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淮海工学院12-13-2高等数学A2期末试卷B答案与评分标准


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淮 海 工 学 院
12 – 13

学年 第
一 32



学期 高等数学 A(2) 期末试卷(B 卷) 答案及评分标准
二 3 7 4 7 三 8 四 8 五 8 六 8 七 8 总 分 100
核分人 (填首卷)



二、计算题(本大题共 4 小题,每题 7 分,共 28 分) 1.设 f (u , v) 的二阶偏导连续,若 z =f ( x ? y, ? y) ,求 zx , zxy .
解:z x ? fu -------------------------------------------------------------------------------------------3

题号 分值 得分

1 7

2 7

zxy ? fuu ? fuv ---------------------------------------------------------------------------------4 1 2.函数 f ( x, y, z) ? x ? y 2 ? 3z 2 ? 2 在点 (1, 1, ) 处沿下列哪个方向的方向导数最 3
大?并求最大值. 解: f x ? 1, f y ? 2 y , f z ? ?6z ------------------------------------------------------------------3 则

一、选择题(本大题共 8 小题,每题 4 分,共 32 分) ? ? ? ? 1. 两向量 a ? (1, ? 1, 0) , (D) b 为-------------------b ? (2, 0, ?1) 的数量积 a? (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2 2 2. 设 f (2 x ? y, x ? 2 y) ? x ? 2y , 则 f (?1, 2) ? ------------------------- (A) (A) ?2 (B) ?1 (C) 1 (D) 2 3 y3 3.f ( x, y) ? ( x ? y) , 则 f xx 1 (C) ( , ) ? -----------------------------------------------------(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
4.

1 g r a d(f1 , 1 , ?) 3
1 max (1,1, ) 3

(1 ?, 2为所求方向 , 2) ------------------------------------------------2

[

?f ?l

]

1 ? grad (1,1, ) ? 2 .------------------------------------------------------------2 3

? ?

x2 ? y 2 ? 4

(D) ( x ? 1)( y ? 1)ds ? ----------------------------------------------------------------(B) 2? (C) 2 ? (D) 4 ?

3 x, y ? 1 ? x 2 及 y 轴所围成,求 ?? x 2 ? y 2 dxdy . 3 D ? ? 解: D : 0 ? r ? 1, ? ? ? ---------------------------------------------2 6 2
3.设 D 由 y ? 则原式 ?

(A) 0

?? d? ?
2

?

1 0

r 2 dr ------------------------------------------------3

? ? 侧, 用高斯公式计算 ? (B) ?? xdydz ? 5ydzdx ? 3zdxdy ? -----------------------------------2 2 5.设空间闭区域 ? ? ( x, y, z ) x ? y ? 1, z ? 1 , ? 是 ? 的整个边界曲面的外

?

?

6

9

[r 3 ]1 0 ?

?
9

.-------------------------------------------------2
2

(A) ?4? 6. 若级数

?

(B) ?2?

(C) ??

(D) 0

?n
n ?1

?

1
6p ?5

x ? ? y ? ? xy ? e 2 4.解微分方程 ? . ? ? y (0) ? 0

发散, 则 p 的取值范围是---------------------------------------------(B) (B) (??,1] (C) (1, ? ?) (D) [1, ? ?)

(A) (??,1)

解:公式法: P( x) ? ? x, Q( x) ? e

x2 2

7.设 f ( x) 是以 2? 为周期的周期函数,其在 (?? , ? ] 上的解析式为

? x2 ? ? , ? ? ? x ? 0 ( ) ? ? ---, 若记 f ( x) 的傅里叶级数为 S ( x) , 则 S7 (D) f ( x) ? ? ?? x , 0 ? x ? ? ? ? ?2 (A) ? (B) (C) ? (D) 2 2 2 x? y 8.y? ? e 的通解为--------------------------------------------------------------------------(C) x ?y x ?y x y x y (A)e ? e ? C (B)e ? e ? C (C)e ? e ? C (D)e ? e ? C

x2 ? ? P( x)dx ? ? , 2
x2 2

? Q( x)e

? P ( x ) dx dx ? dx ? x ----------------------------------3 ?

故通解为 y ? e ( x ? C ) ---------------------------------------------------------------------2 由 y (0) ? 0 得 C ? 0 , 因此

y ? x e .------------------------------------------------2

x2 2

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三、计算证明题(本大题 8 分) 设 z ? z ( x, y ) 是由 sin(2 y ? z ) ? 2 x ? 3z 所确定的隐函数, (1)求 z y ? 3zx ; (2)求证:上述 z ? f ( x, y) 所示曲面上任一点处的法线总与某一常向量垂直. 解: (1)设 F ( x, y, z ) ? sin(2 y ? z ) ? 2 x ? 3z 则 Fx ? ?2, Fy ? 2cos(2 y ? z), Fz ? ?3 ? cos(2 y ? z) ? 0 (3,偏导错一个扣 1 分)
则 z y ? 3zx ? ? (Fy ? 3Fx ) Fz = 2 .---------------------------------------2

六、计算题(本大题 8 分) 6 6 1 y x 2 2? y x dx ? ? dy ? dx , 设 I ? ? dy ? 0 0 1 0 x?2 x?2
(1)改变积分次序; (2)计算 I 的值.

I? 解: (1)

?

1 0

dx ?
1

2? x x2

x6 dy -----------------------------------------------------------------4 x?2

? (2) z ? f ( x, y) 所示曲面上任一点处的法向量为 n ? ( z x ,z y , ? 1) ---------------------1 ? ? 由 (1) 知 ( z, 则 n ? (? , 得证. --------------2 2 1 3 ) , z y1 )(2 ) 1 ? , 3 ?(2 ? ) 1 , 30 ? n? ? ? , x ,
四、计算题(本大题 8 分) 若 (e y ? kxy ? 1)dx ? ( xe y ? x2 )dy 在全平面内为某二元函数 u ( x, y ) 的全微分, 求 k 及 u ( x, y ) .
解: P( x, y) ? e y ? 2 xy ?1, Q( x, y) ? xe y ? x2 ? 2 y 任取 x ? R, y ? R, 总有 Qx ? e y ? 2 x , Py ? e ? kx ---------------------------------2
y

x6 2 ?0 x ? 2 (2 ? x ? x )dx ----------------------------------------------------2 1 1 .---------------------------------------------------------2 ? ? ( x6 ? x7 )dx ? 0 56 七、应用题(本大题 8 分)
(2)I ? 如图,某广场中间有一块扇形绿地 OAB,其中 O 为扇形所在圆的圆心,该圆 的半径为常数 r ,?AOB ? 60? , 广场管理部门欲在绿地上修建观光小路: 在? AB 上 选一点 C,过 C 修建与 OB 平行的小路 CD ? x ,与 OA 平行的小路 CE ? y , 问 C 应选在何处,才能使得修建的道路 CD 与 CE 的总长最大,并说明理由.

因 Qx ? Py , 则 k ? 2 ---------------------------------------------------------------------------2

u( x, y) ? ?

( x, y )

(0,0) x

(e y ? 2 xy ? 1)dx ? ( xe y ? x 2 )d y ? C ---------------------------------1
y 0

? ? 2dx ? ? ( xe y ? x2 )dy ? C -------------------------------------------------2
0

---------------------------------------------------------------1 ? xe y ? x2 y ? x ? C .

五、计算题(本大题8分) ? n ? 5 2n?1 求幂级数 ? x 的收敛半径. n n ?1 25
解: 令 un =

n ? 5 2n ?1 u 1 2 x , 则 lim n +1 ? x ----------------------------------------------2 n n ?? u 25 25 n

解: 在 ?ODC 中, CD ? x , OD ? CE ? y ,OC ? r , ?ODC ?
2 2 2

2 ? ------------------------1 3

1 2 x ? 1 时,即 x ? 5 原级数绝对收敛---------------------------------------------2 当 25 1 2 x >1 时, 当 , 即 x >5 原级数发散----------------------------------------------------2 25 则原级数收敛半径为 R ? 5 . --------------------------------------------------------------2

2 2 2 3 2 2 2 为使 x ? y 达到最大,令 L ? x ? y ? ? ( x ? y ? xy ? r ) --------------------------------1 因 Lx ? 1 ? ?(2x ? y) ? 0,Ly ? 1 ? ?(2 y ? x) ? 0 , -------------------------------------2
由余弦定理知,r ? x ? y ? 2 xy cos ? ? x ? y ? xy -------------------------------2 解得 x ? y ?

3 r ,此时,C 应选在 ? AB 的中点.------------------------------------------2 3


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