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选修4-4坐标系与参数方程-高考题-分类汇总-(题目和答案)


坐标系与参数方程 1 、( 2011 天 津 ) 下 列 在 曲 线 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

?x= 2cosθ , ? ?y= 2sinθ

(θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________.
?x=t+1, ? ? ?y=1-2t

18.(2011·广东理)已知两曲线

参数方程分别为? 5 ? ?x= t2 (0≤θ <π )和? 4 ? ?y=t

?x= 5cosθ ?y=sinθ

? x ? sin 2? 上的点是( (? 为参数) ? ? y ? cos ? ? sin ?
A、 ( , ? 2)



? 9. N3[2012· 湖南卷] 在直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1: ?x=asinθ , ? (t 为参数)与曲线 C2:? ? ?y=3cosθ

(t∈R),它们的交点坐标为________.

1 2

B、错误!未找到引用源。 ( , ) D、 (1, 3)

3 1 4 2

C、错误!

(θ 为参数,a>0)有一个公共点

在 x 轴上,则 a=________. 10.N3[2012·湖北卷]在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的 ?x=t+1, ? π 正半轴为极轴建立坐标系.已知射线θ = 与曲线? (t 2 4 ? ?y=?t-1? 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为________.

未找到引用源。 (2, 3)

? ?? 2、(2011·安徽理,5)在极坐标系中点 ? 2, ? 到圆ρ =2cosθ 的圆心的 ? 3?
距离为( A.2 B. ) π 4+ 9
2

C.

π 1+ 9

2

D. 3

3、(2011·北京理,3)在极坐标系中,圆ρ =-2sinθ 的圆心的极坐标 是( ) π B.(1,- ) 2 C.(1,0) D.(1,π )
? ?x=-1-t ?y=2+3t ?

π A.(1, ) 2

4 、 (2010 ·湖南卷 ) 极坐标方程ρ = cos θ 和参数方程? 为参数)所表示的图形分别是( )

(t

11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 ?x= 5cos θ xOy 中 , 曲 线 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 为 ? ?y= 5sin θ 2 x=1- t 2 ?θ 为参数,0≤θ ≤π ?和 (t 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交 ? ? 2? ? 2 y=- t 2 点坐标为__________.

? ? ? ? ?

19、 【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013 届高三上学期第一次联考】 已知在直角坐标系错误!未找到引用源。中,直线错误!未找到引用源。 的参数方程为错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为参数) , 在极坐标系(与直角坐标系错误!未找到引用源。取相同的长度单位, 且以原点错误!未找到引用源。为极点,以错误!未找到引用源。轴正 半轴为极轴)中,曲线错误!未找到引用源。的极坐标方程为错误!未 找到引用源。. ①求直线错误!未找到引用源。普通方程和曲线错误!未找到引用源。 的直角坐标方程; ②设点错误!未找到引用源。是曲线错误!未找到引用源。上的一个动 点,求它到直线错误!未找到引用源。的距离的取值范围.

12. 【广东省珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试】在极坐标系中,圆 D.直线、直线

A.圆、直线 B.直线、圆 C. 圆、圆

5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ -1)(θ -π )=0(ρ ≥0)表示的图 形是( )

? ? 2 cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________.
13、(2011·陕西理,15)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正
? 半轴为极轴建立极坐标系, 设点 A, B 分别在曲线 C1: ? ?x=3+cosθ ?y=4+sinθ ?

A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 π 6. N3[2012· 安徽卷] 在极坐标系中, 圆ρ =4sinθ 的圆心到直线θ = 6 (ρ ∈R)的距离是________.
? ?x=2+t, ?y=-1-t ?



20、(2012·高考课标全国卷)
已知曲线 C1 的参数方程是?
? ?x=2cosφ , ?y=3sinφ , ?

为参数)和曲线 C2:ρ =1 上,则|AB|的最小值为________. 14、 N3 [2012·陕西卷]直线 2ρ cosθ =1 与圆ρ =2cosθ 相交的弦长

(φ 为参数),以坐标原点为

7 . N3[2012 · 北 京 卷 ] 直 线 ?
? ?x=3cosα , ? ? ?y=3sinα

(t 为 参 数 ) 与 曲 线

为________. 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中,曲线 C1:ρ ( 2·cos θ +sin

(α 为参数)的交点个数为________.

θ )=1 与曲线 C2:ρ =a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a=__________. 17.(2011·天津理,11)已知抛物线 C 的参数方程为?
?x=8t , ? ? ?y=8t,
2 2

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是ρ =2, 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 依逆时针次序排列,点 A π 的极坐标为(2, ). 3 (Ⅰ) 求点 A、B、C、D 的直角坐标; 2 2 2 2 (Ⅱ) 设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值 范围.

8.N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy ?x=t, 中 , 曲 线 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 为 ? (t 为 参 数 ) 和 ?y= t

(t 为
2

参数),若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点,且与圆(x-4) +y =

r2(r>0)相切,则 r=________.

π? ? 25、C.N3[2012·江苏卷]在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? 2, ?, 4? ? 23、(2011·新课标理,23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 21、(2012·高考辽宁卷) 2 2 2 2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2:(x-2) +y =4. (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.
? ?x=2cosα , ? ?y=2+2sinα . ?

π? 3 ? 圆心为直线ρ sin?θ - ?=- 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 3? 2 ?

→ → (α 为参数).M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=2OM,P

点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ = 3 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

22、(2011·福建理,21) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程

24、 .(2010·辽宁理,23)已知 P 为半圆 C:?

?x=cosθ ? ?y=sinθ ?

(θ 为参数,0

?x= 3cosα , 为? ?y=sinα

≤θ ≤π )上的点,点 A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点 M 在射线 OP (α 为参数). π 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程.

26、B. N3 [2012·福建卷]在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分 ?x=2+2cosθ , ?2 3 π ? 别为(2,0),? (θ 为 , ?,圆 C 的参数方程为? 2? ? 3 ?y=- 3+2sinθ 参数). (1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原 π 点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ),判断 2 点 P 与直线 l 的位置关系; (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

选择题:1-5CDBAC 2、[答案] D π? π π [解析] 极坐标? ?2,3?化为直角坐标为 2cos3,2sin3,即(1, 3),圆的极 坐标方程 ρ=2cosθ 可化为 ρ2=2ρcosθ,化为直角坐标方程为 x2+y2-2x =0,即(x-1)2+y2=1,所以圆心坐标为(1,0),则由两点间距离公式 d= ?1-1?2+? 3-0?2= 3,故选 D. 3、[答案] B [解析] 由 ρ=-2sinθ 得:ρ =-2ρsinθ, ∴x2+y2=-2y,即 x2+(y+1)2=1, π ∴圆心直角坐标为(0,-1),极坐标为(1,- ),选 B. 2 4、[答案] A [解析] 将题中两个方程分别化为直角坐标方程为 x2+y2=x,3x+y+1= 0,它们分别表示圆和直线. 5、[答案] C [解析] 由(ρ-1)(θ-π)=0 得 ρ=1 或者 θ=π, 又 ρ≥0, 故该方程表示的 图形是一个圆和一条射线.
2

法一:圆心到直线的距离为 d= 案为 2.

|1| 1 = <3,所以直线与圆相交,答 2 2

3 =2ρcosθ,即 x2+y2=2x②,联立①②得 y=± ,所以弦长为 3. 2

?x2+y2=9, ? 法二:联立方程组? 消去 y 可得 x2-x-4=0,Δ>0,所 ? x + y = 1 , ?

15、

2 2

把曲线 C1、C2 化成普通方程得 C1: 2x+y=1,C2:x +y

2

2

以直线和圆相交,答案为 2. 8.(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化,突 破口是把参数方程转化为直角坐标方程,利用方程思想解决,C1 的直角 坐标方程为:y2=x(x≥0),C2 的直角坐标方程为:x2+y2=2,联立方程 2 ? ? ?y =x, ?x=1, ? 得: 2 2 解得? 所以交点坐标为(1,1). ?x +y =2, ?y=1, ? ? 3 9. [解析] 考查直线与椭圆的参数方程,此类问题的常规解法是把 2 参数方程转化为普通方程求解,此题的关键是,得出两曲线在 x 轴上的 一个公共点,即为曲线 C1 与 x 轴的交点,化难为易. ?x=t+1, ? 曲线 C1:? (t 为参数)的普通方程是 2x+y-3=0,曲线 ?y=1-2t ? x2 y2 C2 的普通方程是 2+ =1,两曲线在 x 轴上的一个公共点,即为曲线 C1 a 9 ?3?2 2 ?2? 0 3 3 ? 与 x 轴的交点? ?2,0?,代入曲线 C2,得 a2 + 9 =1,解得 a=2. 5 5? 10. ? ?2,2?

1 2 2 2 =a ,令 y=0,解得 a = ? a= (a>0). 2 2 17、[答案] [解析] 2

2 ? ?x=8t 根据抛物线 C 的参数方程? ,得出 y2=8x,得出抛物 ?y=8t ?

线焦点坐标为(2,0),所以直线方程:y=x-2,利用圆心到直线距离等于 半径,得出 r= 2 = 2. 2

2 5? 18、答案] ?1, 5 ? ? [解析] 1(0≤y≤1), 5 ? ?x=4t2 而? 5 化为普通方程为 x = y2 ,由 4

?x= 5cosθ (0≤θ≤π) ? ?y=sinθ

化为普通方程为

x2 + y2 = 5

填空题:
6: 3 14: 3 15: 2 2 5? 、16:17: 218:?1, 5 ? 2 ? 3 3.7 :2 8:(1,1) 9: 2 5 5? 10:? ?2,2? 11:(2,1) 12:1 、13:

?x=t+1, [ 解析 ] 曲线 ? ?y=(t-1)2
π

化为直角坐标方程是 y =

(x-2)2, 射线 θ= 化为直角坐标方程是 y=x(x≥0).联立? 4
2

?y=(x-2)2, ?y=x(x≥0),

? ?y=t

? ? 5 ?x=4y

x2 2 +y =1?0≤y≤1? 5
2



消去 y 得 x -5x+4=0,解得 x1=1,x2=4.所以 y1=1,y2=4.故线段 AB x1+x2 y1+y2? ?5,5? 的中点的直角坐标为? ? 2 , 2 ?,即?2 2?. 11、(2,1) 曲线 C1 的方程为 x +y =5(0≤x≤ 5),曲线 C2 的方 2 2 ? ?x +y =5 程为 y=x-1,则? ? x=2 或 x=-1(舍去),则曲线 C1 和 C2 的 ?y=x-1 ? 交点坐标为(2,1). 12、答案: 1
2 2

x=1 ? ? ? 2 5 , ?y= 5 ? 2 5? 即交点坐标为?1, . 5 ? ?

6. 3 [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化,圆的方程,点到直线 的距离. ? ?x=ρcosθ, 应用极坐标与直角坐标的互化公式? 将圆 ρ=4sinθ 化 ?y=ρsinθ ? π 3 为直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 直线 θ= 化为直角坐标方程为 y= 6 3 3 x.因为 x2+(y-2)2=4 的圆心为(0,2),所以圆心(0,2)到直线 y= x, 3 |2×(-3)| 即 3x-3y=0 的距离为 d= = 3. ( 3)3+32 7.2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系,考查参数方程和普通 方程之间的转化等基础知识,考查数形结合思想的运用. 方程转化为普通方程,直线为 x+y=1,圆为 x2+y2=9,

解答题:
19、 【答案】①直线错误!未找到引用源。的普通方程为:错误!未找到 引用源。. …………………2 分 曲线错误! 未找到引用源。 的直角坐标方程为: 错误! 未找到引用源。 【或 错误!未找到引用源。】. …………………4 分 ②曲线错误!未找到引用源。的标准方程为错误!未找到引用源。,圆心 错误!未找到引用源。,半径为 1; ∴圆心错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。的距离为:错误! 未找到引用源。 …………………6 分 所以点错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。的距离的取值 范围是错误!未找到引用源。 ………………7 分 20、解:(Ⅰ)由已知可得

13、[答案] 3 [解析] C1 为圆(x-3)2+(y-4)2=1,C2 为圆 x2+y2=1.∴|AB|min= 32+42-1-1=3. 14、C. 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识,解题的突破口 为把极坐标化为直角坐标.由 2ρcosθ=1 得 2x=1①,由 ρ=2cosθ 得 ρ2

π π π π π π 3 3 3 2 3 2 π π 3π π 3π +π),2sin( +π)),D(2cos( + ),2sin( + )), 3 3 2 3 2

A(2cos ,2sin ),B(2cos( + ),2sin( + )),C(2cos(

π 3

π 由此得,当 cos(α+ )=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. 6 x y? 23、[解析] (1)设 P(x,y),则由条件知 M? ?2,2?.由于 M 点在 C1 上,

即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (Ⅱ)设 P(2cosφ,3sinφ), 2 2 2 2 令 S=|PA| +|PB| +|PC| +|PD| ,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16 2 =32+20sin φ. 2 因为 0≤sin φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52].

?2=2cosα, 所以? y ?2=2+2sinα,

x

?x=4cosα, ? 即? ? ?y=4+4sinα.

2 3? (2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, , 3 ? ? 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2, |2 3-3 3-2 3| 3 圆心到直线 l 的距离 d= = <r,故直线 l 与圆 C 2 3+ 9 相交.

21、解:(Ⅰ)圆 C1 的极坐标方程为ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程ρ=4cosθ. ? ?ρ=2 π 解? ,得ρ=2,θ=± , 3 ?ρ=4cosθ ?
π π 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为(2, ),(2,- ). 3 3 注:极坐标系下点的表示不唯一. ?x=ρcosθ ? (Ⅱ)法一:由? ,得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, ? ?y=ρsinθ 3),(1,- 3). ? ?x=1 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ,- 3≤t≤ 3. ?y=t ? ? ?x=1 (或参数方程写成? ,- 3≤y≤ 3) ?y=y ? ? ?x=ρcosθ 法二:将 x=1 代入? ,得ρcosθ=1, ?y=ρsinθ ? 1 从而ρ= . cosθ ?x=1 ? 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? , ? ?y=tanθ π π - ≤θ≤ . 3 3 π 22、[解析] (1)把极坐标系的点 P(4, )化为直角坐标,得 P(0,4), 2 因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3cosα,sinα), 从而点 Q 到直线 l 的距离 π 2cos?α+ ?+4 6 | 3cosα-sinα+4| d= = 2 2 π = 2cos(α+ )+2 2, 6

? ?x=4cosα, 从而 C2 的参数方程为? (α 为参数) ?y=4+4sinα. ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ= 8sinθ. π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3 π π 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3. π π 24、[解析] (1)由已知,M 点的极角为 ,且 M 点的极径等于 , 3 3 π π? 故点 M 的极坐标为? ?3,3?. π 3π? (2)M 点的直角坐标为? , ,A(1,0),故直线 AM 的参数方程为 ?6 6 ?

? ?x=1+? ?6-1?t, ? 3π ?y= 6 t,

π

(t 为参数).

π? 3 25、C.解:在 ρsin? ?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1, 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π? 因为圆 C 经过点 P? ? 2,4?, π 所以圆 C 的半径 PC= ? 2?2+12-2×1× 2cos =1, 4 于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ.

?0,2 3?, 26B. 解: (1)由题意知, M, N 的平面直角坐标分别为(2,0), 3 ? ? 3 又 P 为线段 MN 的中点,从而点 P 的平面直角坐标为?1, ?,故 3? ? 3 直线 OP 的平面直角坐标方程为 y= x. 3


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