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正弦定理和余弦定理试题答案


正弦定理和余弦定理试题 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 60 分,将正 确答案的代号填在题后的括号内.) 1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( 2 2 A.- 3 D. 6 3 2 2 B. 3 C.- 6 3 )

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2 = 3b

c,sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° B.60° ) C.120° D.150°

3.(2010·江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点, 则 tan∠ECF=( 16 A. 27 ) 2 B. 3 C. 3 3 3 D. 4

? π? 4.△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈?0, ?,则 2? ?

△ABC 的形状是( A.等边三角形 角三角形

) B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直

7、若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? ,则 sin A ? cos A ? A.
15 3

2 3

B. ?

15 3

C.

5 3

D. ?

5 3

9 、 ABC 的 三 内 角 A, B, C 所 对 边 的 长 分 别 为 a, b, c 设 向 量
p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为

(A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

10、已知等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A 的正切值是( A.
3 2



B. 3

C.

15 8

D.

15 7

11、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等 比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? A.
1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.
? 3

2 3

12、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= ,a= 3 ,b=1, 则 c= (A) 1 (B)2 (C) 3 —1 (D) 3

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题后的横线上.)
A 13 、 在 ?ABC 中 , 若 s i n : sBi n C :? s i n 5则 : 7? :B 8的大小是 ,

___________. 14、 在 ? ABC 中, 已知 a ?
3 3 , b=4, A=30°, 则 sinB= 4

.

15、在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 三、解答题:(17-21 题 12 分,22 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 1 17。 、已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=a + tanA

b

1 ,求内角 C. tanB

18、在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA =(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求 A 的大小;(2)若 sinB+sinC= 1,试判断△ABC 的形状.

19、如图,在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,

AC=14,DC=6,求 AB 的长.

20、已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ?sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 22、 某海轮以 30 海里/小时的速度航行,在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60 ? , 向北航行 40 分钟后到达 B 点, 测得油井 P 在南偏东 30 ? , 海轮改为北偏东 60 ? 的航向再行驶 80 分钟到达 C 点,求 P、C 间的距 离.
1 6

1.解析: 依题意得 0°<B<60°, 由正弦定理得 = 得 sinB= sinA sinB 3 6 ,cosB= 1-sin2B= ,选 D. 3 3

a

b

bsinA = a

b2+c2-a2 2.解析: 由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b,由余弦定理得 cosA= 2bc
- 3bc+c2 3 = = ,于是 A=30°,故选 A. 2bc 2 1 2 3.解析:设 AC=1,则 AE= EF=FB= AB = ,由余弦定理得 CE =CF= 3 3

AE2+AC2-2AC·AEcos45°=
所以 tan∠ECF= lgsinB=lg

5 CE2+CF2-EF2 4 ,所以 cos∠ECF= = , 3 2CE·CF 5

sin∠ECF a 4.解析: ∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2, ∴lg = cos∠ECF c

2 a 2 .∴ =sinB= . 2 c 2

π? π a2+c2-b2 3a2-b2 2 ? ∵B∈?0, ?,∴B= ,由 c= 2a, 得 cosB= = = . 2 2? 4 2ac 2 ? 2 2a ∴a2=b2,∴a=b. ?4? 1-? ?2 ?5? 3 = . 4 4 5 答案:D



答案:D

7.解:由 sin2A=2sinAcosA?0,可知 A 这锐角,所以 sinA+cosA?0, 5 又 (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? sin 2 A ? ,故选 A 3 9.【解析】 p // q ? (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a) ? b2 ? a2 ? c2 ? ab ,利用余弦定理可得
2 cos C ? 1 ,即 cos C ?
1 ? ? C ? ,故选择答案 B。 2 3

10.D 11.解: ?ABC 中,a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 b= 2 a,

cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 a2 ? 4a2 ? 2a2 3 = ? ,选 B. 2ac 4a2 4

12.解:由正弦定理得 sinB=

1 ,又 a?b,所以 A?B,故 B=30?,所以 C=90?, 2

故 c=2,选 B 13.解: sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ?a?b?c=5?7?8 设 a=5k,b=7k,c=8k 由余 ? 弦定理可解得 ? B 的大小为 . 3 1 1 17.解:由 a+b=a +b 及正弦定理得 sinA+sinB=cosA+cosB, tanA tanB 即 sinA-cosA=cosB-sinB, 从而 sinAcos sinBcos π , 4 又 0<A+B<π , 故 A- π π = -B,A+B 4 4 π π π -cosAsin =cosBsin - 4 4 4

π? ? ?π ? 即 sin?A- ?=sin? -B?. 4? ? ?4 ? π = , 2 所以 C= π . 2

18.解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2 +c2+bc. 1 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,故 cosA=- ,又 A∈(0,π ),故 A 2 =120°. (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 1 =sinC= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C.所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 又 sinB+sinC=1,得 sinB

AD2+DC2-AC2 100+36-196 1 cos∠ADC= = =- , 2AD·DC 2×10×6 2
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°. =60°, 3 10× 2 AB AD AD·sin∠ADB 10sin60° 由正弦定理得 = , ∴AB= = = sin∠ADB sinB sinB sin45° 2 2 =5 6. 在△ABD 中,AD=10,B=45°,∠ADB

22.解:如图,在△ABP 中,AB = 30× ∠APB = 30 ? ,∠BAP = 120 ? , 由正弦定理,得:

40 = 20, 60

AB BP 20 BP = ,即 = ,解得 BP = 20 3 . 1 sin ?BPA sin ?BAP 3 2 2
80 = 40, 60

在△BPC 中,BC = 30×

由已知∠PBC = 90 ? ,∴PC = PB2 ? BC 2 = (20 3 ) 2 ? 20 2 = 20 7 (海里). 所以 P、C 间的距离为 20 7 海里.


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