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椭圆 双曲线 经典结论总结11


椭圆 双曲线 经典结论总结
数学王老师课堂 内部资料 内部学习使用 QQ:119 3858 004 手机:136 0634 0917 一.切线问题(一) 1.若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆
x a
2 2

? x a

y b
2 2

2 2

? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 y b
2 2

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?1.

2.若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
x0 x a
2

?

? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是

?

y0 y b
2

?1.

二. 切线问题(二)
? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点 2 2 a b x x y y 弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b

3.若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆

x

2

?

y

2

4.若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点
x0 x a
2

为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是

?

y0 y b
2

?1

三.面积 5. 椭 圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a> b> 0)的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F 2 , 点 P 为 椭 圆 上 任 意 一 点
2

? F1 PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S ? F1 PF2 ? b tan

?
2

.

6.双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点
b
2

? F1 PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S ? F1 PF2 ?

tan

?
2

1

四.焦半径 7.椭圆
? 1 (a>b>0)的焦半径公式: 2 2 a b | MF1 |? a ? ex 0 , | MF2 |? a ? ex 0 ( F1 ( ? c , 0) , F2 ( c , 0) M ( x 0 , y 0 ) ). ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 ( ? c , 0) , F2 ( c , 0) 2 2 a b 当 M ( x 0 , y 0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex 0 ? a , | MF2 |? ex 0 ? a . x
2

x

2

?

y

2

8.双曲线

?

y

2

当 M ( x 0 , y 0 ) 在左支上时, | MF1 |? ? ex 0 ? a , | M F2 |? ? ex 0 ? a

五.中点弦 9.AB 是 椭 圆
k O M ? k AB ? ? b a
2 2

x a
2 2

2 2

?

y b

2 2

? 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 , 则

, .
2 2

即 K AB ? ?

b x0 a y0

10.AB 是双曲线

x a

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中

点,则 K OM ? K AB ?

b x0 a y0
2

2

,即 K AB ?

b x0 a y0
2

2



六.离心率
x a
2 2

11.设椭圆

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意
? PF1 F2 ? ? , ? F1 F2 P ? ? , 则 有

一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ? F1 PF2 ? ? ,
sin ? sin ? ? sin ? ? c a ? e.

2

12.设双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线

上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ? F1 PF2 ? ? , ? PF1 F2 ? ? , ? F1 F2 P ? ? , 则 有
sin ? sin ? ? sin ? ? c a ?e.

七.焦半径之积 13.设 P 点是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记

? F1 PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?

2b

2

1 ? cos ?

.

14.设 P 点是双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记
2b
2

? F1 PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?

1 ? cos ?

..

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