下列函数中,与函数 y = x ( x≥0 ) 有相同图象的一个是( A. y = x 2 C. y = 3 x 3 参考答案:B B. y = ( D. y =

D. ) .

x )2

x2 x

11.在同一坐标系中,函数 y = 2 与 y = ( ) 的图象之间的关系是( A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y = x 对称 参考答案:A 12. 下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( ) . 2 2 A. y = -x B. y = x -2

x

1 2

x

) .

?1? C. y = ? ? ?2?
参考答案:B

x

D. y =log2

1 x

13. 函数 y = log 1 (? x) 是(
2

) .

A.区间(-∞,0)上的增函数 B.区间(-∞,0)上的减函数 C.区间(0,+∞)上的增函数

D.区间(0,+∞)上的减函数 参考答案:A 14.下列函数中为偶函数的是( A. f ( x) ? x ? x ?1
2

) . B. f ( x) ? x ∣x∣ D. f ( x) ?

C. f ( x ) ? lg 参考答案:D

1? x 1? x

2 x ? 2? x 2

15. 函数 y = log 1 x (x∈R 且 x≠0) 为(
3

) .

A.奇函数且在(-∞,0)上是减函数 B.奇函数且在(-∞,0)上是增函数 C.偶函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 参考答案:C

?1? 16. 如果函数 f ( x) ? ? ? ?2?

x

(?? ? x ? ??) ,那么函数 f ( x) 是(

) .

A.奇函数,且在(-∞,0)上是增函数 B.偶函数,且在(-∞,0)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 D.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 参考答案:D 17. 设函数 f ( x) ? a
?x

(a ? 0) ,且 f (2) ? 4 , 则(
B. f (1) ? f (2)

) .

A. f (?1) ? f (?2) C. f (2) ? f (?2) 参考答案:D

D. f (?3) ? f (?2)

18. 已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x2 ? (m ? 2) x ? (m2 ? 7m ? 12) 为偶函数,那么 m 的值是 ( ) . A. 1 参考答案:B B. 2 D. 4

C. 3

19. 如果函数 y = -a x 的图象过点 ? 3, ?

? ?

1? ? ,那么 a 的值为( 8?
C. -

) .

A. 2 参考答案:D

B. - 2

1 2

D.

1 2

2 1 log 3 27 20. 实数 3 - 2 2 ·log 2 +lg4+2lg5 的值为( 8

) . C. 10 D. 20

A. 2 参考答案:D

B. 5

21. log 2 25 ? log3 4 ? log5 9 的值为( A. 6 参考答案:B B. 8

) . C. 15 D. 30

22. 设 a ? log0.5 6.7 , b ? log2 4.3 , c ? log2 5.6 ,则 a,b,c 的大小关系为( A. b < c < a C. a < b < c 参考答案:C 23. 设 log a B. a < c < b D. c < b < a

) .

2 ? 1 (0 ? a ? 1) ,则 a 的取值范围是( 3

) .

A. ?

?2 , ?3

? 1? ?

B. (0, 1)

C. ? 0,

? ?

2? ? 3?

D. ? 0,

? ?

2? 3? ?

参考答案:C 24. 如果函数 f ( x) ? loga x (a ? 1) 在区间 [ a, 2a ] 上的最大值是最小值的 3 倍, 那么 a 的 值为( ) . B. 3 C. 2 D. 3

A. 2

参考答案:A 25. 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售时,每天可销售 100 件,现在他采 用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高 1 元,销售量就要减 少 10 件,如果使得每天所赚的利润最大,那么他将销售价每件定为( ) . A. 11 元 B. 12 元 C. 13 元 D. 14 元 参考答案:D 26. 如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点, 那么 m 的取值范围是 (
2

) .

A. ? ?2, 6? C. ??2, 6? 参考答案:D

B. ? ?2, 6? D. ? ??, ?2? ? ? 6, ???

27 . 设 f ? x ? ? 3x ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3x ? 3x ? 8 ? 0 在 ?1, 2? 内近似解的过程中得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, f ?1.75? ? 0, 则方程的根落在区间(
A. (1, 1.25) B. (1.25, 1.5) C. (1.5, 1.75)

) .

D. (1.75, 2)

参考答案:B 28. 如图,一个空间几何体正视图(或称主视图)与 侧视图(或称左视图)为全等的等边三角形,俯视图为一 个半径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( ) . A. ? B. 3? C. 2? D. ? ? 3

正视图

侧视图

参考答案:B 29.如图,一个空间几何体的正视图(或称主视图)、 侧视图(或称左视图)、俯视图均为全等的等腰直角三角

俯视图

形,如果直角三角形的斜边长为 2 ,那么这个几何体的体积为( A.1 参考答案:D 30.已知某个几何体的三视图(正视图或称 主视图,侧视图或称左视图)如右图,根据图中 标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体 积是( ) . A. 20 正视图
10 10

) .

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

20 20 侧视图

4000 3 cm 3
3

B.

8000 3 cm 3
3

C. 2000cm

D. 4000cm

参考答案:B 31. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

20 俯视图

) .

(1) A.(1) (2) 参考答案:D

(2) B.(1) (3)

(3) C.(1) (4)

(4) D.(2) (4)

32. 如果正三棱锥的所有棱长都为 a ,那么它的体积为( A.

) . D.

2 3 a 12

B.

3 3 a 12

C.

2 3 a 4

3 3 a 4
) .

参考答案:A 33. 如果棱长为 2cm 的正方体的八个顶点都在同一个球面上,那么球的表面积是( A.8π cm2 B.12π cm2 2 C.16π cm D.20π cm2 参考答案:B 34. 如果点 A 在直线 a 上,而直线 a 又在平面 ? 内,那么可以记作( ) . A. A ? a ? ? B. A∈a ? ? C. A ? a∈ ? D. A∈a∈ ? 参考答案:B 35. 以下命题正确的有( ) .



a // b ? a ??? ? ? b ? ? ;② ? ? a // b ; a ??? b ?? ? a ??? a // ? ? ? ? b // ? ;④ ??b ?? . a?b? a ? b?
C. ② ③ ④ ) . D. ① ② ④



A. ① ② B. ① ② ③ 参考答案:A 36. 在下列命题中,假命题是(

A.如果平面 ? 内的一条直线 l 垂直于平面 ? 内的任一直线,那么 ? ⊥ ? B.如果平面 ? 内的任一直线平行于平面 ? ,那么 ? ∥ ? C.如果平面 ? ⊥平面 ? ,任取直线 l ? ? ,那么必有 l ⊥ ? D.如果平面 ? ∥平面 ? ,任取直线 l ? ? ,那么必有 l ∥ ? 参考答案:C 37. 在空间中,下列命题正确的是( ) . A.如果直线 a∥平面 M,直线 b⊥直线 a,那么直线 b⊥平面 M B.如果平面 M∥平面 N,那么平面 M 内的任一条直线 a∥平面 N C.如果平面 M 与平面 N 的交线为 a,平面 M 内的直线 b⊥直线 a,那么直线 b⊥平面 N D.如果平面 N 内的两条直线都平行于平面 M,那么平面 N∥平面 M 参考答案:B

38.下列四个命题:

① 在空间中,如果两条直线都和同一个平面平行,那么这两条直线平行; ② 在空间中,如果两条直线没有公共点,那么这两条直线平行; ③ 在空间中,如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行; ④ 如果一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点, 那么这条直线和这个平面平行. 其中正确的个数为( ) . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 参考答案:A

E 是 A1C1 的中点,那么直线 CE 垂直于( 39.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,如果
A. AC B. BD C. A1 D D. A1 D1

) .

参考答案:B 40.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 AC , 且四边形 ABCD 是矩形,则该四棱锥的四个侧面 中是直角三角形的有( ) . A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 参考答案:D 41.过点 P(?1, 3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 参考答案:A 42. 直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A. ) . B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0 ) .

? 6

B.

? 3

C.

2? 3
) .

D.

5? 6

参考答案:D 43. 经过两点A(4,0),B(0,-3)的直线方程是( A. 3x ? 4 y ? 12 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 参考答案:A

B. 3x ? 4 y ? 12 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 12 ? 0

44. 如果两条直线l1: ax ? 2 y ? 6 ? 0 与l2: x ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 平行,那么 a 等于(

) .

A.1 参考答案:B

B.-1

C.2

D.

2 3

45. 如果直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于(

) .

A.1 参考答案:D

B. ?

1 3

C. ?

2 3

D.-2

46. 点A(0, 5)到直线 y ? 2 x 的距离是(

) .

A.

5 2

B. 5

C.

3 2

D.

5 2

参考答案:B 47. 点P(2,5)关于直线 x ? y ? 0 对称的点的坐标是( A.(5,2) 参考答案:C B.(2,-5) ) . D.(-2,-5) ) .

C.(-5,-2)

48. 如果直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称,那么直线 l 的方程为( A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. ?3x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 D. ?3x ? 4 y ? 5 ? 0

参考答案:B 49. 已知入射光线所在直线的方程为 2x-y-4=0,经 x 轴反射,那么反射光线所在直线的方 程是( ) . A. y ? ?2 x ? 4 C. y ? 参考答案:B 50. 经过两条直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 和 3x ? 4 y ? 13 ? 0 的交点,且斜率为 2 的直线方程是 ( ) . A. 2 x ? y ? 7 ? 0 C. 2 x ? y ? 7 ? 0 参考答案:B 51. 如果两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行, 那么它们之间的距离为 ( ) . B. 2 x ? y ? 7 ? 0 D. 2 x ? y ? 7 ? 0 B. y ? ?2 x ? 4 D. y ? ?

1 x ?1 2

1 x ?1 2

A. 4 参考答案:D

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

52.圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(
2 2

) .

A. 2 参考答案:B

B. 1 ? 2

C. 1 ?

2 2

D. 1 ? 2 2

53.圆 x ? y ? 4 x ? 0 在点 P(1,
2 2

3) 处的切线方程为(

) .

A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0

B. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0

参考答案:D 54. 过点 A(2,1)的直线交圆 x2+y2-2x+4y = 0 于 B、C 两点,当|BC|最大时,直线 BC 的方程 是( ) . A. 3x ? y ? 5 ? 0 C. x ? 3 y ? 5 ? 0 B. 3 x ? y ? 7 ? 0 D. x ? 3 y ? 5 ? 0

参考答案:A 55. 已知圆 C:x2+y2-2x+4y+1=0,那么与圆 C 有相同的圆心,且经过点(-2,2)的圆的方程 是( ) . A. ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

B. ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

参考答案:B 56.将两个数 a ? 8, b ? 17 交换,使 a ? 17, b ? 8 ,则下面语句正确的一组是( a=b b=a A. c =b b=a a=c B. b=a a=b C. a=c c =b b=a D. ) .

参考答案:B 57. 以下给出对流程图的几种说法,其中正确说法的个数是( ) . ①任何一个流程图都必须有起止框 ②输入框只能放在开始框后,输出框只能放在结束框之后 ③判断框是唯一一个具有超过一个退出点的符号 A. 0 B. 1 C. 2 D.3 参考答案:C 58. 流程图中表示判断框的是( ) . A. 矩形框 B. 菱形框 C. 圆形框 D. 椭圆形框 参考答案:B 59. 下列函数求值算法中需要条件语句的函数为(

) .

A. f ( x) ? x ?1
2

B. f ( x) ? x ?1
3

? x 2 ? 1 ( x ? 2.5), ? C. f ( x) ? ? 2 ? ? x ? 1 ( x ? 2.5)
参考答案:C 60.右图是某算法流程图的一部分,其 算法的逻辑结构为( ) . A. 顺序结构 B. 判断结构 C. 条件结构 D. 循环结构 参考答案:C 61.如果执行右面的程序框图, 那么输出的 S 等于( ) . A.20 B.90 C.110 D.132

D. f ( x) ? 2

x

r = 0?




n 不是质数

n 是质数

开始

k ?1 S ?0


k ≤ 10?

? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

k ? k ?1

参考答案:C 62. 当 a ? 3 时,下面的程序段输出的结果是( IF a ? 10 THEN

) .

y ? 2?a
y ? a?a
PRINT y A. 9 参考答案:D B. 3 C. 10 D. 6 ELSE

63.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是( A.都是从总体中逐个抽取 B.将总体分成几部分,按事先预定的规则在各部分抽取

) .

C.抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 D.抽样过程中,将总体分成几层,按比例分层抽取 参考答案:C 64.一个单位有职工 160 人,其中有业务员 104 人,管理人员 32 人,后勤服务人员 24 人, 要从中抽取一个容量为 20 的样本, 用分层抽样的方法抽取样本, 则在 20 人的样本中应抽取 管理人员的人数为( ) . A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 参考答案:B 65.要从已编号(1~60)的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽 6 枚来进行发射试验,用 每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是( ) . A. 5,10,15,20,25,30 B.3,13,23,33,43,53 C. 1,2,3,4,5,6 D.2,4,8,16,32,48 参考答案:B 66. 用样本的频率分布来估计总体情况时,下列选项中正确的是( ) . A. 估计准确与否与样本容量无关 B. 估计准确与否只与总体容量有关 C. 样本容量越大,估计结果越准确 D. 估计准确与否只与所分组数有关 参考答案:C 67. 某住宅小区有居民 2 万户,从中随机抽取 200 户,调查是否已安装电话,调查结果如 下表所示: 电 话 动 迁 户 65 40 原 住 户 30 65 D. 9 500 户 已安装 未安装

则该小区已安装电话的住户估计有( ) . A. 6 500 户 B. 3 000 户 C. 19 000 户 参考答案:D 68. 设有一个回归方程 y ? 2 ? 1.5 x ,当变量 x 增加一个单位时( A. y 平均增加 1.5 个单位 C. y 平均减少 1.5 个单位 参考答案:C
?

) .

B. y 平均增加 2 个单位 D. y 平均减少 2 个单位

69.一个盒子中装有 3 个完全相同的小球,分别标以号码 1,2,3,从中任取一球,则取出 2 号球的概率是( A. ) . B.

1 6

1 4

C.

1 3

D.

1 2

参考答案:C

70. 如果 ? =-21°,那么与 ? 终边相同的角可以表示为( A.

) .

??

? ? k ? 360? ? 21? , k ? ??

B.

??

? ? k ? 360? ? 21? , k ? ??

C.

??

? ? k ?180? ? 21? , k ? ??

D.

??

? ? k ?180? ? 21? , k ? ??

参考答案:B 71. 一个角的度数是 405 ,化为弧度数是( A.
?

) .

83 ? 36

B.

7 ? 4

C.

13 ? 6

D.

9 ? 4

参考答案:D 72. 下列各数中,与 cos1030°相等的是( ) . A. cos50° B. -cos50° C. sin50° D. - sin50° 参考答案:A 73. 已知 x∈[0,2π],如果 y = cosx 是增函数,且 y = sinx 是减函数,那么( ) . A.

0≤ x≤

? 2
3? 2

B.

? ≤ x≤? 2
3? ≤ x ≤ 2? 2

C.

? ≤ x≤

D.

参考答案:C 74. cos1,cos2,cos3 的大小关系是( A. cos1>cos2>cos3 C. cos3>cos2>cos1 参考答案:A 75. 下列函数中,最小正周期为 ? 的是( A. y ? cos 4 x C. y ? sin 参考答案:B

) . B. cos1>cos3>cos2 D. cos2>cos1>cos3 ) . B. y ? sin 2 x D. y ? cos

x 2

x 4

(? 40 ) 76. tan , tan38 , tan56 的大小关系是(
? ? ?

) .
? ? ?

( ? 40 ) ? tan38 ? tan56 A. tan
? ? ? ? ?

?

( ? 40 ) ? tan56 B. tan38 ? tan
? ?

(? 40 ) C. tan56 ? tan38 ? tan
参考答案:C 考查内容: y ? tan x 的图象,正切函数在区间 ? ?

( ? 40 ) ? tan38 D. tan56 ? tan

?

? π π? , ? 上的性质 ? 2 2?
) .

77. 如果 sin ? ?

? 5 , ? ? ( , ? ) ,那么 tan ? 等于( 2 13

A. ?

5 12

B.

5 12

C. ?

12 5

D.

12 5

参考答案:A 78. 函数 y ? 5 sin( 2 x ? A. x ? ? 参考答案:C 79. 函数 y = sin ? 3x ?

?
6

) 图象的一条对称轴方程是(
C. x ?

) .

?
12

B. x ? 0

?
6

D. x ?

?
3

? ?

??

? 的图象是中心对称图形,它的一个对称中心是( 4?
B. ? ?

) .

A. ? ?

? ? ? , 0? ? 12 ?

? 7? ? , 0? ? 12 ? ? 11? ? , 0? ? 12 ?

C. ?

? 7? ? , 0? ? 12 ?

D. ?

参考答案:B 80. 要得到函数 y = sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象,只要将函数 y = sin2x 的图象( 3?
B. 向右平移

) .

A. 向左平移

? 个单位 3

? 个单位 3 ? 个单位 6

C. 向左平移 参考答案:C 81. 已知 tan ? =

? 个单位 6

D. 向右平移

3 ( 0 < ? < 2 ? ),那么角 ? 等于( 3
B.

) .

A.

? 6

? 7? 或 6 6 ? 3

C.

? 4? 或 3 3

D.

参考答案:B 82. 已知圆 O 的半径为 100cm,A, B 是圆周上的两点, 且弧 AB 的长为 112cm, 那么 ?AOB 的度数约是( A. 64
?

) . (精确到 1 ) B. 68
?

?

C. 86

?

D. 110

?

参考答案:A 83. 如图, 一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈. 记 水轮上的点 P 到水面的距离为 d 米(P 在水面下则 d 为负数) ,如果 d ( 米 ) 与 时 间 t ( 秒 ) 之 间 满 足 关 系 式 :

P
10m d 5m

? ?? ? d ? A sin ??t ? ? ? ? k ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ? ,且当 P 点 2 2? ?
从水面上浮现时开始计算时间,那么以下结论中错误的是( A. A ? 10 参考答案:C B. ? ? ) .

2? 15

C. ? ?

? 6

D. k ? 5

84. 小船以 10 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 10km/h. 则 小船实际航行速度的大小为( A. 20 2 km/h C. 10 2 km/h ) . B. 20 km/h D. 10km/h ) . D C B

参考答案:B 85. 如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中正确的是( A. AB ? CD C. AD ? AB ? AC 参考答案:C 86.

??? ?

??? ?

B. AB ? AD ? BD

??? ? ????

??? ?

???? ??? ?

??? ?

D. AD ? BC ? 0

???? ??? ?

A

1 (2a ? 6b) ? 3b 等于( 2

) .

A. a ? 2 b B. a ? b C. a D. b 参考答案:C 87.如果 c 是非零向量,且 a ? ?2c , 3b ? c ,那么 a 与 b 的关系是( ) . A.相等 B.共线 C.不共线 D.不能确定 参考答案:B 88. 如图,D 是△ ABC 的边 AB 的中点, 则向量 CD 等于 ( A. ? BC ? ) .
D B A

1 BA 2

B. ? BC ?

1 BA 2

C

C. BC ?

1 BA 2

D. BC ?

1 BA 2
) .

参考答案:A 89.已知 e1,e2 是不共线向量,a=e1+ ? e2,b=2e1-e2,当 a∥b 时,实数 ? 等于(

A. ? 1 参考答案:C

B. 0

C. ?

1 2

D. ? 2

90. 已知向量 a ? (4, ? 2) ,向量 b ? ( x, 5) ,且 a // b ,那么 x 的值等于( C. ?

) .

A. 10 参考答案:D 91. 已知 A(?2, 1), A. ( ?

B. 5

5 2

D. ?10

B(1, 3) ,那么线段 AB 中点的坐标为(
B. ( 2, ? )

) .

1 , 2) 2

1 2

C. (3, 2)

D. ( 2, 3)

参考答案:A 92. 已知 a ? (3, 4) ,且 a ? b ? 10 ,那么 b 在 a 方向上射影的数量等于( A. ? 2 参考答案:B B. 2 C. ? 3 ) . D. 3

93. 已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A ( ? 1, 0) , B (1, 2) , C (0, c) ,且 AB ? BC , 那么 c 的值是( A. ? 1 参考答案:D ) . B. 1 C. ?3 D. 3

??? ?

??? ?

94. 已知 A(2, 1), B( ?3, ? 2), AM ?

???? ?

? 2 ??? AB ,那么点 M 的坐标是( 3
B. ( ?

) .

A. ( ? , ? )

1 2

1 2

4 , ? 1) 3
1 5

C. ( , 0) 参考答案:B

1 3

D. (0, ? )

95. 在△ABC 中, AB ? a , AC ? b ,如果 | a |?| b | ,那么△ABC 一定是( A. 等腰三角形 C. 直角三角形 B. 等边三角形 D. 钝角三角形

??? ?

??? ?

) .

参考答案:A 96. 有以下四个命题: ①如果 a· b = b· c 且 b≠0,那么 a = c; ②如果 a· b = 0,那么 a = 0 或 b = 0;

③△ABC 中,如果 AB ·BC > 0,那么△ABC 是锐角三角形; ④△ABC 中,如果 AB ·BC = 0,那么△ABC 为直角三角形. 其中正确命题的个数是( ) . A. 0 B. 1 C. 2 参考答案:B 97. 已知 a、b 是两个单位向量,那么下列命题中的真命题是( A. a = b B. a· b=0 C. |a· b| < 1 D. a2 = b2 参考答案:D 98. sin 70 sin 65 ? sin 20 sin 25 等于(
? ? ? ?

D. 3 ) .

) .

A.

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D. ?

2 2

参考答案:C 99. cos79 cos34 ? sin 79 sin 34 等于(
? ? ? ?

) .

A.

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.1

参考答案:C 100. 如果 tan ? ? 3 , tan ? ?

4 ,那么 tan(? ? ? ) 等于( 3
C. ?

) .

A. ? 3

B. 3

1 3

D.

1 3

参考答案:D 101. 函数 y = sin2x+cos2x 的值域是( A.[-1,1] C.[-1, 2 ] 参考答案:D 102. 已知 sin ? =-

) . B. [-2,2] D.[- 2 , 2 ]

3 ,270°< ? <360°,那么 sin 2? 的值是( 3
B. -

) .

A.

2 2 3 3 8

2 2 3 3 8

C. -

D.

参考答案:B 103. 函数 y = cos4x-sin4x 的最小正周期是( A. 4 ? C.

) . B. 2 ? D.

?

? 2

参考答案:C 104. 函数 y = sin2xcos2x 是( A. 周期为

) . B. 周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

C. 周期为 ? 的奇函数 参考答案:A 105. 函数 y =cos2x+ sinx 的最大值是( A. 2 C.

D.周期为 ? 的偶函数 ) . B. 1 D.

2

9 8

参考答案:D 106. 函数 y = A. 4 ? C.

1 2 sin 2x 的最小正周期是( 2

) . B. 2 ? D.

?

? 2

参考答案:D 107. 已知 sin

? ? 3 +cos = ,且 cos ? < 0,那么 tan ? 等于( 2 2 3
B. -

) .

A.

2 2 2 5 5

2 2 2 5 5

C.

D. -

参考答案:C 108. 如果 f ( x)sin x 是周期为 ? 的奇函数,那么 f ( x ) 可以是( A. sin x C. sin 2 x 参考答案:B 109. 将函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a ? ( ? B. cos x D. cos 2 x ) .

?
6

, 1) 平移后,所得图象对应的函数解析式是



) . A. y ? sin( 2 x ?

?
3

) ?1

B. y ? sin( 2 x ?

?
3

) ?1

C. y ? sin( 2 x ? 参考答案:A

?
6

) ?1

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

) ?1

110. 在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,且 a = 3 +1,b = 2,c = 2 , 那么∠C 的大小是( ) . A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 参考答案:A 111. 在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,已知三个内角度数之比 ∠A : ∠B : ∠C = 1:2:3,那么三边长之比 a:b:c 等于( ) . A. 1: 3 :2 C. 2: 3 :1 B. 1:2:3 D. 3:2:1

参考答案:A 112. 在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a = 2bcosC,那么这个三 角形一定是( ) . A.等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 参考答案:C 113. 在△ ABC 中, ∠A、 ∠B、 ∠C 所对的边分别为 a、 b、 c, 如果 a ? b ? c ? 0 , 那么△ ABC
2 2 2

是(

) . A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 参考答案:D 114. 数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,?的一个通项公式是( ) . A.

(?1) n ? 1 2

n?
B. cos 2 C. cos

( n ? 1)? 2

D. cos

( n ? 2)? 2

参考答案:D 115. 设函数 f ( x ) 满足 f (n ? 1) ?

2 f ( n) ? n ) ( 2? , 且 f1 那么 f (20) 为 ( (n ? N* ) , 2
C.105 D.192

) .

A.95 B.97 参考答案:B 116. 历届现代奥运会安排时间表如下: 年份 1896 年 1900 年

1904 年



2008 年

届数

1

2

3



n

则 n 的值为 ( ) . (注:因战争停办的现代奥运会也记数在内,例如在 1916 年,因一战 停办第 6 届现代奥运会,在 1920 年举办第 7 届现代奥运会) A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 参考答案:C 117. 已知一个等差数列的第 5 项等于 10,前 3 项的和等于 3,那么( ) . A.它的首项是-2,公差是 3 B.它的首项是 2,公差是-3 C.它的首项是-3,公差是 2 D.它的首项是 3,公差是-2 参考答案:A 118. 在等差数列{an}中, 已知 a5 = 8, 前 5 项的和 S5=10, 那么前 10 项的和 S10 等于 ( ) . A.95 B.125 C.175 D.70 参考答案:A 119. 在数列{an}中,已知前 n 项的和 Sn = 4n2-n,那么 a100 等于( ) . A.810 B.805 C.800 D.795 参考答案:D 120. 已知数列{an}中,an+1 =

3an ? 2 ? ( n∈ ? ),且 a3+a5+a6+a8=20,那么 a10 等于( 3
C.

) .

A.8 参考答案:A

B.5

26 3

D.7

121.数列{an}中, 如果 an+1 =

1 * an (n∈ N ), 且 a1 = 2, 那么数列的前 5 项的和 S5 等于 ( 2 31 8
C.

) .

A.

31 8

B. -

31 32

D.-

31 32

参考答案:A 122. 数列{an}的通项公式为 an=2n-49,当 Sn 达到最小时,n 等于( A. 23 B.24 C.25 D.26 参考答案:B 123. 如果三个数 3 -1,x , 3 +1 成等比数列,那么 x 等于( A. 2 B.

) .

) . D.±2 ) .

2

C.± 2

参考答案:C 124. 如果数列的前 n 项和 Sn = a1+a2+a3+?+an 满足条件 log2Sn = n,那么{an}( A. 是公比为 2 的等比数列 C. 是公差为 2 的等差数列 B.是公比为

1 的等比数列 2

D.既不是等差数列,也不是等比数列

参考答案:D 125. 已知 a、b、c、d 是公比为 2 的等比数列,那么

2a ? b 的值等于( 2c ? d
D.1

) .

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

参考答案:A 126. 在等比数列{an}中,如果 a3· a4 = 5,那么 a1· a2· a5· a6 等于( ) . A. 25 B.10 C. -25 D.-10 参考答案:A 127.如果公差不为零的等差数列的第二、 第三、 第六项构成等比数列, 那么其公比为 ( A. 1 B.2 C. 3 D.4 参考答案:C 128. 在等比数列{an}中,如果 a2 ? 9, a5 ? 243 ,那么{an}的前 4 项和为( A. 81 参考答案:B B. 120 ) . B. ?x ?2 ? x ? 3? D. ?x ?3 ? x ? 2? C. 168 D. 192 ) .

) .

129. 不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 的解集为( A. x x ? ?2或x ? 3 C. x x ? ?3或x ? 2 参考答案:A

?

?

?

?

130.如果 a ? b ,那么下列不等式一定成立的是( A. a ? c ? b ? c B. c ? a ? c ? b

) . D. a ? b
2 2

C. ? 2a ? ?2b

参考答案:A 131.对于任意实数 a 、 b 、 c 、 d ,下列命题: ① 如果 a ? b , c ? 0 ,那么 ac ? bc ; ③ 如果 ac 2 ? bc 2 ,那么 a ? b ; 其中真命题为( A. ① 参考答案:C ) . B. ② C. ③ D. ④ ② 如果 a ? b ,那么 ac 2 ? bc 2 ; ④ 如果 a ? b ,那么

1 1 ? . a b

132. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km,那么在 8 天内它的行程就超过 2200 km;如果它每天行驶的路程比原来少 12 km,那么它行驶同样的路程得花 9 天多的时间, 这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是( ) . A.256<x<260 B.x>136 C.136<x<260 D.x<260 参考答案:A

133. 如果 a > b > 0,m > 0,那么下列不等式中一定成立的是(

) .

b b?m ? a a?m b b?m C. ? a a?m
A.

a a?m ? b b?m a a?m D. ? b b?m
B. ) . D. ( 2,0)

参考答案:C 134. 在下列各点中,不在 不等式 2 x ? 3 y ? 5 表示的平面区域内的点为( .. A. (0,1) 参考答案:C B. (1,0) C. (0,2)

? x ? y ? 2 ? 0, ? 135. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是( ?x ? 2 ?
A. 4 2 B. 4 C. 2 2 D. 2

) .

参考答案:B 136.某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜,每种组合柜的制造白坯时间、油漆时间如 下表: 型号甲 型号乙 生产能力 (台/天) 制白坯时间(天) 油漆时间(天) 6 8 12 4 120 64 ) .

设该公司安排甲、乙二种柜的日产量分别为 x , y ,则 20x ? 24 y 的最大值为( A. 272 参考答案:A B. 271 C. 270 D. 269

137. 如果 x > 0,那么函数 y = x +

1 的值域是( x

) .

A. C.

? ??, ? ??,

? 2? ? 2? ∪ ? 2, ? ? ?

B. D.

?2,

? ??

? ?2, 2?

参考答案:B 138. 如果 x≠0,那么函数 y = 4-

6 -3x2 有( 2 x

) .

A. 最大值 4- 6 2 C. 最大值 4+ 6 2 参考答案:A 139. 如果 a >b>1,A = lg a lg b ,B =

B. 最小值 4- 6 2 D. 最小值 4+ 6 2

a?b 1 (lg a ? lg b) ,C = lg ,那么( 2 2

) .

A. C < A < B B. A < B < C C. B < A < C D. A < C < B 参考答案:B 140. 用一条长 6 米的木料,做成长方形的窗户框,如果要求窗户面积不超过 2 平方米,且 木料无剩余,那么窗户宽 x 的取值范围是( ) . A. 0 ? x ? 1 B. 0 ? x ? 0.5 C. 0 ? x ? 1 . 5 D. 0 ? x ? 2 参考答案:A 二、填空题 1.设集合 U ={-2,-1,1,3,5} ,集合 A ={-1,3} ,那么 ? U A = 参考答案: {-2,1,5} 2.函数 y = 2 ? x 的定义域是 参考答案:[-2,2] 3.如果方程 x ? 3ax ? 2a ? 0 的一根小 1,另一根大于 1,那么实数 a 的取值范围是_______.
2 2





参考答案: ( , 1) 4. 函数 y = log 2(3 x - 2) 的定义域为__________.
3

1 2

参考答案: ( , 1] 5.已知 f ? x ? ? 2x ? ax ? b ?1 是奇函数,那么 ab ? __________.
3 2

2 3

参考答案:0

? x ? 1 ( x ? 0), ? ( x ? 0), 如果 f ( x0 ) = 3,那么 x0=__________. 6. 已知 f ( x ) = ?? ? x2 ( x ? 0), ?
参考答案:2,- 3 7.如果三个球的表面积之比是 1 : 2 : 3 ,那么它们的体积之比是__________. 参考答案: 1: 2 2 : 3 3 8.已知 a, b 是两条异面直线, c // a ,那么 c 与 b 的位置关系__________.

参考答案:异面或相交 9.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,∠BAC=90°, F 是 AC 的中点,E 是 PC 上的点,且 EF⊥BC,则

P E

PE =_____. EC
A B F

C

参考答案:1

10 . 圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 __________. 参考答案:6 2 11.已知直线 l1: x+2y+1= 0 与直线 l2: 4x+ay-2= 0 垂直, 那么 l1 与 l2 的交点坐标是__________. 参考答案:(

1 3 ,- ) 5 5
2 2

12. 经过点 M(2,1),并且与圆 x ? y ? 6x ? 8 y ? 24 ? 0 相切的直线方程是__________. 参考答案:4x-3y-5=0,x=2 13.直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x ? y ? 6x ? 2 y ? 15 ? 0 所截得的弦长等于__________.
2 2

参考答案: 4 5
2 2 14.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3 ,那么

y 的最大值是__________. x

参考答案: 3 15.图中所示的是一个算法的流程图,已知 a1 ? 3 , 输出的 b ? 7 ,那么 a2 的值是__________. 参考答案:11 16. 二进制数 111.11(2) 转换成十进制数是__________. 参考答案:7.75

17. 观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在 ? 2700, 3000? 的频率为__________. 频率/组 距

0.0 01

2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重 参考答案:0.3 18.甲,乙两人在相同条件下练习射击,每人打 5 发子弹,命中环数如下

O

甲 乙

6 10

8 7

9 9

9 7

8 7

“如果选择甲、乙二人中的一个去参加比赛,你应选择__________” 参考答案:甲 19.如果同时抛掷两枚质地均匀的硬币,那么出现两个正面朝上的概率是__________. 参考答案:

1 4

20.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,那么发 现草履虫的概率是__________. 参考答案:0.004 21. sin(-

19? )的值等于__________. 6
1 2

参考答案:

22. 如果

? 3 ?? ? < θ < π,且 cosθ = - ,那么 sin ? ? ? ? 等于__________. 2 5 3? ?
4?3 3 10

参考答案:

23.已知角 ? 的终边过点 P(4, ? 3) ,那么 2 sin ? ? cos ? 的值为__________. 参考答案: ?

2 5

24.

1 ? tan75? 的值等于__________. 1 ? tan75?

参考答案: ? 3 25. 函数 y = sin(

1 ? x + )在[-2π,2π]内的单调递增区间是__________. 2 4

参考答案:[-

3? ? , ] 2 2

26. 已知 sin ? +cos ? =

3 ,那么 sin 2? 的值是__________. 5

参考答案:-

16 25

27. 函数 y = sinx - 3 cosx 的最小正周期是__________. 参考答案: 2? 28. 已知 x ? ( ?

? 4 , 0) , cos x ? ,那么 tan2x 等于__________. 2 5

参考答案: ?

24 7

29. 如果函数 y = cos2 ? x-sin2 ? x 的最小正周期是 4 ? ,那么正数 ? 的值是__________. 参考答案:

1 4

30. 如果 |a|=1,|b|=2,c = a + b,且 c⊥a,那么向量 a 与 b 夹角的大小是__________. 参考答案:120° 31.已知|a|=4,|b|=5,a 与 b 的夹角为 60 ,那么|3a -b|=__________. 参考答案: 109 32. 在△ ABC 中,AB = 4,BC = 6,∠ABC = 60°,那么 AC 等于__________. 参考答案:2 7 33. 在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,如果 a = 8,∠B = 60°,∠C = 75°, 那么 b 等于__________. 参考答案: 4 6 34. 已知数列{an}满足 an+1 = an+2,且 a1 = 1,那么它的通项公式 an 等于__________. 参考答案:2n-1 35. 在等差数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4+a5 =15,那么 a3 等于__________. 参考答案:3 36. 设 a、b、c 成等比数列,且 0 < a < b,如果 a + c = 参考答案:2 37. 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an , an?1 ) (n ? N*)在函数 y =x2+1 的 图象上,那么数列{an}的通项公式是__________. 参考答案:an =n
?

5 b,那么公比为__________. 2

? x …0, ? 38. 当 x、y 满足条件 ? y ? x, 时,目标函数 z = x+3y 的最大值为__________. ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
参考答案:12 39.如果 a、b∈(0,+∞), a ? b 且 a ? b ? 1 ,那么 参考答案:(4,+∞) 三、解答题 【中等题】 1、求 (lg 2) ? lg 2 ? lg 5 ?
2

1 1 ? 的取值范围是__________. a b

log3 5 的值. log3 10

参考答案:原式 ? lg 2(lg 2 ? lg 5) ? lg 5

? l g 2? l g 1? 0 ?lg 2 ? lg 5 ?lg10
?1.

lg 5

2. 有一批材料长度为 200m ,如果用材料在一边 靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料 隔成三个面积相等的矩形(如图) ,则围成的矩形的 最大面积是多少? 参考答案:设每个小矩形长为 x (m) ,宽为 y (m) ,则 4 x ? 3 y ? 200 . 所以 S ? 3xy ? x(200 ? 4 x) = ?4 x ? 200 x = ?4( x ? 25)2 ? 2500 ,其中
2

0 ? x ? 50 .
所以当 x ? 25 时, Smax ? 2500(m ) .
2

8 参考答案: 由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩 形,正侧面及其相对侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三角形,左、右侧面均

3. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正 视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三 角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

6

为底边长为 6,高为 h2 的等腰三角形. (1)几何体的体积为为 V ?

1 1 S矩形 h ? ? 6 ? 8 ? 4 ? 64 . 3 3
42 ? 32 ? 5 ,

(2)正侧面及相对侧面底边上的高为: h1 ? 左、右侧面的底边上的高为: h2 ? 故几何体的侧面面积为:S = 2×(

42 ? 42 ? 4 2 .

1 1 ×8×5+ ×6×4 2 ) ? 40 ? 24 2 . 2 2
C1
?

4. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 A1 A 垂直于 底面 ABC , A1 A ? 2 , AC ? CB ? 1 , ?BCA ? 90 , A1 N

B1

M 、 N 分别是 AB 、 A1 A 的中点.
(1)求 BN 的长; (2)求证: A1 B ? CM .

C A M

B

? 参考答案: (1)因为 ?BCA ? 90 , AC ? CB ? 1 ,所以 AB? 2 .

因为 A1 A ? 底面 ABC ,且 AB ? 底面 ABC , 所以 A1 A ? AB .又 A1 A ? 2 , N 是 A1 A 的中点, 所以 NA ? 1 .所以 BN ? 1 ? 2 ? 3 . (2)在△ ABC 中,因为 AC ? CB , M 是 AB 的中点, 所以 CM ? AB . 又 A1 A ? 底面 ABC ,且 CM ? 底面 ABC ,所以 A1 A ? CM . 因为 A1 A ? AB ? A ,所以 CM ? 平面 ABB1 A1 . 又 A1 B ? 平面 ABB1 A1 ,所以 A1 B ? CM .

5. 如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于 圆 O 所在的平面, C 是圆周上不同于 A 、 B 的 任意一点. (1)求证: BC ⊥平面 PAC ; (2)求证:平面 PAC ⊥平面 PBC .

P

A

CO ?

B

参考答案: (1)因为 PA ⊥平面 ABC , 且 BC ? 平面 ABC , 所以 PA ? BC .又△ ABC 中, AB 是圆 O 的直径, 所以 BC ? AC .又 PA ? AC ? A , 所以 BC ⊥平面 PAC . (2)由(1)知 BC ⊥平面 PAC , 又 BC ? 平面 PBC ,所以,平面 PAC ⊥平面 PBC . 6. 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是 正方形,侧棱 A1 A ? 底面 ABCD , E 为 A1 A 的中点. E 求证: AC ∥平面 EBD . 1 参考答案:连接 AC ,设 AC ? BD ? F ,连接 EF , 因为底面 ABCD 是正方形,所以 F 为 AC 的中点. 又 E 为 A1 A 的中点,所以 EF 是△ A1 AC 的中位线. A1 所以 EF ∥ AC .因为 EF ? 平面 EBD , 1 ∥平面 EBD . AC ? 平面 EBD ,所以 AC 1 1 E D A
F

D1 A1 B1

C1

D A D1 B1 B

C

C1

C B

7. 已知平面上的四个点 A、B、C、D , 其中 A(?2, 0) ,B(2, 0) ,D( x, y) , 如果 AC ? 2 ,

????

???? 1 ??? ? ???? AD ? ( AB ? AC ) . 2
求证: x ? y ? 1 .
2 2

参考答案:设点 C 的坐标为 C ( x0 , y0 ) .则 AC ? ( x0 ? 2, y0 ) , AB ? (4, 0) . 则 AB ? AC ? ( x0 ? 6, y0 ) . 因为 AD =

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? ???? ? x ???? 1 ??? ( AB ? AC ) ? ? 0 ? 3, 2 ? 2

???? y0 ? ,且 AD ? ( x ? 2, y) , ? 2?

? x0 ? 2 ? 3 ? x ? 2, 故? ? ? y0 ? y. ? ?2
得 x ? y ? 1.
2 2

解得 ?

???? ? x0 ? 2 x ? 2, 2 代入 AC ? ( x0 ? 2)2 ? y0 ?2, y ? 2 y . ? 0

8. 已知圆 C 同时满足下列三个条件: ① 与 y 轴相切; ② 在直线 y ? x 上截得弦长为 2 7 ; ③ 圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,求圆 C 的方程. 参考答案:设所求的圆 C 与直线 y ? x 交于 A 、 B 两点, 因为圆心 C 在直线 x ? 3 y ? 0 上,所以设圆心坐标为 C (3a, a) . 又圆 C 与 y 轴相切,所以圆的半径 r ? 3 | a | . 从而圆心 C 到直线 x ? y ? 0 的距离为 | CD | ? 又 | AB |? 2 7 , | BD |? 7 , 在 Rt△ CBD 中,由 | BD | ? | CD | ? r ,
2 2 2

3a ? a 2

= 2a .

解得 a2 ? 1,

a ? ?1 .

所以圆心的坐标为 C (3,1) 或 C (?3, ?1) . 故所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 9 或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 .
2 2 2 2

9.用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324, 243, 135 的最大公约数. 参考答案:因为 324=243?1+81,243=81?3+0, 所以 324 与 243 的最大公约数为 81. 又 135=81?1+54,81=54?1+27,54=27?2+0, 所以 81 与 135 的最大公约数为 27. 所以三个数 324,243,135 的最大公约数为 27. 10.用三种不同颜色给图中的 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种,求: (1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率.

参考答案:按涂色顺序记录结果为(x,y,z) ,由于是随机涂色,所以 x,y,z 各有 3 种不 同的涂法,故所有基本事件共有 27 种. (1)三个矩形颜色都相同的基本事件有 3 个,所以三个矩形都涂同一种颜色的 概率为

3 1 ? ; 27 9

(2)三个矩形颜色都不同的基本事件有(x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,

z,x) , (z,x,y) , (z,y,x)共 6 个,所以三个矩形颜色都不同的概率为

6 2 ? . 27 9

11.假设某种设备使用的年限 x(年)与所支出的维修费用 y(元)有以下统计资料: 使用年限 x 维修费用 y
5

2 2.2
5

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

参考数据:

? xi ? 90 , ? xi yi ? 112.3 ,
2 i ?1 i ?1

如果由资料知 y 对 x 呈线性相关关系.试求: (1) x, y ; (2)线性回归方程 y ? bx ? a ; (3)估计使用 10 年时,维修费用是多少? 参考答案: (1) x ? 4, y ? 5 .
?

?? (2)由已知可得: b

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

2

i

? 5x

2

=

112.3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 1.23 . 90 ? 5 ? 42

? ? 5 ?1.23? 4 ? 0.08 . ? ? y ? bx 于是 a
? ? 1.23x ? 0.08 . 所求线性回归方程为: y
(3) 由 (2 ) 可得, 当 x ? 10 时,y ? 1.23x ? 0.08 ? 1.23?10 ? 0.08 ? 12.38 (万 元) . 即估计使用 10 年时,维修费用是 12.38 万元. 12.平面上画了一些彼此相距 2 a 的平行线,把一枚 半径为 r (r ? a ) 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不 与任何一条平行线相碰的概率. 2a r M o

参考答案:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件 A,为了确定硬币的位置,由 硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M,如图所示,这样线段 OM 长度 | OM | 的取值范围就是 [0, a ] ,只有当 r ? | OM | ? a 时,硬币不与平行 线相碰,所以所求事件 A 的概率就是 P( A) ?

a?r . a

13.已知 0 ? ? ?

π 4 , sin ? ? . 2 5 (1)求 tan ? 的值;
(2)求 cos 2? ? sin ? ? ?

? ?

π? ? 的值. 2?

参考答案: (1)因为 0 ? ? ?

π 4 3 4 , sin ? ? , 故 cos ? ? ,所以 tan ? ? . 2 5 5 3 32 3 8 ?π ? . ? ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? cos ? ? 1 ? ? ? 25 5 25 ?2 ?

(2) cos 2? ? sin ?

14.在△ ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 4, b ? 5, c ? 61 . (1)求 ? C 的大小; (2)求△ ABC 的面积. 参考答案: (1)依题意,由余弦定理得 cos C ? 解得 ?C ? 120? . (2)如图,过点 A 作 AH 垂直 BC 的延长线于 H, 则 AH = AC ? sin ?ACH = 5sin 60? ? ┌ B C H

42 ? 52 ? ( 61) 2 1 ?? . 2? 4?5 2

A

5 3 . 2
北 120°

所以 S?ABC =

1 1 5 3 BC ? AH = ? 4 ? =5 3 . 2 2 2
D

15.如图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的 北偏东 75 ? 的方向,距离为 12 6 n mile;在 A 处看灯 塔 C 在货轮的北偏西 30 的方向,距离为 8 3 n mile. 货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯塔 B 在北偏东 120 ,求: (1)A 处与 D 处之间的距离; (2)灯塔 C 与 D 处之间的距离.
? ?

C 30° 75° A B

参考答案: (1)在△ ABD 中,由已知得∠ ADB= 60 , B ? 45 .
? ?

AB sin B 由正弦定理得 AD ? = sin ?ADB
(2)在△ ADC 中,由余弦定理得

12 6 ? 3 2

2 2 ? 24 .

CD 2 ? AD2 ? AC 2 - 2 AD ? AC cos 30? .
解得 CD ? 8 3 . 所以 A 处与 D 处之间的距离为 24 n mile,灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3 n mile. 16.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若三边长 a,b,c 依次成等差数列,

sin A : sin B ? 3 : 5 ,求三个内角中最大角的度数.
参考答案:因为在△ABC 中有 sin A : sin B ? 3 : 5 , 所以 a : b ? 3 : 5 . 设 a ? 3k

(k ? 0) ,所以 b ? 5k .
所以 c ? 7 k .

因为 a,b,c 成等差数列, 所以最大角为 C. 因为 cos C ?

(3k )2 ? (5k ) 2 ? (7 k ) 2 1 ?? . 2 ? (3k ) ? (5k ) 2

? 所以 C ? 120 .

17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 S n , a2 ? 2, S5 ? 0 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时, S n 取得最大值.

? a1 ? d ? 2, ? 参考答案: (1)因为 a2 ? 2, S5 ? 0 , 所以 ? 5 ? 4d 5a1 ? ? 0. ? ? 2
解得 a1 ? 4, d ? ?2 . (2)因为 所以 an ? 4 ? ? n ?1? ? ??2 ? ? 6 ? 2n .

Sn ? na1 ?

2 n ? n ? 1? d 5 ? 25 ? ? 4n ? n ? n ?1? ? ?n 2 ? 5n ? ? ? n ? ? ? , 2 2? 4 ?

* 又 n ? N ,所以当 n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最大值 6.

【较难题】

18. 已知函数 f ( x) ? x ?1 ? ax

(a ? R) .

(1)试给出 a 的一个值,并画出此时函数的图象; (2)若函数 f (x) 在 R 上具有单调性,求 a 的取值范围. 参考答案: (1)略 (2)化简 f ( x) ? ? ① a >1 时, 当 x ? ?1 时, f ( x) ? (a ? 1) x ? 1 是增函数,且 f ( x) ? f (?1) ? ?a ; 当 x < -1 时, f ( x) ? (a ?1) x ?1 是增函数,且 f ( x) ? f (?1) ? ?a . 所以,当 a >1 时,函数 f (x) 在 R 上是增函数. 同理可知,当 a <-1 时,函数 f (x) 在 R 上是减函数. ② a =1 或-1 时,易知,不合题意. ③ -1< a <1 时,取 x = 0,得 f (0) =1;

?(a ? 1) x ? 1 , x ? ?1, ?(a ? 1) x ? 1 , x ? ?1.-

2 2 2 ,由 < -1,知 f ( ) =1, a ?1 a ?1 a ?1 2 所以 f (0) = f ( ). a ?1 所以函数 f (x) 在 R 上不具有单调性.
取x= 综上可知,a 的取值范围是 (?? , ? 1) ? (1, ? ?) . 19. 已知 a 是实数, 函数 f ? x ? ? 2ax ? 2x ? 3 ? a . 如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?1, 1? 上
2

有零点,求 a 的取值范围. 参考答案:略解:若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ? ?1, 1? 上没有零点, 所以 a ? 0 . 令 ? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ,
2

解得 a ?

?3 ? 7 . 2

① 当 a?

?3 ? 7 时, 2

y ? f ? x ? 在 ? ?1, 1? 上恰有一个零点;

② 当 f ? ?1? ? f ?1? ? ? a ?1?? a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x ? 在 ? ?1, 1? 上也 恰有一个零点. ③当 y ? f ? x ? 在 ? ?1, 1? 上有两个零点时, 则

?a?0, ?? ? 8a 2 ? 2 4 a? 4 ? ? ? 1 ? 1, ? ?1 ? ? 2a ? ? f ?1? ≥ 0 , ? ? f ? ?1? ≥ 0 ,
解得 a ? 5 或 a ?

? a ? 0, 0 , ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0, ? 或 ? ?1 ? ? 1 ? 1, ? 2a ? ? f ?1? ≤ 0, ? ? f ? ?1? ≤ 0.

?3 ? 7 . 2 ?3 ? 7 . 2

综上所求实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 a ? 20.设圆满足: (1)截 y 轴所得的弦长为 2 ;

(2)被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3 :1 . 在满足条件 (1) 、 (2) 的所有圆中, 求圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程.

| a |. 参考答案: 设所求圆的圆心为 P (a, b) , 半径为 r , 则 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为 | b | ,
由题设圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为 90 , 圆 P 截 x 轴所得弦长为 2r , 故
2 2 2 2 r 2 ? 2b2 . 又圆 P 截 y 轴所得弦长为 2 , 所以有 r ? a ? 1 , 从而 2b ? a ? 1 .

?

又点 P (a, b) 到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为 d ?
2 2 2 2 2

a ? 2b 5
2



所以 5d ? (a ? 2b) ? a ? 4b ? 4ab ? a ? 4b ? 2(a ? b ) ? 2b ? a ? 1 .
2 2 2 2
2 当且仅当 a ? b 时上式等号成立. 此时 5d ? 1 ,从而 d 取最小值.

由此有 ?

?a ? b, 2 2 ? 2b ? a ? 1.

故?

?a ? 1, ?a ? ?1, 或? ?b ? 1, ?b ? ?1.

2 2 由于 r ? 2b ,故 r ?

2.
2 2 2 2

故所求圆的方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 ,或 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 . 21.某港口海水的深度 y (米)是时间 t (时) ( 0 ? t ? 24 )的函数,记为: y ? f (t ) . 已知某日海水深度的数据如下:

t (时)

0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.1

21 7.0

24 10.0

y (米) 10.0

经长期观察, y ? f (t ) 的曲线可近似地看成函数 y ? A sin ? t ? b 的图象. (1)试根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) ? A sin ? t ? b 的振幅、最小正周期和表达式; (2) 一般情况下, 船舶航行时, 船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的 (船 舶停靠时,船底只需不碰海底即可) . 某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6 .5 米,如果 该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时 间)? 参考答案: (1)依题意,最小正周期为: T ? 12 ,振幅: A ? 3 , b ? 10 , ? ? 所以 y ? f (t ) ? 3sin ?

2π π ? . T 6

?π ? ? t ? ? 10 . ?6 ? ?π ? ? t ? ? 10 ? 11.5 . ?6 ?

(2)该船安全进出港,需满足: y ? 6.5 ? 5 . 即: 3sin ?

所以 sin ?

?π ? 1 ?t ? ? . ?6 ? 2
π π 5π ? ? t ? 2kπ ? 6 6 6 (k ? Z) .

所以 2kπ ?

所以 12k ? 1 ? t ? 12k ? 5 (k ? Z) . 又 0 ? t ? 24 , 所以 1 ? t ? 5 或 13 ? t ? 17 .

所以,该船至多能在港内停留: 17 ? 1 ? 16 (小时) .

? a ?1 ? , n * 22.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? ? n ? (n ? N ) ,若 bn ? (?1) S n ,求 ? 2 ?
数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 参考答案:因为 a1 ? S1 ? (

2

a1 ? 1 2 ) , 所以 a1 ? 1 . 2
2

? 2?d ? . 设公差为 d ,则有 a1 ? a2 ? 2 ? d ? S2 ? ? ? ? 2 ?
2 解得 d ? 2 或 d ? ?2 (舍) . 所以 an ? 2n ? 1 , S n ? n .

所以 bn ? (?1) n ? n 2 . (1)当 n 为偶数时, Tn ? ?12 ? 22 ? 32 ? 4 2 ? ? ? (?1) n n 2

? (2 2 ? 12 ) ? (4 2 ? 32 ) ? ? ? [n 2 ? (n ? 1) 2 ]

? 3 ? 7 ? 11 ? ? ? (2n ? 1) ?
(2)当 n 为奇数时, Tn ? Tn?1 ? n ?
2

n(n ? 1) ; 2

(n ? 1) ? n n(n ? 1) n2 ? n . ? n2 ? ? ?? 2 2 2

n(n ? 1) . 2 23. (1)下面图形由单位正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,在横线上方 处画出下一个适当的图形;
综上, Tn ? (?1) n ?

图1

图2

图3

图4

(2)下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形,在下图四个三角形中,着色三角形的个数 依次构成数列的前四项, 依此着色方案继续对三角形着色, 求着色三角形的个数的通项公式

bn ;

(3)依照(1)中规律,继续用单位正方形绘图,记每个图形中单位正方形的个数为

an (n ? 1, 2,3,? ) ,设 cn ?

2an bn ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn . n ?1

参考答案: (1)答案如右图所示:

(2)易知,后一个图形中的着色三角形个数是前一个的 3 倍, 所以,着色三角形的个数的通项公式为: bn ? 3
n ?1



2? n(n ? 1) (3)由题意知 an ? , cn ? 2
所以 Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ?? n ? 3
0 1 1 2

n(n ? 1) n?1 ?3 2 =n ? 3n?1 , n ?1

n?1

n?1



所以 3Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ?? (n ?1) ? 3 ① -②得 ?2Sn ? (3 ? 3 ? ?? 3
0 1 n?1

? n ? 3n .



) ? n ? 3n .
Sn ?
n (2 n? 1) 3 ? 4

1 ? 3n ? n ? 3n . 所以 ?2Sn = 1? 3



1 ( n ? N* ) .

24.如图,经过 B(1, 2) 作两条互相垂直的直线 l1 和 l2 , l1 交 y 轴正半轴于点 A , l2 交 x 轴 正半轴于点 C . (1)若 A(0,1) ,求点 C 的坐标; (2)试问是否总存在经过 O,A,B,C 四点的圆?若存在,求出半径最小的圆的方程; 若不存在,请说明理由.

参考答案: (1)由直线 l1 经过两点 A(0,1) , B(1, 2) ,得 l1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 由直线 l2 ? l1 ,且直线 l2 经过点 B ,得 l2 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 . 所以,点 C 的坐标为 (3, 0) . (2)因为 AB ? BC , OA ? OC ,所以总存在经过 O,A,B,C 四点的圆,且该 圆以 AC 为直径. ① 若 l1 ? y 轴,则 l2 // y 轴,此时四边形 OABC 为矩形, | AC | ? 5 . ② 若 l1 与 y 轴不垂直,则两条直线斜率都存在.不妨设直线 l1 的斜率为 k , 则直线 l2 的斜率为 ?

1 . k

所以直线 l1 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,从而 A(0, 2 ? k ) ; 直线 l2 的方程为 y ? 2 ? ? 令?

1 ( x ? 1) ,从而 C (2k ? 1,0) . k

?2 ? k ? 0, ? 1 ? ? 1 ? 解得 k ? ? ? , 2 ? , 注意到 k ? 0 , 所以 k ? ? ? , 0 ? ? (0, 2) . ? 2 ? ? 2 ? ?2k ? 1 ? 0,
2 2 2 2

此时 | AC | ? (2 ? k ) ? (2k ? 1) ? 5k ? 5 ? 5 , | AC | ? 5 ,

所以半径的最小值为

5 1? 5 ? . 此时圆的方程为 ? x ? ? ? ( y ? 1)2 ? . 2 2? 4 ?

2

25.在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ?1 ? 且 an ? tan bn (n ? N ) .
*

2 1 ? an ?1 π (n ? N* ) . 数列 {bn } 满足 0 ? bn ? , an 2

(1)求 b1 , b2 的值; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn . 若对于任意的 n ? N ,不等式 Sn ? (?1)
*

n

?bn 恒

成立,求实数 ? 的取值范围. 参考答案: (1)依题意得 a1 ? 3 , a2 ?

1 ? a12 ? 1 3 ? , a1 3

又 a1 ? tan b1 , a2 ? tan b2 , 且 b1 , b2 ? ? 0, 所以 b1 ?

? ?

π? ?, 2?

π π , b2 ? . 3 6
2 1 ? an ?1 π , an ? tan bn ,且 0 ? bn ? , an 2

(2)因为 an ?1 ? 所以

1 2 bn ?1 2sin 1 ? tan 2 bn ? 1 cos bn 1 ? cos bn b 2 an ?1 ? ? ? ? ? tan n . sin b b b tan bn sin bn 2 n 2sin n cos n cos bn 2 2
所以 tan bn ?1 ? tan 因此数列 {bn } 是首项为

bn b . 所以 bn ?1 ? n 2 2

(n ? N* ) .
π?1? ? ? 3?2?
n ?1

π 1 ,公比为 的等比数列. 3 2
n ?1

所以 bn ?
n ?1



π?1? (3)由 bn ? ? ? 3?2?
由 Sn ? (?1)
n

π? ?1? , 得 Sn ? ? 2 ? ? ? 3? ? ?2?

? ?. ? ?

?bn , 得 (?1)n ? ? 2n ?1 .

n ① 当 n 是奇数时, ? ? 1 ? 2 . 由于上式对正奇数恒成立,故 ? ? ?1 .

所以 ,当 n 是奇数时, ? ? ?1 .
n ② 当 n 是偶数时, ? ? 2 ? 1 . 由于上式对正偶数恒成立,故 ? ? 3 .

所以 ,当 n 是偶数时, ? ? 3 . 综上 , ? 的取值范围是 [?1,3] . 26.甲、乙、丙、丁四个人进行传球练习,每次球从一个人的手中传入其余三个人中的任意 一个人的手中 . 如果由甲开始作第 1 次传球,经过 n 次传球后,球仍在甲手中的所有不同 的传球种数共有 an 种 . (如,第一次传球模型分析得 a1 ? 0 . )

(1)求 a2 , a3 的值; (2)写出 an? 1 与 an 的关系式(不必证明) ,并求 an ? f (n) 的解析式; (3)求

an 的最大值 . an ? 1

参考答案: (1)可画图分析得 a2 ? 3 , a3 ? 6 . (2)依题意有

a1 ? 0 ,且 an? 1 ? an ? 3n
n

(n ? 1 ,,, 2 3 ?. )

将 an? 1 ? an ? 3 变形为 an? 1 ?

? 3n? 1 3n ? ? ? ? an ? ? , 4 4? ?

? 3 3 3n ? 从而数列 ?an ? ? 是首项为 a1 ? ? ? ,公比为 ?1 的等比数列. 4 4 4? ?
3n 3 3n 3 n ?1 ? ? ? (?1) .即 an ? ? (?1) n ? 所以 an ? 4 4 4 4
(3)① 当 n 是偶数时,

(n ? 1 ,,, 2 3 ?. )

an an?1
所以

3n 3 ? 3n ? 3 1 4 4 , ? n? 1 4 ? n? 1 ? ? n? 1 3 3 3 ?3 3 3 ?3 ? 4 4

a a 1 an 随 n 的增大而减小,从而,当 n 是偶数时, n 的最大值是 2 ? . a3 2 an ?1 an ? 1
② 当 n 是奇数时,

an an? 1

3n 3 ? n 4 4 ? 3 ?3 ? 1 ? 4 , ? n 3 ?1 3 3n? 1 ? 3 3 3n? 1 ? 3 ? 4 4

所以

an 随 n 的增大而增大, an ? 1
综上,



an 1 4 1 1 ? ? n? 1 ? ? . an? 1 3 3 ? 3 3 2

1 an 的最大值是 . 2 an ? 1

3 ,b sin A ? 4 . 27.设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ?
(1)求边长 a ; (2)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l . 参考答案: (1)由 a cos B ? 3 与 b sin A ? 4 两式相除,有:

3 a cos B a cos B b cos B ? ? ? ? cot B . 4 b sin A sin A b sin B b
又通过 a cos B ? 3 ,知 cos B ? 0 , 则 cos B ? (2)由 S ?

3 4 , sin B ? . 则 a ? 5 . 5 5

1 ac sin B ,得 c ? 5 . 2

a 2 ? c2 ? b2 由 cos B ? , 解得 b ? 2 5 . 2ac
所以 △ ABC 的周长 l ? 10 ? 2 5 . 28.对于定义域分别是 D f , Dg 的函数 y ? f ( x) , y ? g ( x) ,规定:函数

? f ( x) ? g ( x),当 x ? D f 且 x ? Dg, ? h( x) ? ? f ( x), 当 x ? D f 且 x ? Dg, ? 当 x ? D f 且 x ? Dg . ? g ( x),
1 2 , g ( x) ? x , x ? R ,写出函数 h( x) 的解析式; x ?1

(1)若函数 f ( x ) ?

(2)求问题(1)中函数 h( x) 的值域; (3)若 g (x) ? f (x ? ?) ,其中 ? 是常数,且 ? ?[0, π] ,请设计一个定义域为 R 的函 数 y ? f ( x) 及一个 ? 的值,使得 h( x) ? cos 4 x ,并予以证明. 参考答案: (1) 由函数 f ( x ) ?

1 2 ,g ( x) ? x ,x ? R , 可得 Df ? {x | x ? 1} ,Dg ? R . x ?1

? x2 , x ?1 ? 从而 h( x) ? ? x ? 1 ?1, x ? 1. ?
(2)当 x ? 1 时, h( x) ? 当 x ? 1 时,

x 2 ( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? 1 1 = = x ?1 ? +2 ? 4; x ?1 x ?1 x ?1

h( x ) ?

x 2 ( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? 1 1 ? ? = = ? ?1 ? x ? ? ? 2 ? 0; x ?1 x ?1 1? x ? ?

所以, h( x) 的值域为 { y | y ? 4, 或 y ? 0,或 y=1} . (3)由函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,得 g ( x) ? f ( x ? ? ) 的定义域也为 R , 所以,对于任意 x ? R ,都有 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,即对于任意 x ? R ,都有

cos 4 x ? f ( x) ? f ( x ? ?) .
所以,我们考虑将 cos 4 x 分解成两个函数的乘积,而且这两个函数还可以通 过平移相互转化.

cos 4x ? cos2 2x ? sin 2 2x ? (cos 2x ? sin 2x)(cos 2x ? sin 2x)
π π ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 cos(2 x ? ) . 4 4 π π 所以,令 f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ,且 ? ? 即可 . 4 4
又 cos 4x ? 1 ? 2sin 2 x ? (1 ? 2 sin 2 x)(1 ? 2 sin 2 x) ,
2

所以,令 f ( x) ? 1 ? 2 sin 2x ,且 ? ?

π 即可 . ? (答案不唯一) 2


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