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2014年上海市TI杯高二年级数学竞赛


3 0  

中 等 数 学 

2 0 1 4年上海市 T   I 杯高 二年级数学竞赛 
中图分类号 : G 4 2 4 。 7 9   文 献 标 识 码 :A   文章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 0 3— 0 0 3 0—0 3  





填空题 ( 第 1一 一 4题 每小题 7分 , 第5  

积的最大值 为一 —一( 精确到l 0一   ) .   4 . 已知曲线 C: y=l o g 2   3 x一   +1的最 高  点 为 A, 其 与  轴 的 交 点 分 别 为 曰、 E 。 则  △A B E的面积为— — ( 精确到 0 . 0 0 1 ) .  



8题 每小 题 8分 , 共6 0分 )  

1 . 人体表面积 S ( 平方米 )的 H a y c o c k近 
似 公 式 为 
S:0. 0 2 4   2 6 5h 。 ?   4 wO .  
. 

5 . 与3 6互 素的正 整数 从小 到大 排列 成 

其中, h 、   分别 表示 人的 身高 ( 厘米) 、 体 重 
( 干克 ) .  

数列 { a   } . 则a   。  = 一

.  

6 . 一 个 三 位 数 的立 方 为 七 位 数 , 形 如  木 术 9 9 9木 冰 . 则 这样 的 三位 数 为一… _ _ .   7 . 已知 C是 长 为 1的 线 段 A B上 的一 个 

若某 人的身高为 1 8 0厘米 , 体重为 7 0千  克, 则其 人体 表面积 为 — — 平方 米 ( 精确 
到1 0  ) .  

动点 , 点 D使得 D B上 A B, 且 B D= A C , 联 结 
A D, 作C E上 A D, 垂足 为 E . 设A C=  , B E=  
Y . 则 Y关 于  的 函数 表 达 式 为 …
… ~

2 . 地球绕太 阳的运行轨 道 为椭 圆 , 其 方 
程设 为  +   =1 ( n>b>o ) . 而太 阳的位置  在右焦 点 F   处, 轨道的长轴两端点为 A、 B( A  
在 点  , 的左侧 ) . 已 知 当 地 球 在 点  时 , 人 



Y的最 

小值为一

一.  

8 . 在平面 直角坐标 系 x O y中, 设 点 P在  第一象 限 , 点 A、 B分 别在  、   上, 满 足 


看 太阳的视 角  =3 1   2 8 ” ; 当地球 在点 B时 ,   人看太 阳的视角 口=3 2   3 2 ” . 若 c表示椭 圆轨  道 的半焦距 , 则 一 一 ( 精确到 0 . 0 0 1 ) .  

P B=2 . 则 凸 四边 形 P A O B面积 的最 大值 

为——一 .  

二、 解答 题 ( 解 答 以 下 四 题 须 写 m 必 要 

3 . 若矩形 内接在 由函数 
Y一

步骤 , 每小题 l 5分 , 共6 0分 )  
9 . 在 R t △A B C中 ,   C=9 0 。 , A C=4,  

0 叫一   l 一   詈 ≤   ≤   詈 )  

B C=3 . 直线 Z 上A B, 与线 段 A C、 A B分别 交  于点 M、 J 7 、 『 . 将R t △A B C沿着 MN折叠 , 求 折 
n  一8 t n一1 6 t一4 =0.  

的图像 与  轴 所 围成 的区域 内 , 则 该矩形 面 

从而 , m—  = k 为完全平方数.   ( 2 ) 设k :  , t ( t + 1 ) k +1 = y Z ( x , y 为正 
整数 ) . 则 
t ( t +1 )   +1= Y   .  

其正整数解 n = 8 t + 2 , m: 8 t + 6 .   经验证 , 对每个给定的正整数 t ,  
m =8 t+6. n =8 t+2  

显然 , (  , Y )=( 2, 2 f +1 ) 是其一组解.  

均 满 足原 方 程 .  

此时,  =   = 4 , 方程① 即为 

( 张宇鹏

提供 )  

2 0 1 5年第 3期 

3 l  

叠后 图形 重 叠 部 分 面 积 的 最 大 值 ( 精 确 到 
0 . 0l  .  

最小值 
8. 2 +2  

.  
.  

1 O . 在平 面直 角 坐 标 系 x O y中, 已知 正 

△A B C ( 顶点按逆时针顺序) 的顶点 A ( 一 2 , 2 ) ,  

易知 , 当 四边 形 O B P A为直角梯形 , 其  中,   A=4 5 。 或  B:4 5 。 时, 其 面积 取到最 
大 值 2+ 2   .  

顶点  在 Y轴 上 , 且C B ∥ 轴 ; 点  ( 2 , 6 ) ,  
E ( 2 , 2 ) , o0的半 径 为 2 . 求 与o 0外 切 , 且  与线段 A B 、 D E均 相 切 的 圆 的半 径 ( 精 确 到 
1 0— 4 ) .  

二、 9 . 设 R t △ A B C斜 边 

的 中点 为 

D, 高为 C P .   如图 1 , 若 点 Ⅳ在 中点 D的左侧 , 则重叠  部分 的面积 不超 过 R t △A O F的面 积 , 即不 
超 过  2 . 3 4 .  
l+l   I ,  

1 1 . 设实数 l ,   2 , …,   2   o 1 4 满足 
I  l   l=9 9, l   I= l  


其中, / " t = 2 , 3 , …, 2   0 1 4 . 求 l +   2 +… +  2   0 1 4   的最小值.  

1 2 . 设实数 、 y , z 满足 x y # O ,  + y ≠ 0 . 求 

(  + 2 )   +  2   南一 1 )  
的最小值.  

A 

/   F / j ;     \  
M 

Ⅳ  o  p  

参 考 答 案 
— —

图 1  



1 .1 . 8 6 7   51   2. 0. 01 7   3. 1 .1   2 2   2  

若 点 Ⅳ在线段 O P上 , 记O N=   . 则 

4. 3 . 9 0 9   5 . 6   0 41   6. 1 3 2  

∈ ( o ,   】 ( 因 为  =  
≤1 ) '  
. 

7  

x  -   2 x+1 (  

当R t △A B C沿着 M N折叠后 , 设点/ 4 落  在斜边 A B延 长线上 的点 D处 , 如图 2 .  
  。

由题意知 

志 , c o  志 ?  
在△ A B E中 , 由余弦定理知 
BE :AE +AB 一2 AE. ABc 0 s   A  
A  .  

D Np 

B 

D 

√ /   ■  

( 0 U <   ≤ 1 ) . ?   ①  

图 2  

于是 , B D= 2 x .   设/ B E D=  . 则 
s i n   =s i n (   C B A一   A D M)   =s i n (   C B A一   B A C)  
=s i n   B? C O S   A —s i n   A? C O S   B 

令 …  ( 0 , 拼 
于是 , 由三角变换 , 式①化 简为 
y=

√ 三 一 = 一 -  

( t a n   =   ) .  

4  

4  

3  

3  

7  

当且 仅 当 s i n ( 2 t +  )=1时 , 式 ①取 到 

× 

一 

× 

3 2  

中 等 数 学 

由正 弦定 理 得 
BE : — BD si nD


=  , . =1 . 472   6.  

3   0  
: f =

_







1 1 . 由题 设 得 
2  
=  


S 1 N 

/  

l + 2 x  +1 (  = 2 , 3 , …, 2   0 1 4 ) .  



4     2 s  。 E =IB D? B E s i n  / DBE =2

. 

将上面 的 2   0 1 3 个 等式相加得 
0 l 4 =   + 2 ( x 1 +  2 +… +   2   0 l 3 )+ 2   0 1 3  
:  

于是 , 重 叠 部 分 的 面积 
u 

S    ̄


MNB E   一  △M^ D 一  △  B DE  
=  

=S   N D—S

2 (  1 + 戈 2 +… +   2   0 1 4 )  
; 2   n o 1 d 4 +2 +z   , 2   n 0 1   d 4 一   2   0 1 3一  

=SAM N A—S   D E   N? MN —SA胱  



(   2   o 1 4+1 )  一 2   0 1 4—9 9   .  

由于 。 为 奇数 , 由题 设 的条 件 , 知  为 



丢   【   +   j   l   5 +   卜 J 一     ‘
1 7l ,   l 5  
一  

偶数 ,   , 为奇数 , …,  。   为偶数.  
从而 , (   2   +1 )   ≥1 .  
则 1 +   2 +… +  2  

7 5  
十 

+ 

1 71   f  
一   一  

1 0 5\  

7 5  

1 0 5  

j+  + — 3 8   3 — 0 4 ’  


≥÷( 1 — 2   0 1 4 — 9 9   ) :一 5   9 0 7 .  
当  1 =一 9 9 ,   2 :一 9 8 , …,   9 9 =一 1 ,   1 o o  
O, X I O l= 一 1,  l 0 2   0,  1 o 3= 一1


当   = : 1 0 5   E ( 0 ,   ] 时 , 有 最 大 值  
+   6 3 .  



,   2   oi 3  



1 ,   2   o l  : 0时 , 上式等号成立.   故 l 十   2 +… +   2   的最小值为 一 5   9 0 7 .  

综上 , 重叠部分面积的最大值为 2 . 6 3 .   1 0 . 由题意, 知线段 A B所在的直线方程为 


1 2 . 设 0=  + Y+z , b = Y+  , c =z . 贝 0  

2:   (  十 2  .  

故线段 A B 的方 程 为 


(  + 2   + 2   南一 1 )   (  + -   2   + 1 ) 2 + (  十 一 )  
= =


Y+ 2   + 2=0 ( 一 2 ≤  ≤0 ) .  

设与 ( 9 0外 切 , 且与线段 A B、 D E均 相 切 

的圆的圆心为 M(  。 , Y o ) , 半径 为 r . 于是 ,  
o=2 一r , MO =2 +r .  

∑ (   卜2 ∑ (  ) + 3   ∑ (  ) 2 + 2 [ ∑ (  ‘   b ) + 1 ] + 3  
( ∑   卜5 1 > 5 ,  

则( 2+r )  = MO   =  + y o =( 2一 r )  +  
Y o=2   .  



由圆心 M 到直线 A B的距离等于 r , 得 
( 2一r )一 2  
2  

其中, “ ∑” 表示轮 换对称和 .  
当 0: 0 , b=1 , c =2 , 即  =Y=一1 。  =2   时, 上式等号成立.   从而 , 所求 的最小值为 5 .   ( 熊 斌 顾 鸿达  李大元  黄  华 

+ 2   +2  
=r  

( 2+  

r + 2  

一( 4   + 2 )= 0  

j  : 二、 / 2 l _  

三 _ ±  

121 3   5  


忻重 义 命 题 )  

2+√ 3  


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