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球面正弦,余弦定理证明


§4 球面余弦定理和正弦定理

平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性, 到了平面三角学, 把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。 其中最基本的就是三角形的 余弦定理: 设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、b 、c , 它们的对角分别是 、 、 ,则

其中,

分别表示

的余弦。

三角形的正弦定理:设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、 b 、 c ,它们的对角 分别是 、 、 ,则

。 类似地, 球面三角形也有有效能算的边角函数关系,其中最主要的结果就是球面 三角的正弦定理和余弦定理。 为证明球面三角余弦定理,我们介绍有关向量的另一种乘积—外积。 两向量 a 与 b 的外积是一个矢量, 记做 a×b, 它的模是|a×b|=|a||b| 它的方向与 a,b 都垂直,并且按 a,b,a×b 这个顺序构成右手标架。 对于向量的外积,有拉格朗日恒等式成立。 a×b)·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)-(a·b’)·(b·a’) (a,b),

定理 4.1(球面三角余弦定理)在单位球面上,对于任给球面三角形 三边 和三角 恒满足下述函数关系

,其

(证法一)证明:如图 4-1 所示,

图 4-1 是单位球面上的三点,以 a,b,c 分别表示单位长向量 三角形 ,则球面

的三角角度和三边边长分别可以用空间向量 a,b,c 表达如下:

是 b,c 之间夹角的弧度,所以 cos =b·c,同理有 cos =a·c, cos =a·b。 是“a,b 所张的平面”和“a,c 所张的平面”之间的夹角,所以 a×b 和 a×c 之间的夹角,即 (a×b)·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosA= 同理亦有(b×c)·(b×a)= (c×a)·(c×b)= 由(a×b)·(a×c)= 所以 同理可证 =cos - 也等于

当单位球面上的球面三角形三边都小于 三角余弦定理。证明如下: 取球面三角形

时, 可以用平面三角余弦定理证明球面

,将各顶点与球心 O 连接,过顶点 A 作 b,c 边的切线,分别 和两个平

交 OC,OB 的延长线于 N,M,由此得到两个平面直角三角形 面三角形 。在

中,根据平面三角形的余弦定理,有 。

同理在 因此 即



即 即得 同理可证

(证法 2)证明:设球心为 O,连接 OA、OB、OC,则 。

图 4-2

过点 A 做

的切线交直线 OB 于 D,过点 A 做

的切线,交直线 OC 于 E,连

接 DE(如图 4-2 所示)。 显然,AD AO,AE AO,在直角三角形 OAD 中, AO=1,

AD=



OD= 在直角三角形 OAE 中, AE=





OE=



注意

。在三角形 ODE 中,利用平面三角形的余弦定理(定理 3.1),

??(1)

在三角形 ADE 中,

??(2)

因为(1)式与(2)式左端相等,所以右端也相等,经化简整理,即得 。 类似地可以得到另外两式。

当三角形有一个内角为直角时,比如

,则由球面三角余弦定理有

。这恰好是平面几何中的勾股定理在球面几何中的对应物,但

形式上有了很大差别。我们称之为球面勾股定理。 定理 4.2(球面三角正弦定理)在单位球面上,对于任给球面三角形 三边 和三角 恒满足下述函数关系 ,其

证明:因为上述三个比值都是正的,所以我们只要证明

恒成立。 由球面三角余弦定理,得

同理可证

,所以

。 , 其三边

一般地, 易证在半径为 r 的球面上, 对于任给球面三角形 和三角 恒满足下述函数关系



当 形

时,上述关系式会变成什么形式呢?如图,当 的三边 可以看作直线段,所以

时,球面三角

,

,

所以

,

,

, 代入上述关系式,当

,

时对式子取极限,整理得:

这恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。 在实际使用时, 考虑到所给条件的不同及计算的方便,我们常常需要不同形式的 球面三角公式, 这些公式本质上都能以球面正弦定理和余弦定理加以变换而得到。 前面通过研究极对偶三角形的关系我们证明了球面几何中特有的全等条件 AAA, 在球面三角中有反映这一特有全等条件的三角公式。 定理 4.3(角的余弦公式)在单位球面上,对于任给球面三角形 和三角 恒满足下述函数关系 ,其三边

证明:由

的极对偶三角形

的余弦定理

利用上节定理 3.1 将

中相应的元素代入上式即有

乘以-1,化简得 同理可证其他两式。


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