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2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及参考答案


2010 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高一年级)
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;第 9 小 题 4 分一档,第 10、11 小题 5 分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档 次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分. 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 )
1.设集合 E = ? x | sin x |= 2.已知函数 f ( x ) =

? ?

π 4π ? 1 , x ∈ (? , )? ,则 E 的真子集的个数为 15 2 3 3 ?
5 .



6x + b 9 的最大值为 ,则实数 b = 2 4 x +4

3.若 | lg ? |< 1 ,则使函数 f ( x ) = sin( x ? ? ) + cos( x ? ? ) 为奇函数的 ? 的个数为 3 . 4.在△ ABC 中,已知 ∠B 的平分线交 AC 于 K.若 BC=2,CK=1, BK =

3 2 ,则 2

△ ABC 的面积为

15 7 16



5.数列 {a n } 满足: a1 = 1, a 2 = 3 ,且 a n + 2 =| a n +1 | ? a n ( n ∈ N ) .记 {a n } 的前 n 项
*

和为 S n ,则 S100 =

89



6.已知 OA = a , OB = b ,过 O 作直线 AB 的垂线,垂足为 P .若 | a |= 3, | b |=

3,

∠AOB =

π
6

, OP = x a + yb ,则 x ? y =

-2



7.已知实数 x, y , z 满足 xyz = 32 , x + y + z = 4 ,则 | x | + | y | + | z | 的最小值为 . 8. 将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上, 且任意三个相邻的数之和不小于 58.所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 26 . 12

二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
9.已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c 的图象经过点 ( ?2,0) ,且不等式

2 x ≤ f ( x) ≤

1 2 x + 2 对一切实数 x 都成立. 2

(1)求函数 f (x ) 的解析式; (2)若对一切 x ∈ [?1,1] ,不等式 f ( x + t ) < f ( ) 恒成立,求实数 t 的取值范围. 解(1)由题设知, 4a ? 2b + c = 0 . 令 2x = ①

x 2

1 2 1 x + 2 , 解 得 x = 2 , 由 题 意 可 得 2 × 2 ≤ f ( 2) ≤ × 2 2 + 2 , 即 2 2


4 ≤ f (2) ≤ 4 ,所以 f (2) = 4 ,即 4a + 2b + c = 4 .
由①、②可得 c = 2 ? 4a, b = 1 .

……………………4 分

又 f ( x ) ≥ 2 x 恒 成 立 , 即 ax 2 + (b ? 2) x + c ≥ 0 恒 成 立 , 所 以 a > 0 , 且

? = (b ? 2) 2 ? 4ac ≤ 0 ,即 (1 ? 2) 2 ? 4a (2 ? 4a ) ≤ 0 ,所以 a =
因此函数 f ( x ) 的解析式为

1 ,从而 c = 2 ? 4a = 1 . 4

f ( x) =

1 2 x + x + 1. 4

……………………8 分
2

x 1 1? x? x (2)由 f ( x + t ) < f ( ) 得 ( x + t ) 2 + ( x + t ) + 1 < ? ? + + 1 , 2 4 4? 2? 2
整理得 ( x + 2t )( x + 当 ? 2t < ?

2t + 8 2t + 8 即 t > 2 时, ? 2t < x < ? ,此不等式对一切 x ∈ [?1,1] 都成立 3 3 ?? 2t < ?1 ? 的充要条件是 ? 2t + 8 ,此不等式组无解. ? >1 ? 3 ? 2t + 8 当 ? 2t = ? 即 t = 2 时, ( x + 2t ) 2 < 0 ,矛盾. ……………………12 分 3 2t + 8 2t + 8 当 ? 2t > ? 即 t < 2 时, ? < x < ?2t ,此不等式对一切 x ∈ [?1,1] 都成立 3 3

2t + 8 ) < 0. 3

? 2t + 8 5 1 ?? < ?1 的充要条件是 ? ,解得 ? < t < ? . 3 2 2 ?? 2t > 1 ?
综合可知,实数 t 的取值范围是 ? ?

1? ? 5 , ? ?. 2? ? 2 1 ,且 4

……………………16 分

10.已知数列 {a n } 中, a1 = 1, a 2 =

a n+1 =

(n ? 1)a n n ? an

(n = 2,3,4,L) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ∈ N ,有
*

∑a
k =1

n

2 k

<

7 . 6

解 (1)由已知,对 n ≥ 2 有

1 a n +1

=

n ? an n 1 , = ? (n ? 1)a n (n ? 1)a n n ? 1

两边同除以 n,得

1 1 1 = ? , na n +1 (n ? 1)a n n(n ? 1)



1 1 1 1 ? = ?( ? ), na n +1 (n ? 1)a n n ?1 n
n ?1

……………………5 分

于是,

n ?1 ? 1 ? 1 1? 1 ? 1 ? = ?∑ ? ∑ ? ka (k ? 1)a ? k =2 ? k ? 1 ? k ? = ?(1 ? n ? 1) , ? k =2 ? k +1 k ?



1 1 1 ? = ?(1 ? ), n ≥ 2 , (n ? 1)a n a 2 n ?1 1 1 1 3n ? 2 1 = ? (1 ? )= , an = ,n ≥ 2 . (n ? 1)a n a 2 n ?1 n ?1 3n ? 2

所以

又 n = 1 时也成立,故 a n = (2)当 k ≥ 2 ,有
2 ak =

1 ,n ∈ N*. 3n ? 2

……………………10 分

1 1 1 1 1 < = ( ? ) ,………………15 分 2 (3k ? 4)(3k ? 1) 3 3k ? 4 3k ? 1 (3k ? 2)

所以 n ≥ 2 时,有

∑a
k =1

n

2 k

n 1? 1 1 1 1 1 1 ? = 1 + ∑ a k2 < 1 + ?( ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) 3? 2 5 5 8 3n ? 4 3n ? 1 ? ? k =2

1?1 1 ? 1 7 = 1+ ? ? ? < 1+ = . 3 ? 2 3n ? 1 ? 6 6
又 n = 1 时, a1 = 1 <
2

7 . 6

故对一切 n ∈ N ,有
*

∑a
k =1

n

2 k

<

7 . 6

……………………20 分

11.设 P = x + 6 x + 11x + 3 x + 31 ,求使 P 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

解 P = ( x 2 + 3 x + 1) 2 ? 3( x ? 10) . 所以,当 x = 10 时, P = 131 是完全平方数.
2

……………………5 分

下证没有其它整数 x 满足要求. (1)当 x > 10 时,有 P < ( x + 3 x + 1) ,
2 2

又 P ? ( x + 3 x ) = 2 x + 3 x + 31 > 0 ,所以 P > ( x + 3 x ) ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 从而 ( x + 3 x ) < P < ( x + 3 x + 1) .

又 x ∈ Z ,所以此时 P 不是完全平方数.
2 2 2

……………………10 分

(2)当 x < 10 时,有 P > ( x + 3 x + 1) .令 P = y , y ∈ Z , 则 | y |>| x 2 + 3 x + 1 | ,即 | y | ?1 ≥| x 2 + 3 x + 1 | , 所以 y 2 ? 2 | y | +1 ≥ ( x 2 + 3 x + 1) 2 , 即

? 3( x ? 10) ? 2 | x 2 + 3 x + 1 | +1 ≥ 0 .

解此不等式,得 x 的整数值为 ± 2,±1,0,?3,?4,?5,?6 ,但它们对应的 P 均不是完全平 方数. 综上所述,使 P 为完全平方数的整数 x 的值为 10.

……………………20 分


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