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1-3 算法案例


案例1 辗转相除法与更相减损术

〖创设情景,揭示课题〗
[问题1]:在小学,我们已经学过求最大公约数 的知识,你能求出18与30的最大公约数吗? 2 18 30 先用两个数公有的质因数 3 9 15 连续去除,一直除到所得 3 5 的商是互质数为止,然后 ∴18和30的最大公约 把所有的除数连乘起来. 数是2×3=6. [问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大 公约数,如果公约数比较大而且根据我们的观察 又不能得到一些公约数,我们又应该怎样求它们 的最大公约数?比如求8251与6105的最大公约数?

〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 分析:8251与6105两数都比较大,而且没 有明显的公约数,如能把它们都变小一点,根 据已有的知识即可求出最大公约数. 解:8251=6105×1+2146 显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数,同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数,所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。

〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解:8251=6105×1+2146; 6105=2146×2+1813; 2146=1813×1+333; 1813=333×5+148; 333=148×2+37; 148=37×4+0. 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: 第一步:用较大的数m除以较小的数n得到 一个商q0和一个余数r0;(m=n×q0+r0) 第二步:若r0=0,则n为m,n的最大公约 数;若r0≠0,则用除数n除以余数r0得到一个 商q1和一个余数r1;(n=r0×q1+r1) 第三步:若r1=0,则r0为m,n的最大公约 数;若r1≠0,则用除数r0除以余数r1得到一个 商q2和一个余数r2;(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn=0,此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。

辗转相除法求最大 公约数算法:
第一步,给定两个正数m,n 第二步,计算m除以n所得到余数r 第三步,m=n,n=r 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则返回第二步

4. 辗转相除法的程序框图及程序:
开始
输入两个正数m,n m<n?


x=n n=m m=x



r=m MOD n
r≠0?

n=r m=n




输出n

结束

INPUT m,n IF m<n THEN x=n n=m m=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 m=n n=r r=m MOD n WEND PRINT n END

练习1:利用辗转相除法求两数4081与 20723的最大公约数. 20723=4081×5+318;

4081=318×12+265;
318=265×1+53; 265=53×5+0.

2.更相减损术: 我国早期也有解决求最大公约数问题的算 法,就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下:可 半者半之,不可半者,副置分母· 子之数,以少 减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译出来为:第一步:任意给出两个正数; 判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是, 执行第二步。 第二步:以较大的数减去较小的数,接着把 较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继 续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数 (等数)就是所求的最大公约数。

例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解:由于63不是偶数,把98和63以大数 减小数,并辗转相减, 即:98-63=35; 63-35=28; 35-28=7; 28-7=21; 21-7=14; 14-7=7. 所以,98与63的最大公约数是7。 练习2:用更相减损术求两个正数84与72的最大 公约数。

更相减损术算法
第一步,给定两个正整数,不妨设m>n, 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他们不同时是偶数,约简后的两个 数仍记为m,n 第三步,d=m-n 第四步,判断”d<>0”是否成立,若是,则将n,d 中较大者记为m,较小的记为n, 返回第三步;否则,2^k *n(k是约简整数的2的个数)为所求的最大公约数.

开始
输m,n(m>n)

K=0

N=n/2

K=k+1
M,n为偶数?

是 D=m-n

M=m/2

否 M=d D=m-n N=d M=n 否 D<>n?



D>n?



输出2^k d

结束

INPUT “m,n=“;m,n IF m<n THEN a=m m=n n=a END IF K=0 WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0 m=m/2 n=n/2 k=k+1 WEND d=m- n

While d<>n IF d>n then m=d ELSE m=n n=d End if d=m-n Wend d=2^k*d PRINT d End

3.辗转相除法与更相减损术的比较:
(1)都是求最大公约数的方法,计算上 辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为 主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少, 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法 体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损 术则以减数与差相等而得到.

案例2 秦九韶算法

思考探究

[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序
x=5 f=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7

PRINT f
END

点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.

[问题2]有没有更高效的算法? 分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量, 即先计算x2,然后依次计算

x ? x,( x ? x) ? x,(( x ? x) ? x) ? x
2 2 2

的值. 这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘 法运算,5次加法运算.

第二种做法与第一种做法相比,乘法的运 算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于 计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一 次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到 结果.

[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多 项式的求值问题? v =2 0 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 4 3 2 =(2x -5x -4x +3x-6)x+7 v =v x-4=5 × 5-4=21 2 1 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 2 =(((2x -5x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 所以,当x=5时,多项式的值是2677. 这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.

v5=v4x+7=534×5+7=2677

例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值. 解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即

v0=2

v1=v0x-5=2×5-5=5

v2=v1x-4=5×5-4=21

v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534 所以,当x=5时,多 v5=v4x+7=534×5+7=2677 项式的值是2677.

例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.

解法二:列表
2

原多项式 的系数

x=5
2

-5 10 5

-4 25 21

3 105 108

-6 7 540 2670 534 2677
多项式 的值.

所以,当x=5时,多项式的值是2677.

练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值. 解:原多项式先化为:

f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
3 -6 0 605 3040 15170 608 3034 15170 所以,当x=5时,多项式的值是15170. 注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0. 列表 2 x=5 2 -5 10 5 0 -4 25 125 25 121

一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式: f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1,

然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.

这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.

点评:秦九韶算法是求一元多项式的 值的一种方法. 它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转 化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法 运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算 和n次加法运算,大大提高了运算效率.

v1=anx+an-1,

v2=v1x+an-2,

v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见 vk的计算要用到vk-1的值. 若令v0=an,得 v0=an, vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步 骤,因此可用循环结构来实现. [问题]画出程序框图,表示用秦九韶算法求5次多 项式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0 (x0是任意实数)时的值的过程,然后写出程序.

程序框图 开始
输入a0,a1,a2,a3,a4,a5

程序
INPUT a0,a1,a2,a3,a4,a5

输入x0
n=1 v=a5

n=n+1 n≤5?
v=vx0+a5-n


输出v



INPUT x0 n=1 v=a5 WHILE n<=5 v=vx0+a5-n n=n+1 WEND PRINT v END

结束

案例3 进位制
一、三维目标 (a)知识与技能 了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利 用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之 间的转换。 (b)过程与方法 学习各种进位制转换成十进制的计算方法,研究 十进制转换为各种进位制的除k去余法,并理解其中的 数学规律。 (c)情感态度与价值观 领悟十进制,二进制的特点,了解计算机的电路 与二进制的联系,进一步认识到计算机与数学的联系 .

二、教学重难点 重点:各进位制表示数的方法及各进位制 之间的转换 难点:除k去余法的理解以及各进位制之 间转换的程序框图的设计 三、学法 在学习各种进位制特点的同时探讨进位制 表示数与十进制表示数的区别与联系,熟悉各 种进位制表示数的方法,从而理解十进制转换 为各种进位制的除k去余法。

[问题1]我们常见的数字都是十进制的, 但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. 比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计 算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的 进位制之间又有什么联系呢? 进位制是人们为了计数和运算的方便而 约定的一种记数系统,约定满二进一,就是二 进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就 是十六进制;等等. “满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几. 可使用数字符号的个数称为基数.基数 都是大于1的整数.

如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;
十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个 数字,基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有0~9等10 个数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应 10~15),十六进制的基数是16. 注意:为了区分不同的进位制,常在数字 的右下脚标明基数,. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.

十进制数一般不标注基数.

[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7 个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成 下面的形式: 3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什 么形式? 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.

同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162 +1×161+6×160.

一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k) 意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k. k进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 注意这是一 个n+1位数. 1 0 +…+a1×k +a0×k .

[问题3]二进制只用0和1两个数字,这 正好与电路的通和断两种状态相对应,因 此计算机内部都使用二进制.计算机在进 行数的运算时,先把接受到的数转化成二 进制数进行运算,再把运算结果转化为十 进制数输出.

那么二进制数与十进制数之间是如 何转化的呢?

例1:把二进制数110011(2)化为十进制数. 分析:先把二进制数写成不同位上数字与2 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算 规则计算出结果.
解:110011(2)

=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20
=1×32+1×16+1×2+1=51. [问题4]你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗? 解:10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30 =81+18+6+1=106.

k进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字 与基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . 再按照十进制数的运算规则计算出结果.

例2:把89化为二进制的数. 分析:把89化为二进制的数,需想办法将89 先写成如下形式

89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .
89=64+16+8+1=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2). 但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办? 89=44×2+1, 44=22×2+0, 22=11×2+0, 11=5×2+1, 5=2×2+1, 2=1×2+0, 1=0×2+1,

89=44×2+1, 44=22×2+0, 22=11×2+0, 11=5×2+1, 5=2×2+1, 2=1×2+0, 1=0×2+1, 89=44×2+1, 可以用2连续去除89 或所得商 ( 一直到商为 =(22×2+0)×2+1 0为止),然后取余数 =((11×2+0)×2+0)×2+1 ---除2取余法. =(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1 =((((2×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1

=(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1 =1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).

例2:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法: 余数 1 0 0 1 1 0 1

2 89 2 44 2 22 2 11 2 5 2 2 21 0

把算式中各步所得的余数 从下到上排列,得到 89=1011001(2).
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.

例3:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的除法算式为: 余数 5 89 5 17 4 5 3 2 0 3 ∴ 89=324(5).

[问题5]你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数:

10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数: 106=1101010(2). ∴10221(3)=106= 1101010(2).


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