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广东省揭阳市普宁二中2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版).doc


2016-2017 学年广东省揭阳市普宁二中高二(上)期末数学 试卷(理科)
一.本卷共 12 题,每题 5 分,共 60 分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的. 1. 1, 2}, 已知集合 A? {0, 且集合 A 中至少含有一个偶数, 则这样的集合 A 的个数为 ( A.6 2.已知复数 A.第一象限 B.5 C .4 D.3 ) )

的实部为﹣1,则复数 z﹣b 在复平面上对应的点在( B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a= ( A. ) B. C.

b,A=2B,则 cos B=

D.

4.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻 的概率为( A.1 5.当 x>0,y>0, A.10 ) B. C. ) D.16 D.

+ =1 时,x+y 的最小值为( B.12 C.14

6.如图直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上,AP=C1Q, 则四棱锥 B﹣APQC 的体积为( )

A.

B.

C.

D.

2 7.过点 A(﹣2,﹣4)作倾斜角为 45° 的直线交抛物线 y =2px(p>0)于点 P1、P2,若

|P1P2|2=|AP1|?|AP2|,则实数 p 的值为( A.1 B.2

) C .3 D.4

8.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执

行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 16,28,则输出的 a=(



A.0

B.2

C .4

D.14

* 9.已知 an=log(n+1) (n+2) (n∈N ) .我们把使乘积 a1?a2?a3?…?an 为整数的数 n 叫做“优数”,

则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( A.1024 B.2003

) C.2026 D.2048

10.如右图所示,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动,设 M 是 CD 边的中点,则当点 P 沿着 A﹣B﹣C﹣M 运动时,以点 P 经过的路程 x 为自变量,三角形 APM 的面积函数的图 象形状大致是( )

A.

B.

C.

D.

11.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根,

且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( A. , B. , C. ,

) D. ,

12.如果定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 x1≠x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f (x2)+x2f(x1) ,则称 f(x)为“H 函数”.给出下列函数:
3 x ①y=﹣x +x+1;②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;③y=e +1;④f(x)=

,其中“H 函

数”的个数有( A.3 个

) B.2 个 C .1 个 D.0 个

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知(x+a)2(x﹣1)3 的展开式中,x4 的系数为 1,则 a= 14. 15.已知 = . . . .

,则 f(﹣12)+f(14)=

16. = ex 在区间 3) 已知 a∈R, 若f (x) (x+ ﹣1) (1, 上有极值点, 则 a 的取值范围是

三、解答题: (本大题共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,AD 是角 A 的平分线. (1)用正弦定理或余弦定理证明: (2)已知 AB=2.BC=4, ; ,求 AD 的长.

18.某市对所有高校学生进行普通话水平测试,发现成绩服从正态分布 N(μ,σ2) ,下表用 茎叶图列举出来抽样出的 10 名学生的成绩. (1)计算这 10 名学生的成绩的均值和方差; (2) )给出正态分布的数据:P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544. 由(1)估计从全市随机抽取一名学生的成绩在(76,97)的概率.

19.等腰三角形 ABC,E 为底边 BC 的中点,沿 AE 折叠,如图,将 C 折到点 P 的位置,

使 P﹣AE﹣C 为 120° ,设点 P 在面 ABE 上的射影为 H. (1)证明:点 H 为 EB 的中点; (2) ) 若 ,求直线 BE 与平面 ABP 所成角的正弦值.

20.已知直线

是椭圆

的右准线,若

椭圆的离心率为

,右准线方程为 x=2.

(1)求椭圆 Γ 的方程; (2)已知一直线 AB 过右焦点 F(c,0) ,交椭圆 Γ 于 A,B 两点,P 为椭圆 Γ 的左顶点, PA,PB 与右准线交于点 M(xM,yM) ,N(xN,yN) ,问 yM?yN 是否为定值,若是,求出该 定值,否则说明理由.
a 21. (1)已知 a 为常数,且 0<a<1,函数 f(x)=(1+x) ﹣ax,求函数 f(x)在 x>﹣1

上的最大值;
b a (2)若 a,b 均为正实数,求证:a +b >1.

请考生从第 (22) , (23) 两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.[选修 4-4: 参数方程与坐标系] 22.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中 取相同的长度单位,已知曲线 C1 的参数方程为 线 C2 的极坐标方程为 ρ=﹣2sinθ. (1)求 C1 的极坐标方程与 C2 的直角坐标方程; (2) )若 P 是 C1 上任意一点,过点 P 的直线 l 交 C2 于点 M,N,求|PM|?|PN|的取值范围. , (α 为参数,且 α∈[0,π) ) ,曲

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x+a|+|x+3|,g(x)=|x﹣1|+2.

(1)解不等式|g(x)|<3; (2)若对任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围.

2016-2017 学年广东省揭阳市普宁二中高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一.本卷共 12 题,每题 5 分,共 60 分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的. 1. 1, 2}, 已知集合 A? {0, 且集合 A 中至少含有一个偶数, 则这样的集合 A 的个数为 ( A.6 【考点】子集与真子集. 【分析】根据已知中集合 A 满足 A? {0,1,2},且集合 A 中至少含有一个偶数,逐一列举 出满足条件的集合 A,可得答案. 【解答】解:∵集合 A? {0,1,2},且集合 A 中至少含有一个偶数, ∴满足条件的集合 A 可以为: {0},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2},共 6 个, 故选:A. B.5 C .4 D.3 )

2.已知复数 A.第一象限

的实部为﹣1,则复数 z﹣b 在复平面上对应的点在( B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,由题意求得 b,进一步求得复数 z﹣b 在复平 面上对应的点的坐标得答案. 【解答】解:由 得 b=6. ∴z=﹣1+5i,则 z﹣b=﹣7+5i,在复平面上对应的点的坐标为(﹣7,5) ,在第二象限. 故选:B. 的实部为﹣1,得 ,

3.△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a= ( A. ) B. C.

b,A=2B,则 cos B=

D.

【考点】正弦定理的应用. 【分析】通过正弦定理得出 sinA 和 sinB 的方程组,求出 cosB 的值. 【解答】解:∵△ABC 中, ,

∴根据正弦定理得

∴ 故选 B.

4.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻 的概率为( A.1 ) B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】使用捆绑法分别计算甲乙相邻,和甲同时与乙,丙相邻的排队顺序个数,利用古典 概型的概率公式得出概率. 【解答】解:甲乙相邻的排队顺序共有 2A 其中甲乙相邻,甲丙相邻的排队顺序共有 2A ∴甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为 故选:B. =48 种, =12 种, .

5.当 x>0,y>0, A.10 【考点】基本不等式.

+ =1 时,x+y 的最小值为( B.12 C.14

) D.16

【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵x>0,y>0, ∴x+y=(x+y) ∴x+y 的最小值为 16. =10+ + =1, =16,当且仅当 y=3x=12 时取等号.

故选:D.

6.如图直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上,AP=C1Q, 则四棱锥 B﹣APQC 的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】组合几何体的面积、体积问题. 【分析】把问题给理想化,认为三棱柱是正三棱柱,设底面边长 a 和侧棱长 h 均为 1,P、Q 分别为侧棱 AA′,CC′上的中点 求出底面面积高,即可求出四棱锥 B﹣APQC 的体积. 【解答】解:不妨设三棱柱是正三棱柱,设底面边长 a 和侧棱长 h 均为 1 则 V=SABC?h= ?1?1? 则 V B﹣APQC= SAPQC? 所以 V B﹣APQC= V 故选 B ?1= = 认为 P、Q 分别为侧棱 AA′,CC′上的中点 (其中 表示的是三角形 ABC 边 AC 上的高)

2 7.过点 A(﹣2,﹣4)作倾斜角为 45° 的直线交抛物线 y =2px(p>0)于点 P1、P2,若

|P1P2|2=|AP1|?|AP2|,则实数 p 的值为( A.1 B.2

) C .3 D.4

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】设 l 的参数方程为

,代入抛物线方程,利用韦达定理,即可得出结

论.

【解答】 解: 设 l 的参数方程为

2 , 代入抛物线方程整理得 t + (﹣2

p﹣8



t+32+8p=0. ∴|AP1|?|AP2|=|t1?t2|=32+8p.
2 2 2 2 又|P1P2| =(t1+t2) ﹣4t1t2=8p +32p,|P1P2| =|AP1|?|AP2|, 2 2 ∴8p +32p=32+8p,即 p +3p﹣4=0.

∴p=1. 故选:A.

8.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执 行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 16,28,则输出的 a=( )

A.0 【考点】程序框图.

B.2

C .4

D.14

【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的 a,b 的值,即可得到结 论. 【解答】解:由 a=16,b=28,不满足 a>b, 则 b 变为 28﹣16=12, 由 b<a,则 a 变为 16﹣12=4, 由 a<b,则,b=12﹣4=8, 由 a<b,则,b=8﹣4=4, 由 a=b=4,

则输出的 a=4. 故选:C.

* 9.已知 an=log(n+1) (n+2) (n∈N ) .我们把使乘积 a1?a2?a3?…?an 为整数的数 n 叫做“优数”,

则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( A.1024 B.2003

) C.2026 D.2048

【考点】对数的运算性质. 【分析】根据换底公式 化为 log2(n+2) ,
m * 由 log2(n+2)为整数,即 n+2=2 ,m∈N ,令 m=1,2,3,…,10,可求得区间[1,2004]

,把 an=log(n+1) (n+2)代入 a1?a2…an 并且化简,转

内的所有优数的和. 【解答】解:由换底公式: ∴a1?a2?a3?…?an =log23?log34…log(n+1) (n+2) = = =log2(n+2) , .

∵log2(n+2)为整数,
m * ∴n+2=2 ,m∈N .

n 分别可取 22﹣2,23﹣2,24﹣2,最大值 2m﹣2≤2004,m 最大可取 10,
2 3 10 故和为 2 +2 ++2 ﹣18=2026.

故选:C.

10.如右图所示,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动,设 M 是 CD 边的中点,则当点 P 沿着 A﹣B﹣C﹣M 运动时,以点 P 经过的路程 x 为自变量,三角形 APM 的面积函数的图 象形状大致是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】随着点 P 的位置的不同,讨论三种情形即在 AB 上,在 BC 上,以及在 CM 上分别 建立面积的函数,分段画出图象即可.

【解答】解:根据题意得 f(x)=



分段函数图象分段画即可, 故选 A.

11.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根, 且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )

A.



B.



C.



D.



【考点】两条平行直线间的距离. 【分析】利用方程的根,求出 a,b,c 的关系,求出平行线之间的距离表达式,然后求解距 离的最值.
2 【解答】解:因为 a,b 是方程 x +x+c=0 的两个实根,

所以 a+b=﹣1,ab=c,两条直线之间的距离 d= d2=



=

,因为 0≤c≤ ,

所以 ≤1﹣4c≤1,
2 即 d ∈[ , ],所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是

, .

故选:A.

12.如果定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 x1≠x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f (x2)+x2f(x1) ,则称 f(x)为“H 函数”.给出下列函数:
3 x ①y=﹣x +x+1;②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;③y=e +1;④f(x)=

,其中“H 函

数”的个数有( A.3 个

) B.2 个 C .1 个 D.0 个

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】不等式 x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] ≥0,即满足条件的函数为不减函数,判断函数的单调性即可得到结论. 【解答】解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f (x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]≥0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的不减函数(即无递减区间) .
3 2 ①函数 y=﹣x +x+1,则 y′=﹣2x +1,在在[﹣



]函数为减函数.不满足条件. sin(x﹣ )>0,

②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ,y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2(sinx﹣cosx)=3﹣2 函数单调递增,满足条件.

x ③y=e +1 是定义在 R 上的增函数,满足条件.

④f(x)= 件. 故选:A

,x≥1 时,函数单调递增,当 x<1 时,函数为常数函数,满足条

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知(x+a)2(x﹣1)3 的展开式中,x4 的系数为 1,则 a= 2 . 【考点】二项式系数的性质.
2 3 2 2 3 2 4 【分析】由(x+a) (x﹣1) =(x +2ax+a ) (x ﹣3x +3x﹣1) ,求出它的展开式中 x 的系

数即可.
2 3 2 2 3 2 【解答】解: (x+a) (x﹣1) =(x +2ax+a ) (x ﹣3x +3x﹣1) , 4 所以它的展开式中,x 的系数为:

﹣3+2a=1, 解得 a=2. 故答案为:2.

14. 【考点】数列的求和. 【 分 析 】 由 Tn= 果. 【解答】解:∵ ∴1﹣ ∴ = ∴T1= = , , =1﹣ = = , , 1 ﹣ =1 ﹣

=



=

, 得

,由此依次求出 Tn 的前四项,由此能求出结

T2= T3= T4= …

= = =

= , ,



由此猜想,Tn= 故答案为: .



15.已知 【考点】函数的值. 【分析】先求出 f(﹣12)=1+ln( 数性质能求出 f(﹣12)+f(14)的值. 【解答】解:∵ ∴f(﹣12)=1+ln( f(14)=1+ln(

,则 f(﹣12)+f(14)= 2 .

) ,f(14)=1+ln(

) ,由此利用对

, +12+1)=1+ln( ﹣14+1)=1+ln( )+ln( ) , ) , ﹣13)]=2+ln1=2.

∴f(﹣12)+f(14)=2+[ln( 故答案为:2.

16.已知 a∈R,若 f(x)=(x+ ﹣1)ex 在区间(1,3)上有极值点,则 a 的取值范围是 (﹣27,0) . 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求出函数 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间,从而求出满足条 件的 a 范围即可. 【解答】解:∵f(x)=(x+ ﹣1)e ,
x x

∴f′(x)=(
3 设 h(x)=x +ax﹣a, 2 ∴h′(x)=3x +a,

)e ,

a≥0 时,h′(x)>0 在(1,3)上恒成立, 即函数 h(x)在(1,3)上为增函数, ∵h(1)=1>0,函数 f(x)在(1,3)无极值点, a<0 时,h(x)=x3+a(x﹣1) ,
2 ∵x∈(1,3) ,h′(x)=3x +a,

令 h′(x)=0,解得:a=﹣3x , 若 只需 a=﹣3x 有解,
2 而﹣27<﹣3x <0, 2

2

在区间(1,3)上有极值点,

故﹣27<a<0, 故答案为: (﹣27,0) .

三、解答题: (本大题共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,AD 是角 A 的平分线. (1)用正弦定理或余弦定理证明: (2)已知 AB=2.BC=4, 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)由已知及正弦定理得: = , , ; ,求 AD 的长.

由 sin∠BAD=sin∠DAC,结合∠BAD+∠ADC=π,可得 sin∠BAD=sin∠ADC,即可得证 . (2)由已知及余弦定理可求 AC 的值,由(1)及 BD+DC=BC=4,可求 BD 的值,进而利 用余弦定理可求 AD 的值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)证明:在△ABC 中,由正弦定理得: 在△ADC 中,由正弦定理得: ∵∠BAD=∠DAC, ∴sin∠BAD=sin∠DAC, = .… .…

又∵∠BAD+∠ADC=π, ∴sin∠BAD=sin∠ADC, ∴ .… =16.

AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=22+42﹣2× (2) 在△ABC 中, 由余弦定理得: ∴AC=4.… 由(1)知, 又 BD+DC=BC=4, ∴BD= .…
2 2 2 2 2 在△ABD 中,由余弦定理得:AD =AB +BD ﹣2AB?BD?cosB=2 +( ) ﹣2×

= = ,

=

. .…

∴AD=

18.某市对所有高校学生进行普通话水平测试,发现成绩服从正态分布 N(μ,σ2) ,下表用 茎叶图列举出来抽样出的 10 名学生的成绩. (1)计算这 10 名学生的成绩的均值和方差; (2) )给出正态分布的数据:P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544. 由(1)估计从全市随机抽取一名学生的成绩在(76,97)的概率.

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;茎叶图. 【分析】 (1)利用公式,计算这 10 名学生的成绩的均值和方差; (2)由(1)可估计,μ=90,σ=7.利用 P(76<x<97)=P(μ﹣2σ<x<μ)+P(μ<x<μ+σ) , 可得结论. S2= 【解答】 解: (1) =90, (2)由(1)可估计,μ=90,σ=7. P(76<x<97)=P(μ﹣2σ<x<μ)+P(μ<x<μ+σ)= + =0.8185.… =49. …

19.等腰三角形 ABC,E 为底边 BC 的中点,沿 AE 折叠,如图,将 C 折到点 P 的位置, 使 P﹣AE﹣C 为 120° ,设点 P 在面 ABE 上的射影为 H. (1)证明:点 H 为 EB 的中点; (2) ) 若 ,求直线 BE 与平面 ABP 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】 (1)证明:∠CEP 为二面角 C﹣AE﹣P 的平面角,则点 P 在面 ABE 上的射影 H 在 EB 上,即可证明点 H 为 EB 的中点; (2)过 H 作 HM⊥AB 于 M,连 PM,过 H 作 HN⊥PM 于 N,连 BN,则有三垂线定理得 AB⊥面 PHM. HN⊥面 PAB. 即面 PHM⊥面 PAB, 故 HB 在面 PAB 上的射影为 NB, ∠HBN 为直线 BE 与面 ABP 所成的角,即可求直线 BE 与平面 ABP 所成角的正弦值. 【解答】 (1)证明:依题意,AE⊥BC,则 AE⊥EB,AE⊥EP,EB∩EP=E. ∴AE⊥面 EPB. 故∠CEP 为二面角 C﹣AE﹣P 的平面角,则点 P 在面 ABE 上的射影 H 在 EB 上. 由∠CEP=120° 得∠PEB=60° .… ∴EH= EP= .

∴H 为 EB 的中点.… (2)解:过 H 作 HM⊥AB 于 M,连 PM,过 H 作 HN⊥PM 于 N,连 BN, 则有三垂线定理得 AB⊥面 PHM.即面 PHM⊥面 PAB, ∴HN⊥面 PAB.故 HB 在面 PAB 上的射影为 NB. ∴∠HBN 为直线 BE 与面 ABP 所成的角.… 依题意,BE= BC=2,BH= BE=1. 在△HMB 中,HM= 在△EPB 中,PH= , ,

∴在 Rt△PHM 中,HN= ∴sin∠HBN= .…



20.已知直线

是椭圆

的右准线,若

椭圆的离心率为

,右准线方程为 x=2.

(1)求椭圆 Γ 的方程; (2)已知一直线 AB 过右焦点 F(c,0) ,交椭圆 Γ 于 A,B 两点,P 为椭圆 Γ 的左顶点, PA,PB 与右准线交于点 M(xM,yM) ,N(xN,yN) ,问 yM?yN 是否为定值,若是,求出该 定值,否则说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由题意可知:e= = , =2,即可求得 a 和 b 的值,求得椭圆 Γ 的方程;

(2)设 AB 的方程:x=my+1,代入椭圆方程由韦达定理求得直线 PA 的方程,代入即可求 得 yM= ( 2+ ) , yN= ( 2+ ) , yM?yN=

=

,代入即可求得 yM?yN=﹣1.

【解答】解: (1)依题意:椭圆的离心率 e= = 故椭圆 Γ 方程为 ; …



=2,则 a=

,b=1,c=1,

(2)设 AB 的方程:x=my+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



2 2 ,整理得: (m +2)y +2my﹣1=0,

2 2 △=(﹣2m) +4(m +2)>0,

由韦达定理得:y1+y2=﹣

,y1?y2=﹣

,…

直线 PA:y=

(x+

) ,

令 x=2,得 yM=

(2+

) ,

同理:yN=

(2+

) ,…

∴yM?yN=

=



=



=



=



= yM?yN=﹣1,

=

=﹣1,

yM?yN 是定值,定值为﹣1.…

a 21. (1)已知 a 为常数,且 0<a<1,函数 f(x)=(1+x) ﹣ax,求函数 f(x)在 x>﹣1

上的最大值;
b a (2)若 a,b 均为正实数,求证:a +b >1.

【考点】函数的最值及其几何意义.
a 1 a 1 【分析】 (1)由 f′(x)=a(1+x) ﹣ ﹣a=a[(1+x) ﹣ ﹣1],当﹣1<x<0 时,f′(x)>0,

当 x>0,f′(x)<0,f(x)在 x=0 处取极大值,也是最大值 f(0)=1;
b a b (2)①当 a,b 中有一个大于 1 时,不妨设 a≥1,a +b >a >1,②当 a,b 均属于(0,1) ,

设 a= ba≥

,b=

b , (m,n>0) ,则 a =

=



=

,同理

b a ,即可证明 a +b >1. a a﹣1

【解答】解: (1)由 f(x)=(1+x) ﹣ax,求导 f′(x)=a(1+x) 当﹣1<x<0 时,f′(x)>0,当 x>0,f′(x)<0, ∴f(x)在 x=0 处取极大值,也是最大值 f(0)=1, ∴f(x)的最大值为 1; (2)证明:①当 a,b 中有一个大于 1 时,不妨设 a≥1, ab+ba>ab>1, ②当 a,b 均属于(0,1) ,设 a=
b 则a =

﹣a=a[(1+x)

a﹣1

﹣1],

,b=

, (m,n>0) ,

=



=



a 同理可知:b ≥

, + = >1,

b a ∴a +b > b a ∴a +b >1.

请考生从第 (22) , (23) 两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.[选修 4-4: 参数方程与坐标系] 22.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中 取相同的长度单位,已知曲线 C1 的参数方程为 线 C2 的极坐标方程为 ρ=﹣2sinθ. (1)求 C1 的极坐标方程与 C2 的直角坐标方程; (2) )若 P 是 C1 上任意一点,过点 P 的直线 l 交 C2 于点 M,N,求|PM|?|PN|的取值范围. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)求出 C1 的普通方程,即可求 C1 的极坐标方程,利用极坐标方程与直角坐标方 程的互化方法得出 C2 的直角坐标方程; (2) 直线 l 的参数方程为: (t 为参数) , 代入 C2 的直角坐标方程得 (x0+tcosα) , (α 为参数,且 α∈[0,π) ) ,曲

2

2 + (y0+tsinα+1) =1, 由直线参数方程中 t 的几何意义可知|PM|?|PN|=|1+2y0|, 即可求|PM|?|PN|

的取值范围.
2 2 【解答】解: (1)消去参数可得 x +y =1,因为 α∈[0,π) ,所以﹣1≤x≤1,0≤y≤1, 2 2 所以曲线 C1 是 x +y =1 在 x 轴上方的部分,

所以曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=1(0≤θ≤π) .…
2 2 曲线 C2 的直角坐标方程为 x +(y+1) =1…

(2)设 P(x0,y0) ,则 0≤y0≤1,直线 l 的倾斜角为 α, 则直线 l 的参数方程为: (t 为参数) .…

2 2 代入 C2 的直角坐标方程得(x0+tcosα) +(y0+tsinα+1) =1,

由直线参数方程中 t 的几何意义可知|PM|?|PN|=|1+2y0|, 因为 0≤y0≤1,所以|PM|?|PN|=∈[1,3]…

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x+a|+|x+3|,g(x)=|x﹣1|+2. (1)解不等式|g(x)|<3; (2)若对任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)由||x﹣1|+2|<3,得 3<|x﹣1|+2<3,即﹣5<|x﹣1|<1,然后求解不等式即可. (2)利用条件说明{y|y=f(x)}? {y|y=g(x)},通过函数的最值,列出不等式求解即可. 【解答】解: (1)由||x﹣1|+2|<3,得﹣3<|x﹣1|+2<3,即﹣5<|x﹣1|<1,… 所以解集为{x|或 0<x<2} … (2)因为任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}? {y|y=g(x)}, 又 f(x)=|x+a|+|x+3|≥|(x+a)﹣(x+3)|=|a﹣3|, 所以|a﹣3|≥2,解得 a≥5 或 a≤1.…

2017 年 2 月 21 日


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