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《指数与指数幂的运算》(高中数学必修1)【教学设计】


《指数与指数幂的运算》 (高中数学必修 1)【教学设计】
授课教师: 林桂华(东莞市第八高级中学)
【知识技能目标】 1、 通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质,掌握分数指数幂 和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力; 2、 掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想。通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝 不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理; 3、 能熟练地运用有理数指数幂运算进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。 【教学重难点】 教学重点: 1、分数指数幂和根式概念的理解;2、掌握运用分数指数幂的运算性质;3、运用有理

指数幂性质进行化简、求值。 教学难点:1、分数指数幂及根式概念的理解;2、有理数指数幂性质的灵活运用。 【教学过程】 一、提出问题 1.什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?
4

2.如 x

? a, x 5 ? a, x 6 ? a 根据上面的结论我们又能得到什么呢?

3.可否用一个式子表达? 活动:教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平 方根、立方根的定义解释上面的式子,引申推广出结论
n

教师板书 n 次方根的概念:一般地,如果 x

? a ,那么 x 叫 a 的 n 次方根,其中 n ? 1, n ? N ? 。

二、加强对概念的理解,提出以下问题: 1、你能根据 n 次方根的意义求出下列的 n 次方根吗?(1)4 的平方根;(2)±8 的立方根;(3) 16 的 4 次方根;(4)32 的 5 次方根;(5)-32 的 5 次方根;(6)0 的 7 次方根;(7) a 的立方根。
6

2、平方根,立方根,4 次方根,5 次方根,6 次方根,7 次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有 什么特点? 3、问题 2 中,既然方根有奇次的也有偶次的,数 a 有正有负,还有零,结论有一个的也有两个的,你 能否总结一般规律? 4、任何一个数 a 的偶次方根是否存在呢? 说明:提示学生切实紧扣 n 次方根的概念,求一个数 a 的 n 次方根,就是求出的那个数的 n 次方等于

a ,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题 2 中的结论,类比
推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。 老师总结结论:

? n为 奇 数 , a的n次 方 根 有 一 个 为 na a 为正数: ? 偶 数 , a的n次 方 根 有 两 个 为 ?n a ?n为 ?n为 奇 数 , a的n次 方 根 有 一 个 为 a 为奇数: ? 偶 数 , a的n次 方 根 不 存 在 ? n为
零的 n 次方根为零,记为
n
n

a

0 ? 0。

三、根式的概念: 1、提问思考:根据 n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况? 说明:老师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次 方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4 次方根,看 是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题。 2、通过探究得到:

(1)

? a?
n

n

?a

(2)

n

奇 数 ? a , n为 an ? ? 偶 数 ? a , n为

四、应用举例: [例 1]求下列各式的值: (1) (- 8 (2) (- 10 (3) ( (4) (a ? b) ); ); 3 - ?) ;
3 3 2 4 4
2

( a ? b)

解:(略) 说明:求值,明确用到哪些知识,这些知识首先考虑的是什么,是否要进行分类讨论。
7 7 3a ? 3) 3 (a ? 1) ; ;(2) 3( (- 2)

[训练]1、 求下列各式的值:(1)

2、判断对错:(1)

4

a 4 ? a ;(2) a 0 ? 1

五、推广整数指数幂幂运算到分数指数幂运算 1、复习整数指数幂的运算性质:
n

(1) a

? a ? a ? a ??? a ,

(2) a

0

? 1(a ? 0) ,
1 (a ? 0) , an

(3) a

?n

?

(4) a

m

? a n ? a m?n ; (a m ) n ? a mn ; (ab) n ? a n b n
? 0,

2、观察以下式子,并总结出规律: a

(1)

5

a

10

? (a ) ? a ?
5 4 2 4

2 5

2

10 a5



(2)

a ? (a ) ? a ?
4

8

8 a2 ; 12

(3)

a12 ? 4 (a 3 ) 4 ? a 3 ? a 4



3、利用 2 的规律,你能表示下列式子吗?

4

6 7 n m 3 53 , ,7 5 , a , x ( x ? 0, m, n ? N ? , n ? 1)

4、你能有方根的意义来解释 3 的式子吗? 5、你能推广到一般的情形吗?

活动:学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数 之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比 2 的规律表示, 借鉴 2,3 我们把具体推广到一般,对写正确的学生及时表扬,其他学生鼓励提示。
m

结论:正数的正分数指数幂的意义是 a n

? n a m (a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1)

提出问题:(1)负整数指数幂的意义是怎样规定的?(2)你能得出负分数指数幂的意义吗?(3)你 认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?(4)综合上述,如何规定分数指数幂的意义?(5)分数指数幂 的意义中,为什么规定 a

? 0 ?去掉这个规定会产生什么样的后果?(6)既然指数的概念就从整数指数

推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?
r

讨论结果,得到有理数指数幂的运算性质:(1) a

? a s ? a r ?s (a ? 0, r, s ? Q) ,

(2) (a

r s

) ? a rs (a ? 0, r, s ? Q) ,(3) (a ? b) r ? a r ? b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q)

(4) a n

?

m

?

1
m an

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1) ,

(5)规定:零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义。 六、应用举例:
2 1
3

1 ?5 16 1、[例]求值:(1) 8 3 ;(2) 25 2 ;(3) ( ) ;(4) ( ) 4 2

?

?

81

解:(略) 2、变式训练:

(1)求值 3

3?3 3?6 3 ;
1 2

(2)化简

1 3 1 ? 6 ? (? ? 1) 0 ? (3 ) 3 ? ( ) 3 4 8 64

七、课堂小结:本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互 交流。同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点(略)

设计感想:本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生 反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用 观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练, 巩固知识,要辅助心信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。


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