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云南省玉溪市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷


玉溪一中、玉溪实验中学 高 2017 届高二上学期期中考试

数学试卷
总分:150 分 时间:120 分钟 命题人:王加平

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 a ? (2,?1) ,b ? (?2,3) , 则 a?

2 b ? A. (?2,7) B. (?2,5) C. (0,2)
? ?
? ?

( D. (6,?7)



开始

k ? 0, S ? 0

2. 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 k 的值是 ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

)

S ? 100?




3.设集合 M ? x x ? 2 , P ? x x ? 3 ,那么“ x ? M 或 x ? P ” 是“ x ? M ? P ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. 432(5)

?

?

?

?

S ? S?2

S

输出 k 结束

k ? k ?1

4.把“二进制”数 1011001 ( 2) 化为“五进制”数是 ( A. 224(5) B. 234(5) C. 324(5)

5.用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生随机地从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号),若第 16 组抽 出的号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是( A. 5 B. 6 C. 7 ( D. 3 D. 8 ) )

6.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A.

5 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 6

7.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.
2

( D.

)

1 2
2

B.

1 3

C.

2 3

1 4
)

8.方程 x ? 2ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 则 k 的取值范围是 (

( 1, ? ?) A.

( ,?? ) B.

1 2

(0, ) C.

1 2

( ,1) D.

1 2

9.要得到 y ? 3 sin( 2 x ? A.向左平移

?
4

) 的图象只需将 y ? 3 sin 2 x 的图象(
B.向右平移



? 个单位 4 ? C.向左平移 个单位 8

? 个单位 4 ? D.向右平移 个单位 8
( )

? y ? 2x ? 10.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 x ? 2 y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
A.

9 5

B. ?

5 2

C. 0

D.

5 3

11.已知等差数列 ?an ? 中, S n 是它的前 n 项和,若 S16 ? 0, S17 ? 0 ,则当 S n 最大时, n 的值 为( A.8 ) B.9 C.10 D.16

12.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( ) A. ? a
2

B. ? a

7 3

2

C.

11 2 ?a 3

D. 5? a

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. 函数 f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是



14. 互 不 相 等 的 实 数 a, b, c 成 等 差 数 列 , c, a, b 成 等 比 数 列 , 且 a ? 3 b ? c ?1 0 , 则

a?

.

15. 设 a 、 b 为两个正数,且 a ? b ? 2 ,则

1 1 + 的取值范围是 a b



(0,1) 16.在区间 内随机地取出两个数 x , y ,则 x ? y ?

6 的概率是 5

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
17.(本题 10 分)已知过点 M (?3,?3) 的直线 l 与圆 C : x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 相交于 A, B 两
2 2

点,若弦 AB 的长为 2 15 ,求直线 l 的方程.

2 18. (本题 12 分)设 p :实数 x 满足 x ? 9 x ? 14 ? 0 ;

q :实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 .
(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

19. (本题 12 分)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表 如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

[80,85) 的有几个?
(3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概 率. 20. ( 本题 12 分 ) 已知角 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的内角, a, b, c 分别是其对边长,向量
? ? ? ? A A A m ? (2 3 sin , cos2 ) , n ? (cos ,?2) , m ? n . 2 2 2 (1)求角 A 的大小;

(2)若 a ? 2, cos B ?

3 , 求 b 的长. 3

P

A

B

21. (本题 12 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,

AC ? BC ? 2 , AP ? BP ? AB , BC ? 平面PAC .
(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的正弦值.

22. (本题 12 分)已知数列 {an } 的各项均为正数, 观察程序框图,若 a1 ? 3 , k ? 3 时,有 S ? (1)求数列 {an } 的通项; (2)令 bn ? 2an ,求 b1 ? b2 ? ? ? bm 的值.

开始 输入 a1 , d , k

1 9

S ? 0, M ? 0, i ? 1
i ? k?
是 否

ai?1 ? ai ? d
M? 1 ai ?1ai

输出 S

结束

S ?S?M i ? i ?1 玉溪一中、玉溪实验中学 高 2017 届高二上学期期中考试

数学答案
一、选择题: 题 号 答 案 1 D 2 B 3 B 4 C 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 1 0 D 1 A 1 2 B 1

二、填空题: 1 13. ( ? ,1) 3

14. ? 4

15. [2,??)

16.

17 25

三、解答题: 17.(本题 10 分)解:若直线 l 的斜率不存在,则 l 的方程为 x ? ?3 , 此时有 y 2 ? 4 y ? 12 ? 0 ,弦 | AB |?| yA ? yB |? 2 ? ? ?6? ? 8 ,则不合题意.

? 设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 3? .
即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 . ?????????????????3 分
2

将圆的方程写成标准式得: x 2 ? ? y ? 2 ? ? 25 ,则圆心 C ? 0, ?2? , 半径 r ? 5 ,圆心 C ? 0, ?2? 到直线 l 的距离 d ?
| 3k ? 1| k 2 ?1



由勾股定理可知:
2

? 15 ?

2

? 3k ? 1? ?
k 2 ?1

2

? 25 .

????????8 分

即 ? k ? 3? ? 0 ,? k ? ?3 .

? 所求直线 l 的方程为 3x ? y ? 12 ? 0 .

?????????10 分

18.(本题 12 分)解:(1) 由 x 2 ? 9 x ? 14 ? 0 ,得 2 ? x ? 7 ,

? 当 p 为真时,实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 7 ; ?????? 2 分
由 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 得 ( x ? 3a)(x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,

? a ? x ? 3a ,当 a ? 1 时, 1 ? x ? 3 ,
即 q 为真时,实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 3 ; ?????? 4 分 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,

? 实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .

?????????? 6 分
q,

(2) ? q 是 p 的充分不必要条件,即 q ? p ,且 p 设 A ? {x a ? x ? 3a} , B ? {x 2 ? x ? 7} ,则 A
B.

???9 分

?a ? 2 7 则? , 即 2?a? , 3 ?3a ? 7
所以实数 a 的取值范围是 2 ? a ?
7 . 3

????????12 分

19. (本题 12 分)解:(1)重量在 ?90,95? 的频率为:

20 ? 0.4 ;??3 分 50

(2)若采用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个, 则重量在 ?80,85? 的个数为:
5 ? 4 ? 1 ;????6 分 5 ? 15

(3) 设在 ?80,85? 中抽取的一个苹果为 x , 在 ?95,100? 中抽取的三个苹果分别为
a, b, c

, 从 抽 出 的

4

个 苹 果 中 , 任 取

2

个 共 有

( x, a ) , ( x, b) , ( x, c) , ( a, b) , ( a, c) , (b, c) 6 种情况.

?????9 分

其中符合

“ 重 量 在 ?80,85? 和 ?95,100? 中 各 有 一 个 ” 的 情 况 共 有

(x , a ) , x ( b , )x ,( , ; ) 设“抽出的 4 个苹果中 , 任取 2 个 , 重量在 ?80,85? 和 3c 种

?95,100?
P ( A) ?

中 各 有 一 个 ” 为 事 件 A , 则 事 件 A 的 概 率 ???????????????????12 分

3 1 ? . 6 2

20. (本题 12 分)解: (1)? m ? (2 3 sin

?

? ?? ? A A A , cos 2 ) , n ? (cos ,?2) , m ? n 2 2 2

?? ? ? A A? ? A ? ? m ? n ? ? 2 3 sin ,cos 2 ? ? ? cos , ?2 ? ? 3 sin A ? ? cos A ? 1? ? 0, 2 2? ? 2 ? ?

?? 1 ? ? 3 sin A ? cos A ? 1 ,? sin? A ? ? ? , 6? 2 ?
? 0 ? A ? ? ,? ?

????????4 分

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ? ,? A ? ? ,? A ? .??6 分 3 6 6 6

(2)在 ?ABC 中,? cos B ? 又? A ?

3 3

? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ?
a b ? , sin A sin B

1 6 ? 3 3
??10 分

?
3

, a ? 2 ,且由正弦定理知:
2?

a sin B =? ?b ? sin A

6 3 ? 4 2 .? b ? 4 2 . 3 3 3 2

??????12 分

P

21. (本题 12 分)解: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD .

A

D

B

? AP ? BP ,? PD ? AB . ? AC ? BC ,? CD ? AB .

????3 分

? PD ? CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .
? PC ? 平面 PCD , ? PC ? AB .???6 分

(Ⅱ)取 AP 中点 E .连结 BE,CE .

P E

? AB ? BP ,? BE ? AP
? BC ? 平面PAC ,? BC ? AP
又? BE ? BC ? B ,? AP ? 平面BEC ,
A B

? AP ? EC . ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.????9 分 ? BC ? 平面PAC ,? BC ? AC
又? AC ? BC ? 2 ,? AB ? 2 2

C

? AP ? BP ? AB , ? BE ?

3 AB ? 2

6

? BC ? 平面PAC ,? BC ? CE ,? ?BCE ? 90?
? 在 △BCE , sin ?BEC ?
BC 6 ? . BE 3

? 二面角 B ? AP ? C 的正弦值为 6 . ?????????12 分 3
22. (本题 12 分)解:(1)由程序框图可知:
S? 1 1 1 且 {an } 是等差数列,公差为 d , ? ??? a1 a 2 a 2 a3 a k a k ?1 1 1 1 1 ? ( ? ) a k a k ?1 d a k a k ?1
1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ?? ? ? ) d a1 a2 a2 a3 ak ak ?1
1 1 1 ( ? ) d a1 ak ?1

则有

? S?
?

??????????????????3 分
1 9

? 若 a1 ? 3 ,k=3 时,有 S ?

?

1 1 1 1 ( ? )? d a1 a4 9

得d ? 2

故 an ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

??????????????6 分 ??????8 分

(2)? bn ? 2an , an ? 2n ? 1 b ? bn ? 2 2n?1

? b1 ? b2 ? ? ? bm
? 23 ? 25 ? ? ? 2 2 m ?1 23 ? 2 2 m ?1 ? 2 2 1? 4 2 m ?3 2 ?8 ? 3 ??????????????????12 分 ?


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