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物理奥赛7:热学


奥赛典型例题 分析(热学)
1

1. 假设一颗行星的质量为 M,半径为r,它被均匀的 大气所包围,大气的摩尔 质量为μ,若大气层的厚 度为h(h<<r),试求该 行星表面上大气的温度.
2

例1 解: 设该行星的重力加速度为 g ? ,据万有引力定 律,对在该行星表面的质量为m的物体有
Mm

mg ? ? G 2 r



M g? ? G 2 r

(1)

这行星的大气在行星表面附近所产生的压强为 p ? ?g ?h (2) 对该行星的大气,据克拉珀龙方程有 p? ?? (3)
RT

由(1)、(2)、(3)式可得该行星表面上大气的温度 为 ?GMh
T? Rr 2
3

2.一辆质量为M、长度为L的车厢可 以无摩擦地沿直水平轨道运动,车 厢内充满气体,正中间由一块可动 的竖直隔板分开,气体的初始温度 为T,右半侧车厢内装有加热器, 使这侧的气体的温度加热到2T。左 半侧车厢内气体的温度保持初温不 变,试求车厢发生的位移. 设气体 m 的总质量为m. m
2 2
4

例2 解: 加热前,左、右两侧车厢内气 体的质量、压强、体积、温度都相等. 右侧车厢的气体加热后,当温度稳定 时,左、右车厢内的气体压强相等, 但体积不同. 对每侧气体,利用克拉珀龙方程得 PV右=?R( ? 2T ) PV左=?RT

V左 1 = V右 2

m 2

m 2

m 2 1 3

m 2

x

这表明加热后,隔板位于距车厢左端 l ? L 处. 建立x轴,如图所示. 设左、右气体的质心的对地的 位移分别为?x1和?x2,车厢质心的位移为?x车. 由于整 个系统水平方向不受外力作用,而且又无初速度,所 5 以系统质心水平方向无位移. 于是有

m m ?x1 ? ?x 2 ? M?x车=0 2 2 1 又 ?x1 ? ?x1M ? ?x车= ? L ? ?x车 12 1 ?x 2 ? ?x 2 M ? ?x车= ? L ? ?x车 12

1 L 3 m 2 m 2

x

由以上方程可解得
m ?x车= L 12( M ? m)

?x>0表明车厢的位移方向沿x轴正方向.
6

3.一球形热气球,其隔热很好的球 皮连同吊篮等装载的总质量为 300kg,经加热后,气球膨胀到最 大体积,此时它的直径为18m,球 内外的气体成分相同,而球内气体 的压强稍稍高过大气压,试求刚好 能使热气球上升时,球内空气的温 度. 已知此时大气温度为27? C,压 强为1atm,标准状态下空气的密度 为1.3kg/m3. (92年9届决赛题)

7

例3 解:把气球内外的气体看作是理想气体,当气球 胀足刚要升起时,气球所受的浮力等于气球连同装载 所受的重力,由此得质量关系为
M 1 ? M 2 ? 300 (kg)

式中M2为此时气球内气球的质量,M1为气球所排开 空气的质量,其大小为
4 d 3 M 1 ? ? ( ) ? ?1 3 2

式中d为气球直径,ρ 1为此时(温度为T1=300K,压 强为p1=1atm)空气的密度.它与标准状态下(温度为 T0=273K,压强为p0=1atm)的空气密度的关系为
T0 ?1 ? ? 0 ? 1.18 (kg / m 3 ) T1
8

M 1 ? M 2 ? 300 (kg)

4 d 3 M 1 ? ? ( ) ? ?1 3 2

?1 ? 1.18 (kg / m 3 )

于是可求得

M 1 ? 3603 (kg) ,M 2 ? 3303 (kg)

设膨胀后气球内空气体积和压强为V2和p2,温度为T2, 则由理想气体状态方程得
? 另一方面,考虑被气球排开的那一部分空气,应有
p1V1 ? M1 p 2V2 ? M2 RT 2

由题设条件知

? p1 ? p2 , V1 ? V2

RT1

M1 T1=327 ( K ) 故可解得 T2 ? M2

即当气球内气体加热到327K时,气球开始升空.

9

b

4.一气缸初始体积为 v0,其中盛有 2mol的空气和少量的水(水的体积可 忽略),平衡时气体的总压强是3大 气压,经等温膨胀使其体积加倍,在 膨胀结束时,其中的水刚好全部消失, 此时总压强为2大气压,若让其继续 做等温膨胀,使其体积再次加倍,试 计算此时(1)气缸中气体的温度;(2) 气缸中水蒸气的摩尔数;(3)气缸中 气体的中压强. (99年16届复赛题)
10

例4 解: (1)只要有液态水存在,平衡时气缸中气体的总 压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强的和. 故有
p总0=p空0+p饱= ( 3 atm) p总0=p空1+p饱=( 2 atm) (1) (2)

第一次等温膨胀后: V1 ? 2V0

因为是等温膨胀,所以
p空0V0 ? p空1V1=2 p空1V0 (3) (4) (5) (6)
11

由以上各式得

p饱= ( 1 atm) p空0=( 2 atm) p空1= ( 1 atm)

p空0=( 2 atm)

(5)

p空1= ( 1 atm)

(6)

( 1 atm) 由于 p饱= ,可知气缸中气体的温度为 T0=373K (7)

(2)依题意,经两次等温膨胀后,气体温度不变. 设水 蒸气有 ? 水 摩尔,经第一次等温膨胀,水全部变成水 蒸气. 水蒸气压强仍为 p饱 ,这时对于水蒸气和空气 分别有 p饱V1=? 水 RT0 (8)
p空1V1=? 空 RT0 ? 2RT0 (9)

由(5)、(6)、(8)、(9)式可解得

? 水 ? 2 (mol)

12

(3)在第二次等温膨胀后,对混合理想气体有
p总2V2 ? p总1V1

依题意知 V1 ? 2V0 , V2 ? 2V0 代入上式可得
p总2 ? 1 (atm)

13

5.在一具有绝热壁的刚性圆筒形封闭气缸内,有一装有小阀 门L的绝热活塞,在气缸的A端装有电热器H,可用来加热气 体,起初活塞紧贴着气缸的B端的内壁,小阀门关闭,整个气 缸内盛有一定质量的某种理想气体,其温度为T0,活塞与气 缸壁之间无摩擦. 现设法把活塞压至气缸中央,并用销钉F把 活塞固定,从而把气缸分成体积相等的左右两室,如图1所示, 在上述压缩气体的过程中,设对气体做功为W,气体温度上 升到T,再开启小阀门,经足够长的时间后将其关闭,然后拔 除销钉,让活塞可以自由移动,并用加热器加热气体,加热 完毕并经一定时间后,得知左室内气体的压强变为加热前的 1.5倍,右室气体的体积变为原来的0.75倍,试求电热器传给 气体的热量. F
A H

B L

图1

14

F 例5 解: 取气缸内的气体为研究对象,对 A B 全过程的各个阶段从状态参量的变化及 H L 能量的变化两个角度进行分析,并找出 图1 各分过程联系的关键量和关系式. 设气缸内有 ? mol 的理想气体,其定容摩尔热容量为 CV,气缸容积为2V. 则 (1)活塞从B端至气缸中央,气体经历绝热压缩过程,故 W ? ?U ? ?CV (T ? T0 ) (1)

(2)气体作自由膨胀,Q=0,A=0 故 ?U ? 0 所以,自由膨胀后气体温度不变. 设膨胀结束时气体 压强为p. (3)左室气体受热膨胀,右室气体绝热压缩,最后平衡 时,左、右室气体压强相等.
15

W ? ?U ? ?CV (T ? T0 )

(1)

F A H

L

B

左室气体加热前,压强为p,体积为V, 温度为T;加热后,压强为1.5p,体积为5V/4, 温度为TA . 由理想气体状态方程得
3 5 p? V pV 2 4 ? T TA

图1



15 TA ? T 8

(2)

左室气体加热前,压强为p,体积为V,温度为T;加 热后,压强为1.5p,体积为3V/4,温度为TB . 由理想气 体状态方程得
3 3 p? V pV 2 4 ? T TB



9 TB ? T 8

(3)

16

W ? ?U ? ?CV (T ? T0 )
15 TA ? T 8 (2)

(1)
(3)

F A H

9 TB ? T 8

L

B

图1

对整个气体,这分过程外界不做功.故据热力学第一 定律有
1 1 Q ? ?U A ? ?U B ? ?CV (TA ? T ) ? ?CV (TB ? T ) 2 2 (4)

由(1)、(2)、(3)、(4)式可解得
WT Q? 2(T ? T0 )

17

6.在大气压为76cmHg的环境中,把 一根长为76cm的粗细均匀的玻璃管 竖直倒置在水银槽面上,管口恰在水 银面,设在某一温度下,已有一部分 水银进入管内,管内水银柱上方封闭 的空气有0.001mol,现把玻璃管的 温度缓慢降低10? C,试求管内空气 放出的热量.已知每摩尔空气的内能 为U=CVT,常数CV=20.5J/mol· K.
18

例6 解:以管内空气为研究对象,当温度降 低10°C时,其内能的改变为 ?U ? ?CV (T2 ? T1 ) ? 0.001? 20.5 ? (?10) ? ?0.205 ( J )

x
76cm

h

设在降温过程中,管内空气柱的高度为x, 水银柱的高度为h,则有 h ? 76 ? x 管内空气的压强为 p ? p0 ? ?gh ? p0 ? ?g (76 ? x) p 由于外界大气压为 p0 ? ?g ? 76 p1 所以有 p ? ?gx p2 o 在降温过程中,外界对管内空气柱的 V2 V1 功可用右图计算
19

V

?U ? ?0.205 ( J )
1 1 A ? ( p1 ? p 2 )(V1 ? V2 ) ? ?g ( x1 ? x 2 ) S ( x1 ? x 2 ) 2 2 1 1 2 2 ? ?gS ( x1 ? x 2 ) ? ( ?gx1 ? Sx1 ? ?gx 2 ? Sx 2 ) 2 2 1 1 ? ( p1V1 ? p 2V2 ) ? ?R(T1 ? T2 ) 2 2 1 ? ? 0.001 ? 8.31 ? 10 ? 0.042 ( J ) 2

p p1 p2 o

V2 V1

V

所以在降温过程中管内空气与外界交换的热量为
Q ? ?U ? A ? ?0.247 ( J )

负号表示放热.

20

7.空气是混合气体,各组分质量百分比约为:氮 气占76.9%,氧气占23.1%,其它组分可忽略不 计,现有一气缸,缸内充有空气,并装有一些极 细的钢丝,气缸的活塞能自由无摩擦地移动,使 气缸内的气体的压强恒为1大气压,缸内有非常 缓慢的化学反应,假定生成1mol的Fe2O3后氧气 耗尽,已知这个过程是在1atm、300K的条件下 进行的,系统放热8.24×10 5J,已知氧和氮的 摩尔内能均为2.5RT,细钢丝的体积可忽略,试 求这过程中(1)整个系统内能的改变量;(2) 气缸内气体内能的改变量;(3)气缸内氮气密 度的改变量. (93年16届决赛题)
21

例7 解: (1)气缸内的化学反应为
因铁氧化,反应后气缸内氧气的摩尔数变化量为
?? ? ?1.5mol (负号表示氧气的摩尔数减少) RT 故气缸内气体的体积也随之减少: ?V ? ?? p 在这等温等压过程中,外界对系统的功为
A ? ? p?V ? ? RT ?? ? 3739.5 ( J )
Q ? ?8.24 ? 10 5 ( J )
3 2 Fe ? O2 ? Fe2 O3 2

依题意知过程中系统放热

因此据热力学第一定律得系统内能的改变为
?U ? A ? Q ? ?8.203 ? 10 5 ( J )
22

(2)气缸内气体温度恒定,但氧气的摩尔数减少了,故 气缸内气体内能减少: ?U ? 2.5RT ?? ? ?9349 ( J ) (3)由于气缸内生成物为Fe2O3,可知气缸内气缸内原 有氧气的质量M1和氮气的质量M2分别为
3 M 1 ? ? 1 ?1 ? ? 32 ? 10 ?3 ? 48 ? 10 ?3 (kg) 2 76.9 M2 ? M 1 ? 159.8 ? 10 ?3 (kg) 23.1

以p0表示一个大气压,p1表示反应前氮气的压强, V0表示反应前气缸内空气的体积,V表示反应后氮气 的体积,μ 1、μ 2分别表示氧气和氮气的摩尔质量, Δ ρ 表示气缸内氮气密度的改变量,那么

反应前:对氮气有 p1V0 ?

M2

?2

RT

23

对氧气有 ( p0 ? p1 )V0 ?

M1

?1

RT M2

反应后:对氮气有 p0V ?
那么
M 2 M1 ?? ? ? V V0

?2

RT

由以上方程并代入数据可解得
? 2 p0
?? ? ( M1 M1

?1
) RT

?1

?

M2

? 0.236 (kg / m 3 )

?2

24

8.如图2所示,两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨, 处于恒定磁场中,磁场方向与导轨所在平面垂直.一质量为m 的均匀导体细杆,放在导轨上,并与导轨垂直,可沿导轨无摩 擦地滑动,细杆与导轨的电阻均可忽略不计.导轨的左端与一 根阻值为R0的电阻丝相连,电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝 的热容量不计.容器与一水平放置的开口细管相通,细管内有 一截面为S的小液柱(质量不计),液柱将1mol气体(可视为 理想气体)封闭在容器中.已知温度升高1K时,该气体的内 能的增加量为(R为普适气体常量),大气压强为p0,现令细 杆沿导轨方向以初速v0向右运动,试求达到平衡时细管中液柱 的位移.(05年22届预赛题)
R0 v0

图2

25

例8 解:导体杆在运动过程中产生动 生电动势,从而回路中有感应电流.因 R0 此导体杆在运动过程中受安培力作用 而减速,最终停止运动. 其初动能将全 图1 部转变为焦耳热为容器中气体所吸收. 因容器中气体经历的过程是等压过程,故有
7 Q ? C P ?T ? (CV ? R)?T ? R?T 2 1 2 据能量守恒得 Q ? mv0 (2) 2 (1)

v0



p0 ?V ? p0 S?l ? R?T

(3)

由以上各式可解得

2 mv0 ?l ? 7 p0 S

26

9.一质量为m的平薄长方形匀质玻璃板,用两根等长细线悬挂 起来,如图3所示,玻璃板每一侧面的半个表面对称地涂了一 层化学性质活泼的金属薄膜,其质量可忽略不计,整个装置竖 直地悬挂在空的容器中,并向容器通入压强为p的氯气,设某 一氯气分子遇金属分子发生化合反应的概率q<1,且在讨论的 时间范围内q为恒量,生成的氯化物留在玻璃板上,整个装置 中的线量均已在涂中标出,平衡时玻璃板将绕它的中央竖直轴 转过一个小角度α,试求这α值.

2a a c b b 金属薄膜 a b

金属薄膜

b

图3

27

与金属发生反应的氯气分子对玻璃板的碰撞可 例9 解: 认为是完全非弹性碰撞,不发生反应的氯气分子对玻 璃板的碰撞可认为是完全弹性碰撞,对于前者,氯气 分子对玻璃板的冲量是后者的一半. 氯气的压强为 p ? nkT ,故未涂金属膜的玻璃板表面 所受的压强也为 p ? nkT ,n是容器内氯气分子数密度. 因每一氯气分子与金属膜发生化合反应的概率是q, 所以不发生反应的概率应是1-q. 因而n中有nq个分子 与金属膜发生完全非弹性碰撞,对压强的贡献为
1 1 ? ? qnkT ? qp p1 2 2

(系数1/2来自非弹性碰撞所产生的冲量是弹性碰撞所产 生的冲量的一半)
28

n个分子中有(1-q)n个分子与金属不发生反应, 与金属膜发生完全弹性碰撞而对压强的贡献为
? ? (1 ? q)nkT ? (1 ? q) p p2

因此,玻璃板涂金属膜表面所得压强为
q ? ? ? p ? p1 ? p 2 ? (1 ? ) p 2 1 p 与 p ? 的压强差为 ?p ? p ? p ? ? qp 2 (?p)bc
b b 金属薄膜

Δ p形成的前后一对压力均匀 分布在涂金属膜的玻璃板前后两 个半侧上,如图2所示. 这对压力所产生的力矩为
b 1 M ? ? 2(?p)bc ? ? qpb 2 c 2 2

金属薄膜

(?p)bc
29

图2

(?p)bc 金属薄膜 因 M ?的作用,使玻璃板转过小 角度α . 设细线的张力为N,那 b 么张力的水平分量为Nsinβ,其 中β为细线转过的角度,对应的力 b 矩为(如图3所示) 金属薄膜 (?p)bc M ? 2[( N sin ? )a sin ?SAC ] 图2 N sin ? 因SA=SC= a N? S 2 a ? a 故∠SAC=(π-α)/2 C ? N a C ? A aS 于是 M ? 2 Na sin ? cos ? A 图3 2

又 AC=2aβ=aα ,故β =α /2 因α 很小,所以 sin ? ? sin 于是
M ? Na?

?
2

?

?
2

,cos

?
2

?1
30

N? S 2a? a C ? N a C ? S 在竖直方向上,力平衡 A a 方程为 A 图3 ? mg ? 2 N cos ? ? 2 N cos ? 2 N 2 mg 可得 N ? 2 1 于是 M ? mga? 2 玻璃板平衡时 M? ? M
1 1 mga? ? qpb 2 c 即 2 2 qb 2 cp 解得 ?? mga

M? ?

1 qpb 2 c 2

M ? Na?

N sin ?

31


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