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2013惠州四调数学试题答案【文科】


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惠州市 2013 届高三第一次模拟考试

数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上. 2.选择

题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答 的答案无效. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设集合 A ? ??1, 0,1? , B ? ?0,1, 2? 若 x ? A 且 x ? B 则 x 等于( A. ?1 B. 0 C. D. 2 ) )

2.已知复数 z ? i (1 ? i ) (为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2, 则抛物线的方程是 ( ) A. y ? ?8 x
2

B. y ? 8 x
2

C. y ? ?4 x D. y ? 4 x
2 2

2
正视图

4.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第 25 项为 ( A.2 B.6 C.7 得这个几何体的体积是( )

) D.8

2

侧视图

2

1 可 1
俯视图

cm , 5. 已知某几何体的三视图如右, 根据图中标出的尺寸 (单位: )
2 第 5 题图

4 3 A. cm 3

8 3 B. cm 3

C. 2cm

3

D. 4cm

3

6.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表: 甲 平均成绩 x 方差 S
2

乙 89 3.5

丙 89 2.1

丁 85 5.6 )

86 2.1

从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛,最佳人选是( A. 甲 B.乙 C.丙 D.丁

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? ? ? ? ? 7.已知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m) , a / /( a ? b) ,则 m ? (
A. 2 B. ?2 C. ?3

) D.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 8.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最小值为( ?x ?1 ? 0 ?
A. ?6 B. ?4 C. 2 D.



9.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为

C ( x) ? 1 x 2 ? 2 x ? 20 (万元),一万件售价是 20 万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品 2
数量为( A.36 万件 件 10.设 P 为曲线 C: y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P
2

) B.18 万件 C.22 万件 D.9 万
开始

处切线倾斜角的取值范围为 ? 0,

? ?? ? 4? ?

S ? 2, k ? 1
,则点 P 横坐标的取值
k ? 5?


范围为 ( A. ? ?1, ? ? 2

)

? ?

1? ?

B. ? ?1, 0?

C. ? 0,1?

D. ? ,1? ?2 ?

?1 ?

二、填空题:本题共 5 小题,作答 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.某地区高中分三类, A 类学校共有学生 2000 人, B 类学校 共有学生 3000 人,C 类学校共有学生 4000 人, 若采取分层 抽样的方法抽取 900 人,则 A 类学校中应抽学生 12.若等比数列{ an }中 a5 ? 4? 则 a2 ? a8 等于 13. 执行如右图的程序框图,那么输出 S 的值是 . . 人.

是 1 S? 1? S

输出 S

结束

k ? k ?1
第 13 题图

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分) 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为 ? cos(? ? 点到直线的距离为 d ,则 d 的最大值为 .

?
4

) ? 3 2 ,曲线 C : ? ? 1 上的

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15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 的直径 AB ? 6 , P 是 延长线上一点, 过点 P 作圆 O 的切线, 切点为 C , 连接 AC ,

C

AB 的


?CPA ? 300 ,则 PC ?



A

O

·

B

P

第 15 题图 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? a cos C (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A 的大小.

17. (本小题满分 12 分)为了了解 2013 年某校高三学生的视 力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分 组区间为 ? 3.9, 4.2? ,? 4.2, 4.5? ,… ,? 5.1,5.4? 经过数据处 理,得到如右频率分布表: (1)求频率分布表中未知量 n, x, y, z 的值; (2)从样本中视力在 ? 3.9, 4.2? 和 ? 5.1,5.4? 的所有同学中随 机抽取两人,求两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率. 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计 频数 3 6 25 y 2 n 频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00

D 18. (本小题满分 14 分)如图,直角梯形 ACDE 与等腰直角

?ABC 所 在 平 面 互 相 垂 直 , F 为 BC 的 中 点 ,

?BAC ? ?ACD ? 90?, AE / / CD, DC ? AC ? 2 AE ? 2
(1)求证: AF / / 平面BDE ; (2)求四面体 B ? CDE 的体积.

E

C F

A 第 18 题图 B

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19.(本小题满分 14 分) 已知 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? 图象都相切于点 ?1, 0 ? . (1)求直线的方程及 g ( x) 的解析式;

1 3 1 2 x ? x ? mx ? n ,直线与函数 f ? x ? , g ? x ? 的 3 2

(2)若 h ? x ? ? f ? x ? ? g ' ? x ? (其中 g ' ? x ? 是 g ? x ? 的导函数) ,求函数 h ? x ? 的极大值.

20. (本小题满分 14 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B (0, ?1) ,且其右焦 点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆方程; (2)设直线过定点 Q (0, ) ,与椭圆交于两个不同的点 M 、N ,且满足 BM ? BN . 求直线的方程.

3 2

21 .( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 相 邻 两 项 an , an ?1 是 关 于 x 的 方 程

x 2 ? 2n x ? bn ? 0( n ? N ? ) 的两根,且 a1 ? 1 .
(1)求证: 数列 ? an ?

? ?

1 n? ? 2 ? 是等比数列; 3 ?

?

(2)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求 S n

(3)问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ? S n ? 0 对任意 n ? N 都成立,若存在,求出 ? 的取值范围; 若 不存在,请说明理由.

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惠州市 2013 届高三第一次模拟考试试题 数 学(文科)答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 B 6 C 7 C 8 B 9 B 10 A

1. 【解析】 A ? B ? ?0,1? ,故 x ? -1 ,故选 A。 2. 【解析】 因为 z ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i ,所以 z ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i 对应的点在复平面的第二象限. 故选 B . 3. 【 解 析 】 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x ? -2, , ∴ 抛 物 线 的 开 口 向 右 . 设 抛 物 线 的 标 准 方 程 为

y 2 ? 2 px( p ? 0)? 则 其准线 方程为 x ? ?
y 2 ? 8 x .故选 B 。

p p ? ∴ ? ? ?2? 解 得 p ? 4? ∴抛 物线的标 准方程 为 2 2

4. 【解析】数字共有 n 个,当数字 n ? 6 时,有 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21 项,所以第 25 项是 7,故选 C。 5. 【 解 析 】 由 三 视 图 可 知 , 该 几 何 体 为 底 面 是 正 方 形 边 长 为 2cm , 高 为 2cm 的 四 棱 锥 , 故

1 8 V ? ? 22 ? 2 ? cm3 ,故选 B。 3 3
6.【解析】乙,丙的平均成绩最好,且丙的方差小于乙的方差,丙的发挥较稳定,故选 C。 7.【解析】 a ? b ? (2, m ? 1) , a //(a ? b) 故 ?(m ? 1) ? 2 ? 0 ,解得 m ? ?3 ,故选 C 8.【解析】做出不等式对应的可行域如图,由 z ? 3 x ? 2 y 得

? ?

?

? ?

y?

3 z 3 z x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 C (0, 2) 时, 2 2 2 2

直线的截距最大,而此时 z ? 3 x ? 2 y 最小 ?4 为,选 B。

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三七考试网 www.37kao.com 免费提供江苏高考、浙江高考复习资料 9.【解析】 利润 L( x) ? 20 x ? C ( x) ? ? 1 ( x ? 18) ? 142? 当 x ? 18 时,有最大值.故选 B
2

2

10. 【 解 析 】 设 P ( x0 , y0 ) , 倾 斜 角 为 ? , y? ? 2 x ? 2 , 则 k ? tan ? ? 2 x0 ? 2 ? ? 0,1? , 解 得

1? ? x0 ? ? ?1, ? ? ,故选 A。 2? ?
二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 11. 200 12. 16 13. -1 14.

3 2 ?1

15. 3 3

11.【解析】200 人,高中生共有 9000 人,抽取 900,抽取比例为

900 ,故 A 类学校中应抽学生 9000

2000 ?

1 ? 200 人。 10

2 12.【解析】 ∵ {an } 是等比数列且 2 ? 8 ? 2 ? 5? ∴ a2 ? a8 ? a5 ? 16 .

13.【解析】由框图知: S ? 2, k ? 1; S ? ?1, k ? 2; S ?

1 , k ? 3; 2

S ? 2, k ? 4; S ? ?1, k ? 5, 不满足条件,输出 S 的值是 ?1 .
14.【解析】直线的直角坐标方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 ,为圆; d 的最大值
2 2

为圆心到直线的距离加半径,即为 d max ?

0?0?6 2

?1 ? 3 2 ?1

15.【解析】连接 CO , AB ? 2r ? 6,? r ? 3 , Rt ?COP 中, ?CPO ? 30? ,故

OP ? 2CO ? 2r ? 6 ,所以 BP ? 6 ? OB ? 3 ,由切割线定理 CP 2 ? BP ? AP ? 27 , ? CP ? 3 3
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: (1)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. ??2 分 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0. 从而 sin C ? cos C. ??4 分 又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则 C ?

? ??6 分 4
?B ?

(2)由(1)知 A ? B ? C ? ? , C ?

?
4

?
4

? ? ? A. ??7 分

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? 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) ? 3 sin A ? cos(? ? A). ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ?

?
6

) ??9 分

?0 ? A ?
从而当 A ?

3? ? ? 11? ,? ? A ? ? , ????????????10 分 4 6 6 12

? ? ? ? ? , 即 A ? 时, 2sin( A ? ) 取最大值 2.?????12 分 6 2 3 6

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由表可知,样本容量为 n ,由

2 25 ? 0.04 ,得 n ? 50 ,由 x ? ? 0.5 ;?3 分 n n
??6 分

y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14 , z ?

y 14 ? ? 0.28 n 50

(2)设样本视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a, b, c ,在(5.1,5.4]的 2 人为 d , e .7 分 由题意从 5 人中任取两人的基本事件如下: (a, d ), (a, e), (b, d ), (b, e), (c, d ), (c, e),

(a, b), (a, c), (b, c), (d , e) ,共有 10 个基本事件???9 分
设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5” ,则事件 A 等价于“抽取两人来自同一组” 包含的基本事件有:

(a, b), (a, c), (b, c), (d , e) ,共有 4 个基本事件
∴ P ( A) ?

??11 分 D

4 2 ? ,故抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5 10 5

的概率为

2 . ??12 分 5

P E C F A B

18. (本小题满分 14 分) (1)证:取 BD 的中点 P ,连接 EP 、 FP ,???? 1 分 则 PF 为中位线, PF / /

1 DC 2

又? EA/ /

1 DC ? EA/ /PF ????3 分 2

故四边形 AFPE 是平行四边形,即 AF / / EP ?5 分 ? EP ? 面 BDE ; AF ? 面 BDE
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? AF / / 面 BDE ???7 分 (2)解:? BA ? AC ,面 ABC ? 面 ACDE 且交于 AC ? BA ? 面 ACDE ,即 BA 就是四面体 B ? CDE 的高, BA ? 2 ???10 分 ? DC ? AC ? 2 AE ? 2, / / CD AE

1 1 ? S梯形ACDE ? ( ? 2) 2 ? 3,S?ACE ? ? 1 ? 2 ? 1 1 ? 2 2
? S?CDE ? 3 ? 1 ? 2 ????????????????????12 分

1 1 4 ? VB-CDE ? ? BA ? S ?CDE ? ? 2 ? 2 ? . ???????????14 分 3 3 3
19.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 解 : 1 ) 直 线 是 函 数 f ? x ? ? ln x 在 点 ?1, 0 ? 处 的 切 线 , 故 其 斜 率 (

k ? f ' ?1? ? 1 ,
∴直线的方程为 y ? x ? 1. 又因为直线与 g ? x ? 的图象相切,且切于点 ?1, 0 ? , ∴ g ? x? ? ???????2 分

1 3 1 2 x ? x ? mx ? n 在点 ?1, 0 ? 的导函数值为 1. 3 2

?m ? ?1 ? g ?1? ? 0 ? ? ?? 1 ,???????4 分 ? ? g ' ?1? ? 1 ?n ? ? 6 ?
∴ g ? x? ?

1 3 1 2 1 x ? x ?x? 3 2 6

?????6 分

(2)? h ? x ? ? f ? x ? ? g ' ? x ? ? ln x ? x ? x ? 1? x ? 0 ?
2

???????7 分

∴ h '? x? ?

? 2 x ? 1? ( x ? 1) 1 1 ? 2 x2 ? x ? 2x ? 1 ? ?? x x x

???????9 分

令 h ' ? x ? ? 0 ,得 x ?

1 或 x ? ?1 (舍)???????10 分 2

当0 ? x ?

1 时, h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 递增; 2
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1 时, h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 递减 2

????12 分

因此,当 x ?

1 1 1 ?1? 时, h ? x ? 取得极大值,? ? h( x) ?极大 ? h ? ? ? ln ? ??14 分 2 2 4 ?2?

20. (本小题满分 14 分) 解 (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 则 b ? 1 . ??????1 分 a 2 b2

令右焦点 F (c, 0)(c ? 0) , 则由条件得 3 ?

|c?0?2 2 | 2

,得 c ?

2 .????3 分

x2 ? y 2 ? 1 .???5 分 那么 a ? b ? c ? 3 ,∴椭圆方程为 3
2 2 2

(2)若直线斜率不存在时,直线即为 y 轴,此时 M , N 为椭圆的上下顶点,

BN ? 0, BM ? 2 ,不满足条件;???6 分
故可设直线: y ? kx ?

3 x2 (k ? 0) ,与椭圆 ? y 2 ? 1 联立, 2 3
2

消去 y 得: 1 ? 3k

?

?x

2

? 9kx ?

15 ? 0 .???7 分 4

由 ? ? ? 9k ? ? 4 1 ? 3k 2 ?
2

?

?

5 15 ? 0 ,得 k 2 ? . ??????8 分 12 4

由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?

9k 1 ? 3k 2
9k 2 ?3 1 ? 3k 2
??????10 分

而 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 3 ? ?

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 的中点 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 由 BN ? BM ,则有 BP ? MN .

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

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k BP

y1 ? y2 9k 2 ?5 ?1 ? y0 ? 1 1 1 ? 3k 2 2 ? ? ? ? ? ??????11 分 x1 ? x2 9k x0 k ? 2 1 ? 3k 2
2

可求得 k ?

2 . 3

??????12 分

检验 k ?
2

2 5 ? ( , ??) 3 12

??????13 分

所以直线方程为 y ? 21. (本小题满分 14 分)

6 3 6 3 x? 或y ? ? x ? .???14 分 3 2 3 2

(1)证明:? an , an ?1 是方程 x 2 ? 2n x ? bn ? 0(n ? N ? ) 两根,? ?

?an ? an ?1 ? 2n ?1 分 ? bn ? an an ?1

1 1 1 an ?1 ? ? 2n ?1 2n ? an ? ? 2n ?1 ?(an ? ? 2n ) 3 3 3 ? ? ? ? ?1 ??3 分 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3
故数列 ? an ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是等比数列,首项 a1 ? ? , 公比为-1 的等比数列??4 分 3 3 3 ?
1 n 1 1 ? 2 ? ? (?1) n ?1 ,即 an ? ? 2n ? (?1) n ? ??5 分 ? 3 3 3?

(2)由(1)得 an ?

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

?

1 1 (2 ? 22 ? 23 ? ? 2n ) ? ?(?1)1 ? (?1) 2 ? (?1)3 ? ? ? (?1) n ? ??6 分 ? ? 3
1 ? 2(1 ? 2n ) ?1[1 ? (?1) n ] ? 1 ? n?1 (?1) n ? 1 ? ? = ?2 ? 2 ? ? ??7 分 3 ? 1? 2 1 ? (?1) ? 3 ? 2 ? ? ?

?

?

=

(3) bn ? an an ?1 ?

1 n 1 ? 2 ? (?1) n ? ? ? 2n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? ? 22 n ?1 ? (?2) n ? 1? ??8 分 ? ? ? ? 9? ? 9
?

要使 bn ? ? S n ? 0 对任意 n ? N 都成立,
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1 2 n ?1 ?? (?1) n ? 1 ? ? n ?2 ? ? ? 2n ?1 ? 2 ? ? (?2) ? 1? 即 ? ? ? 0 (*)对任意 n ? N 都成立 9 3? 2 ?
①当 n 为正奇数时,由(*)得

1 2 n ?1 ? (2 ? 2n ? 1) ? (2n ?1 ? 1) ? 0 9 3



1 n ?1 ? (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n ?1 ? 1) ? 0 9 3

? 2n?1 ? 1 ? 0,

1 ? ? ? (2n ? 1) 对任意正奇数 n 都成立。 3
当且仅当 n ? 1 时, (2 ? 1) 有最小值 1,? ? ? 1
n

1 3

??11 分

②当 n 为正偶数时,由(*)得

1 2 n ?1 ? (2 ? 2n ? 1) ? (2n ?1 ? 2) ? 0 9 3



1 2 n ?1 2? n (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2 ? 1) ? 0 9 3 ?? ? 1 n ?1 (2 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立。 6
??13 分
?

? 2n?1 ? 1 ? 0,

当且仅当 n ? 2 时,

1 n?1 3 3 (2 ? 1) 有最小值 ,? ? ? 6 2 2

综上所述,存在常数 ? ,使得使得 bn ? ? S n ? 0 对任意 n ? N 都成立,

? 的取值范围是 (??,1)

??14 分

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