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2011数学二模


2011 艺术高考强化班数学第二次模拟试题(卷)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? ?x | x ? ?1?, B ? ?x | x ? 3?,那么集合 A ? B =( ) A. ?x | ?1 ? x ? 3? B.

6.已知 a ? b ? 1, a ? b ? A. 60
?

?



?

? ?

? ? 1 ,则平面向量 a 和 b 夹角的大小为( ) 2
?

B. 90

C. 45

?

D. 120

?

?x | ?1 ? x ? 3?
C. y ? x

C.

?x | x ? ?1?
D. sin x

D.

?x | x ? 3?

2.下列函数中,图像关于坐标原点对称的是( )

? x ? y ? 1 ? 0, ? 7.若实数 x,y 满足条件 ? x ? y ? 2, 则 2 x ? y 的最大值为( ) ? x ? 1, ?
A.3 B.5 C.4 D.6 8.设 ?a n ?是等差数列,若 a 2 ? 4, a5 ? 7 ,则数列 ?a n ?的前 10 项和为( ) A.12 B.60 C.75 D.120

考号

A. y ? lg x

B. y ? cos x

3.若 a>b,则下列不等式正确的是( ) A.

1 1 ? a b

B. a ? b
3

3

C. a ? b
2

2

D. a ? b

4.命题“若 a>b,则 a+1>b”的逆否命题是( )

9.如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2 , BD ? CD 。将四边形 ABCD 沿对角 线 BD 折成四面体 A? ? BCD ,使平面 A?BD ? 平面 BCD ,则下列结论正确的是( )

考场

A. 若a ? 1 ? b, 则a ? b C. 若a ? 1 ? b, 则a ? b

B. 若a ? 1 ? b, 则a ? b D. 若a ? 1 ? b, 则a ? b

5.阅读如图的程序框图,如果输入的函数值在区间 ? , ? 内,则输入的实数 x 的取值范围 4 2 是( ) 开 始 A. A?C ? BD C. CA?与平面A?BD所成的角为30
?

?1 1? ? ?

B. ?BA?C ? 90

?

姓名

输入 x

D.四面体 A? ? BCD 的体积是

1 3

x ? ?? 2,2?
f ( x) ? 2

10.设函数 f 1 ( x) ? log 2 x ? ( ) , f 2 ( x) ? log 1 x ? ( ) 的零点分别为 x1 , x 2 ,则( )
x x 2

1 2

1 2

f ( x) ? 2
班级
输出 f ( x)

x

A. 0 ? x1 ? x2 ? 1

B. x1 x 2 ? 1
2

C. 1 ? x1 x2 ? 2

D. x1 x 2 ? 2

11.直线 y ? k ( x ? 2) 交抛物线 y ? 8 x 于 A、B 两点,若 AB 中点的横坐标为 3,则弦 AB 的 长为( ) A.6 B.10
2

结束 A. ?? ?,?2? B. ?? 2,?1? C. ?? 1,2? D. ?2,???

C. 2 15

D.16

12.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2( x ? ?a, a ? 1?) ,若函数 f ( x) 的最小值恒不大于 a,则 a 的取 值范围是( )

A. a ? 2 B. a ? 2或a ? 0 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.i 为虚数单位,则

C. a ? R

D. a ? 1

2 =___________。 (1 ? i ) 2

14.在 ?ABC 中,若 a ?

3, b ? 3, B ?

2? ,则 c=__________。 3

15.已知双曲线

x2 y2 2 它的一个焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2, 2 a b

18.(12 分)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本, 得到这 M 名学生参加社区服务的次数。 根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图如下: 分组 频数 10 24 m 2 M 频率 0.25

点相同,那么双曲线的渐近线方程为_____________。 16.在平面直角坐标系中, 定义 d ( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y 2 | 为两点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 之 间的“折线距离” 。在这个定义下,给出下列命题: ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③到 M (?1,0), N (1,0) 两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边形; ④到 M (?1,0), N (1,0) 两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线。

?10,15?
?15,20?

N p 0.05 1

?20,25?
?25,30?
合计

(1) 求出表中 M,p 及图中 a 的值; 其中正确的命题是______________。 (写出所有正确命题的序号) 三、解答题 17. ( 12 分 ) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A?B?C ? 中 , 侧 面 ABB?A?, ACC ?A? 均 为 正 方 形 , (2) 若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 ?10,15 ? 内的 人数; (3) 在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加 社区服务次数在区间 ?25,30 ? 内的概率。

?BAC ? 90 ? ,D 为 BC 的中点。
(1)求证: A?B // 平面ADC? ; (2)求证: C?A ? B?C 。

19.(12 分)已知椭圆 C:

x2 y2 ,且长轴长是短 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个交点坐标为(1,0) a2 b2

21.(12 分)在数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? c(c为常数,n ? N ) ,且 a1 , a 2 , a5 成等比
?

轴长的 2 倍。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,椭圆 C 与直线 y ? kx ? 1 相交于两个不同的点 A,B,线段 AB 的中

数列。 (1)求 c 的值; (2)设 bn ?

1 ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。求 Tn 。 a n a n ?1

考场

考号

点为 P,若直线 OP 的斜率为 ? 1,求 ?OAB 的面积。

20.(12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) 。 (1)若 a=2,求曲线 y ? f ( x)在x ? 1 处切线的斜率;

姓名

(2)求 f ( x) 的单调区间; (3) 设 g ( x) ? x ? 2 x ? 2 , 若对任意 x1 ? (0,??) , 均存在 x2 ? ?0,1? , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2

四、选做题。在 22、23、24 三题中任选一题作答 22.(10 分)几何证明选讲:如图,AC 是圆 O 的直径,AC=10,PA,PB是圆O的切 线,A,B为切点,过A做 AD ? BP ,交BP于D点,连接AB,BC。 (1)求证: ?ABC ~ ?ADB ; (2)若切线AP的长为12,求弦AB的长。

求 a 的取值范围。

班级

23.坐标系与参数方程:已知极坐标系的极点在在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半 轴重合。直线 l 的参数方程为 ?
2

? x ? t cos? (t为参数,?为直线l的倾斜角) ,圆 C 的极坐标 ? y ? t sin ?

方程为 ? ? 8? cos? ? 12 ? 0 。 (1)写出直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与圆 C 相切,求 a 的值。

·

24.(10 分)不等式选讲:已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2, g ( x) ? ? x ? 1 ? 4 。 (1)若函数 f ( x) 的值不大于 1,求 x 的取值范围; (2)若不等式 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1 的解集为 R,求 m 的取值范围.


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