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2013届海淀区高三第一学期期中练习数学试题(理科)


海淀区高三年级第一学期期中练习


结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

学(理科)

2012. 11

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 4

0 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x 2 ? 1} ,则 ? A ? U A. ( ??, 1) B. (1, 1) C. (1, ? ?) D. (??, ?1) U (1, ? ?)

2.下列函数中,在定义域内是减函数的是 A. f ( x ) ? ?

1 x

B. f ( x) ?

x

C. f ( x ) ?

1 2x

D. f ( x) ? tan x

3.在平面直角坐标系 xoy 中,已知 O (0, 0) ,A(0,1) ,B(1, 3) ,则 OA ? AB 的值为 A. 1 B. 3 ? 1 C. 3 D. 3 ? 1

uur uur u

4.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? 2n?1 , a3 ? 则 A. ?1 B. ?2 C. ?4 D. ?8 5. sin15? ? cos15? 的值为 A.

1 2

B.

6 4

C.

6 2

D.

3 2 2

6. t ? 0 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? tx ? t 在 (??, ??) 内存在零点”的 “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 7.已知函数 f ( x) ? ? A. [?1, ??) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

??1, x ? 0, 则不等式 xf ( x ? 1) ? 1 的解集为 ? 1, x ? 0,
B. (??,1] C. [1, 2] D. [?1,1]

8.已知集合 M ? {( x, y) | y ? f ( x)} ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M , 使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“好集合” .给出下列 4 个集合:

1 x ③ M ? {( x, y) | y ? cos x}
① M ? {( x, y ) | y ? } 其中所有“好集合”的序号是 A.①②④ B.②③

② M ? {( x, y) | y ? e ? 2}
x

④ M ? {( x, y) | y ? ln x} C.③④ D.①③④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

? e dx ?
x 0

1



1

10.设 a ? ?

0.5

c , ? log3 2 , ? cos 2 ,则 a, b, c 从大到小的顺序为 b ....



11.函数 f ( x) ?

x2 ? 1 1 ( ? x ? 2) 的值域为 x 2



12.在 ?ABC 中, M 为边 AB 的中点, OP ∥ OM , OP ? xOA ? yOB( x ? 0) , 点 若 且 则

uuu r

uuur

uur u

uur

uur u

y ? x



y

13.已知函数 y ? g ( x) 的图象由 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右 平移 ? (0 ? ? ? ?) 个单位得到,这两个函数的部分图象 如图所示, ? ? 则 .

O π
8

17π 24

x

? k 14.数列 {an } 中, 如果存在 ak , 使得“ ak ? ak ?1 且 ak ? ak ?1 ”成立(其中 k ? 2 , ? N ) 则称 ak 为 {an } 的一个峰 ,

值. (Ⅰ)若 an ? ?3n2 ? 11n , {an } 的峰值为 则 ; .

(Ⅱ)若 an ? t ln n ? n , {an } 不存在峰值, 且 则实数 t 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? ?5 ,S5 ? ?20 . 且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 Sn ? an 成立的 n 的最小值.

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x ? cos(2 x ? ) .
2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间.

? 8

? 2

17. (本小题满分 13 分)

? 在 ?ABC 中, A ?
(Ⅰ)求 sin C 的值;

? ,tan( A ? B) ? 7 ,AC ? 3 2 . 4
2

(Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 13 分) 如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中

A
M

E P

F D

AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板, 将在五边形 ABCDE 内
截取一个矩形块 BNPM , 使点 P 在边 DE 上.

B

(Ⅰ)设 MP ? x 米,PN ? y 米, y 表示成 x 的函数, 将 求该函数的解析式及定义域; (Ⅱ)求矩形 BNPM 面积的最大值.

N

C

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a) x . 3 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值, 求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m ? R , 直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线, k 的取值范围; 求 (Ⅲ)若 a ? ?1 , f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最大值. 求

20. (本小题满分 14 分) 已知数集 A ? {a1 , a2 , ? , an } (1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 2) 具有性质 P:对任意

? 的 k (2 ? k ? n) , i, j (1 ? i ? j ? n) , 使得 ak ? ai ? a j 成立.
(Ⅰ)分别判断数集 {1, 3, 4} 与 {1, 2, 3, 6} 是否具有性质 P, 并说明理由; (Ⅱ)求证: n ? 2a1 ? a2 ? ? ?an?1 (n ? 2) ; a (Ⅲ)若 an ? 72 , 求数集 A 中所有元素的和的最小值.

海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学 (理)参考答案及评分标准 2012.11

说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
3

题号 答案

1 B

2 C

3 B

4 D

5 C

6 A

7 D

8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9. e ? 1 10. a ? b ? c 11. [2, ]

5 2

12.1

π 13. 3

14.10;

{t | t ?

1 1 或t ? , n ? N*且n ? 2} n ?1 ln 2 ln( ) n

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)设 {an } 的公差为 d ,依题意,有 a2 ? a1 ? d ? ?5, S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20 联立得 ? ????2 分

?a1 ? d ? ?5 ?a1 ? ?6 解得 ? ?d ? 1 ?5a1 ? 10d ? ?20

?????5 分

所以 an ? ?6 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7 (II)因为 an ? n ? 7 ,所以 Sn ?

??????7 分

a1 ? an n(n ? 13) n? 2 2

??????9 分



n( n ? 13) ? n ? 7 ,即 n2 ? 15n ? 14 ? 0 2
又 n ? N* ,所以 n ? 14

??????11 分

解得 n ? 1 或 n ? 14

所以 n 的最小值为 15

????13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 2 cos x ? cos(2 x ?
2

π ) 2 2 ? 2cos x ? sin 2 x

???2 分 ????6 分

? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ???4 分
所以 f ( ) ?

π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4

π π 2 sin( ? ) ? 1 ? 2 ? 1 ??????7 分 4 4 π 2π ?π (Ⅱ)因为 f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 所以 T ? ?????9 分 2 4 π 3π ( ), ( k ? Z) ??????10 分 又 y ? sin x 的单调递减区间为 2kπ ? , 2kπ ? 2 2 π π 3π π 5π 所以令 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ?11 分 解得 kπ ? ? x ? kπ ? ???12 分 8 8 2 4 2 π 5π ) , (k ? Z) 所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 ( kπ+ , kπ ? ??????13 分 8 8
17. (本小题满分 13 分) 解: (I)在 ?ABC 中,因为 A ? B ? C ? π ??????1 分

π 8

4

所以 tan C ? tan[π ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) 因为 tan( A ? B) ? 7 ,所以 tan C ? ?7

??????3 分 ??????4 分

sin C ? ? ?7 ? tan C ? cos C 又? ?sin 2 C ? cos2 C ? 1 ?

解得 | sin C |?

7 2 10

??????5 分

因为 C ? (0, π), 所以 sin C ?

7 2 10

?????6 分

(II)因为 A ?

π 1 ? tan B ?7 ,所以 tan( A ? B ) ? 4 1 ? tan B 3 5
?

解得 tan B ?

3 4

?????8 分

因为 C ? (0, π), 所以 sin B ?

??9 分 由正弦定理

b c ? ,代入得到 c ? 7 ??11 分 sin B sin C
???13 分

所以 S ?ABC ?

1 bc sin A 2

1 π 21 ? 3 2 ? 7 ? sin ? 2 4 2

18.(本小题满分 13 分) 解: (I)作 PQ ? AF 于 Q ,所以 PQ ? 8 ? y, EQ ? x ? 4 在 ?EDF 中, ??????2 分

EQ EF ? PQ FD

所以

x?4 4 ? 8? y 2

????4 分

所以 y ? ? x ? 10 ,定义域为 {x | 4 ? x ? 8}

1 2

??????6 分

(II) 设矩形 BNPM 的面积为 S ,则 S ( x) ? xy ? x(10 ? ) ? ? ( x ? 10)2 ? 50 所以 S ( x ) 是关于 x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为 x ? 10 所以当 x ? (4,8) , S ( x ) 单调递增 所以当 x ? 8 米时,矩形 BNPM 面积取得最大值 48 平方米 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? (a 2 ? a) 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? (a ? 1) , x2 ? a
? ( x ? a )[ x ? (a ? 1)]

x 2

1 2

????9 分

??????11 分 ??????13 分

??2 分

? 所以 f ( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

( ??, a )

a

(a, a ? 1)

a ?1

(a ? 1, ??)

5

f '( x)
f ( x)

?
?

0 极大值

?
?

0 极小值

?
?

??????4 分 所以 a ? 1 (II)因为 f ?( x) ? ( x ? ??????5 分

2a ? 1 2 1 ) ? 2 4

??????6 分

因为 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线 所以 f ?( x) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? ? k 对 x ? R 成立 2 4
所以 k ? ?

??????7 分 ?????8 分

只要 f ?( x ) 的最小值大于 k

1 4

(III) 因为 a ? ?1, 所以 a ? 1 ? 0, 当 a ? 1 时, f ?( x ) ? 0 对 x ? [0,1] 成立
2 所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ?

1 6

?????9 分

当 0 ? a ? 1 时, 在 x ? (0, a ) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增 在 x ? (a,1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减

1 3 1 2 所以当 x ? a 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2

?????10 分

当 a ? 0 时, 在 x ? (0,1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最大值 f (0) ? 0 ?11 分 当 ?1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增 当 ?1 ? a ? ? 当?
2 又 f (0) ? 0, f (1) ? a ?

1 , 6

1 6 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 6 6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 . 6

当a ? ?

????14 分

综上所述, 当 a ? 1 或 ?1 ? a ? ?

1 6 2 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

1 3 1 2 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2
当a ? ? 当?
6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6

6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6

20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为 3 ? 1 ? 1 , 所以 {1,3, 4} 不具有性质 P. 因为 2=1 ? 2, 3=1+2, 6=3 ? 3 ,所以 {1, 2,3, 6} 具有性质 P
6

??????4 分

(Ⅱ) 因为集合 A={a1 ,a2 , ???,an } 具有性质 P: 即对任意的 k (2 ? k ? n), ?i, j(1 ? i ? j ? n) ,使得 ak =ai +a j 成立, 又因为 1 ? a1 <a2 < ???<an , n ? 2 , 所以 ai ? ak ,a j ? ak 所以 ai ? ak ?1,a j ? ak ?1 , 所以 ak =ai +a j ? 2ak ?1 即 an ? 2an?1 , an?1 ? 2an?2 , an?2 ? 2an?3 ,..., a3 ? 2a2 , a2 ? 2a1 将上述不等式相加得 (Ⅲ)最小值为 147. ??????6 分

a2 + ??? +an?1 +an ? 2(a1 +a2 + ??? +an?1 ) 所以 an ? 2a1 +a2 + ??? +an?1 ??9 分
所以易知数集 A 的元素都是整数.

首先注意到 a1 =1 , 根据性质 P,得到 a2 =2a1 =2

构造 A={1,2,3,6,9,18,36,72} 或者 A={1,2,4,5,9,18,36,72} ,这两个集合具有性质 P, 此时元素和为 147. 下面,我们证明 147 是最小的和 假设数集 A={a1,a2 , ???,an }(a1 <a2 < ???<an ,n ? 2) ,满足 S ?
n

?a
i =1

n

i

? 147 最小(存在性显然,因为满足

?a
i =1

i

? 147 的数集 A 只有有限个).

第一步:首先说明集合 A={a1,a2 , ???,an }(a1 <a2 < ???<an ,n ? 2) 中至少有8个元素: 由(Ⅱ)可知 a2 ? 2a1, a3 ? 2a2....... 又 a1 =1 ,所以 a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 8, a5 ? 16, a6 ? 32, a7 ? 64 ? 72 ,所以 n ? 8

a 第二步:证明 an?1 ? 3 6 ,an?2 ? 1 8 ,n?3 ? :9
若 36 ? A ,设 at =36 ,因为 an ? 72 ? 36 ? 36 ,为了使得 S ? 中一定不含有元素 ak ,使得 36<ak ? 72 ,从而 an ?1 ? 36 ; 假设 36 ? A ,根据性质 P,对 an ? 72 ,有 ai , a j ,使得 an ? 72 ? ai ? a j 显然 ai ? a j , 所以 an ? ai ? a j ? 144 而此时集合 A 中至少还有 5 个不同于 an , ai , a j 的元素,

?a
i =1

n

i

最小,在集合 A

从而 S ? (an ? ai ? a j ) ? 5a1 ? 149 ,矛盾,所以 36 ? A ,进而 at =36 ,且 an ?1 ? 36 ; 同理可证: an?2 ? 18, an?3 ? 9 (同理可以证明:若 18 ? A ,则 an ?2 ? 18 因为 an?1 ? 36, 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 an?1 ? 36 ? ai ? a j 显然 ai ? a j , 所以 an ? an?1 ? ai ? a j ? 144 , 而此时集合 A 中至少还有4个不同于 an , an?1, ai , a j 的元素
7

假设 18 ? A .

从而 S ? an ? an?1 ? ai ? a j ? 4a1 ? 148 ,矛盾,所以 18 ? A ,且 an ?2 ? 18 同理可以证明:若 9 ? A ,则 an?3 ? 9 假设 9 ? A 因为 an?2 ? 18, 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 an?2 ? 18 ? ai ? a j 显然 ai ? a j , 所以 an ? an?1 ? an?2 ? ai ? a j ? 144 而此时集合 A 中至少还有3个不同于 an , an?1, an?2 , ai , a j 的元素 从而 S ? an ? an?1 ? an?2 ? ai ? a j ? 3a1 ? 147 ,矛盾,所以 9 ? A ,且 an?3 ? 9 ) 至此,我们得到了 an?1 ? 36, an?2 ? 18, an?3 ? 9 .根据性质 P,有 ai , a j ,使得 9 ? ai ? a j 我们需要考虑如下几种情形: ① ai ? 8, a j ? 1 , 此时集合中至少还需要一个大于等于 4 的元素 ak ,才能得到元素 8,则 S ? 148 ; ② ai ? 7, a j ? 2 ,此时集合中至少还需要一个大于 4 的元素 ak ,才能得到元素 7,则 S ? 148 ; ③ ai ? 6, a j ? 3,此时集合 A={1,2,3,6,9,18,36,72} 的和最小,为 147; ④ ai ? 5, a j ? 4 ,此时集合 A={1,2,4,5,9,18,36,72} 的和最小,为 147. ???14 分

8


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