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安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试卷 文


安徽省安庆市慧德中学 2015-2016 学年高二上学期第一次月考 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 1.若关于 x 的二次不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为实数集 R ,则实数 m 的取值范围是 A. m ? ?2 或 m ? 2 B. ?2 ? m ? 2 C. m ? ?2 或 m ? 2 D. ?2 ? m ? 2
2

2. 已知 a , b 是两个不相等的正数, A 是 a , b 的等差中项, B 是 a , b 的等比中项,则 A 与 B 的大小关系是

1 1 ? A B 2 2 2 3.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c ,若 (a ? b ? c ) tan C ? ab ,则角 C 等于
A. A ? B B. A ? B C. A ? B D. A. 30
?

B. 60

?

C. 30 或 150

?

?

D. 60 或 120

?

?

4.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是

a?b 2 a?b C.a< ab <b< 2
A.a<b< ab <

a?b <b 2 a?b D. ab <a< <b 2 3 5. 在△ABC 中,角 A=60°,AB=2,且△ABC 的面积 S△ABC= ,则 BC 的长为 2 A. 3 B.3 C. 7 D.7
B.a< ab < 6.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度 下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 7.已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1
C. 3

(n ? N * ) ,则前 200 项的和为
3 2

A.0

B. ? 3

D.

-1-

8.数列{an}中,an= A. a1 9. 已知 ? ? ? 0, A.

4n ? ? ,则该数列最大项是 2n ? 11 B. a5 C. a6

D. a7

?
6

? ?

? ? ??

? ? ? ? , ? ? , 且 sin ? ,sin 2 ? ,sin 4 ? 成等比数列,则 ? 的值为 2? ?2 ? ? 2? 3? B. C. D. 3 3 4
B. [?

10.方程 sin x+sin x-1-m=0 在实数集上有解,则实数 m 的范围为 A. [?

2

5 , ??) 4

5 ,1] 4

C. ( ??, ? ]

5 4

5? ? D.?-1, ? 4? ?

?x ? y ? 0 ? 11.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a 的值为 ?y ? 0 ?
A.3 B.2 C.-2 D.-3 12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2b=a+c,则角 B 的取值范围是 A. ?

?? ? ,? ?2 ? ?

B. ?

?? ? ? , ? ? 3 2?

C. ? 0,

? ?

??

? 2?

D. ? 0,

? ?

??

? 3?

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 13. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 1 ,b=2,则边长 c 的取值范围 14.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S n ? a ? 3n ?1 ,则 a 的值为________.

15. 等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若

Sn a 2n ? , ,则 10 = Tn 3n ? 1 b10

16.已知 ? , ? 是方程 2 x 2 ? 2ax ? b ? 0 的两根,且 ? ? [0,1], ? ? [1, 2], a, b ? R 则

5a 2 ? 4ab ? b 2 的范围 2a 2 ? ab

三、解答题:本大题共 6 小题,17 题 10 分,16-21 题各 12 分,22 题 22 分,70 分,解答题应写出文字说 明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 17.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 f ( A) ?

3 , a ? 2 ,求△ABC 的面积的最大值 2

18.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35,a5 和 a7 的等差中项为 13. (1)求 an 及 Sn;
-2-

(2)令 bn=

4 * (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1
2

19.要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表 所示: 规格类型 钢板规格 第一种钢板 第二种钢板 A 规格 B 规格 C 规格

2 1

1 2

1 3

今需 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得所需 A、B、C 三种规 格成品,且使所用的钢板的张数最少?

20.如图,某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点 D.经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30°方向上 8 km 处,位于景点 B 的正北方向,还位于景点 C 的北偏西 75°方向上,已知 AB=5 km. (1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路,不考虑其他因素,求出这条公路的长; (2)求景点 C 和景点 D 之间的距离.参考数据:sin75°= 6+ 2 4

cos 75? ?

6? 2 4

21.已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? a
2 2

(1)若当 a ? 0 时 f ( x) ? 0 在 x ? (1, 2) 上恒成立,求 a 范围 (2)解不等式 f ( x) ? 0

22.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n ? 3n ? 3 (I)求 ?an ? 的通项公式;
-3-

(II)若数列 ?bn ? 满足 an bn ? log 3 an , ①求 Tn

?bn ? 的前 n 项和 Tn

②若 P ? Tn ? Q 对于 n ? N * 恒成立,求 P 与 Q 的范围

一、选择题:B B C B A

D B C C B

文科数学试卷参考答案 B D
-4-

二、填空题: (1,3) 3 三、解答题:

19 29

5 [2, ] 2

17.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 f ( A) ? 解:(1) f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ? 所以最小正周期为 ? (2) S? ?

3 , a ? 3 ,求△ABC 的面积的最大值 2

1 ? cos 2 x 3 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 6 2

1 3 bc sin A ? bc 2 4 1 b2 ? c2 ? 4 3 ? 由 f ( A) ? 得到 A ? 所以 ? ,所以 c 2 ? b 2 ? 4 ? bc 2 2bc 2 3 所以, b 2 ? c 2 ? 4 ? bc ,由于 b 2 ? c 2 ? 2bc ,所以 4 ? bc ? 2bc 解得 bc ? 4, b ? c ? 2 取等号,所以△ABC 的面积的最大值为 3
18.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35,a5 和 a7 的等差中项为 13. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 解 4 * (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1
2

(1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 S5=5a3=35,a5+a7=26, 解得 a1=3,d=2,所以 an=3+2(n-1)=2n+1,

?a1+2d=7, ? 所以? ?2a1+10d=26, ?

n?n-1? 2 Sn=3n+ ?2=n +2n.
2 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= 4 = 1 1 1 = - ,

a2 n?n+1? n n+1 n-1

1 ? 1 n ? 1? ?1 1? ?1 所以 Tn=?1- ?+? - ?+?+? - ?=1-n+1=n+1. ? 2? ?2 3? ?n n+1? 19.要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表 所示: 规格类型 钢板规格 第一种钢板 第二种钢板 A 规格 B 规格 C 规格

2 1

1 2

1 3

今需 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得所需 A、B、C 三种规 格成品,且使所用的钢板的张数最少?

-5-

解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,可得 值时的 x、y.

且 x、y 都是整数,求使 z=x+y 取得最小

首先作出可行域,其次平移直线 z=x+y,可知直线经过点( 值 11 ,但( , )不是最优解.

),此时 x=

,y=

.z=x+y 有最小

首先在可行域内打网格,其次推出点 A( , )附近所有整点,接着平移直线 l:x+y=0,会发现当平 移至 B(4,8)、C(3,9)时直线与原点的距离最近,即 z 的最小值为 12. 20.如图,某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点 D.经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30°方向上 8 km 处,位于景点 B 的正北方向,还位于景点 C 的北偏西 75°方向上,已知 AB=5 km. (1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路,不考虑其他因素,求出这条公路的长; (2)求景点 C 和景点 D 之间的距离.参考数据:sin75°= 6+ 2 4

cos 75? ?

6? 2 4

解:(1)在△ABD 中,∠ADB=30°,AD=8 km,AB=5 km,设 DB=x km, 2 2 2 则由余弦定理得 5 =8 +x -2?8?x?cos30°, 2 即 x -8 3x+39=0,解得 x=4 3±3. ∵4 3+3>8,舍去,∴x=4 3-3, ∴这条公路长为(4 3-3)km. AB DB (2)在△ADB 中, = , sin∠ADB sin∠DAB 1 ?4 3-3?? 2 4 3-3 DB?sin∠ADB ∴sin∠DAB= = = , AB 5 10 3 3+4 ∴cos∠DAB= .在△ACD 中,∠ADC=30°+75°=105°, 10 ∴sin∠ACD=sin[180°-(∠DAC+105°)]=sin(∠DAC+105°) 4 3-3 2- 6 3 3+4 6+ 2 7 6- 2 =sin∠DACcos105°+cos∠DACsin105°= ? + ? = . 10 4 10 4 20

-6-

∴在△ACD 中,

AD CD 8 CD 324 2-68 6 = ,∴ = ,∴CD= km. sin∠ACD sin∠DAC 73 7 6- 2 4 3-3 20 10
2 2

21.已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? a (1)若当 a ? 0 时 f ( x) ? 0 在 x ? (1, 2) 上恒成立,求 a 范围 (2)解不等式 f ( x) ? 0 解: (1)只需 ?

? f (1) ? 0 1 解得 a ? (0, ] ? [2, ??) 2 ? f (2) ? 0

(2) f ( x) ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? a ? 0 ? (ax ? 1)( x ? a ) ? 0 当 a ? 0 时得到 x ? 0 当 a ? 0 时,化为 ( x ? )( x ? a ) ? 0 当 a ? 1 时得到 x ? 1

1 a

当 a ? 1 时得到 x ?

1 或x?a a

当 0 ? a ? 1 时得到 x ? a 或 x ?

1 a

当 a ? 0 时,化为 ( x ? )( x ? a ) ? 0 当 a ? ?1 时得到 x ? ?

1 a

当 ?1 ? a ? 0 时得到

1 ?x?a a

当 a ? ?1 时得到 a ? x ?
n

1 a

综述。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

22.设数列 an 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n = 3 +3. (I)求 an 的通项公式; (II)若数列 bn 满足 an bn ? log 3 an ,求 bn 的前 n 项和Tn ,并求Tn 的范围 解: (I)因为 2 S n ? 3n ? 3 所以, 2a1 ? 3 ? 3 ,故 a1 ? 3, 当 n ? 1 时, 2 S n ?1 ? 3n ?1 ? 3,

{ }

{ }

{ }

{ }

-7-

所以 Tn ?

13 6n ? 3 ? 12 4 ? 3n 1 13 当 n ? ??, Tn ? 3 12

②由 Tn ?1 ? Tn ? bn ?1 ? n ? 3? n ? 0 知道 Tn 递增,而 T1 ? 若 P ? Tn ? Q 对于 n ? N * 恒成立,有 P ?

1 13 ,Q ? 3 12

-8-


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