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1978年第二十届IMO试题(不含答案)


第二十届(1978 年) 罗马尼亚 布加勒斯特(Bucharest,Romania)
1.已知 m 和 n 是自然数且 1≤m<n。在十进制中,1978m 的后三位数字和 1978n 的 后三位数字相同。找出使得 m+n 最小的 m 和 n 值。 (古巴) 2. P 是球内一定点。 三条从 P 发出的互相垂直的射线与球面分别相交于点 U、 V、 W;Q 代表由 PU、PV、PW 决定的平行六面体中 P 的相对的顶点。求出 Q 点的 轨迹。 (美国) 3. 所有正整数的集合是两个不相交的子集{f(1), f(2), …, f(n), …}, {g(1), g(2), …, g(n),…}的并集,这里 f(1)<f(2)<…<f(n)<…,g(1)<g(2)<…<g(n)<…,以及对于 所有 n≥1 都有 g(n)=f(f(n))+1。判断 f(240)的值。 (英国) 4. 在三角形 ABC 中, AB=AC。 一个圆与三角形 ABC 的外接圆内切并分别与 AB、 AC 相切于 P、Q。求证:线段 PQ 的中点是三角形 ABC 的内切圆的圆心。 (美国) 5. 令{ak}(k=1,2,3,…,n,…)是不同正整数组成的数列。 证明对于所有的自然数 n 都 有?
n ak 1 ? 。 (法国) ? 2 k ?1 k k ?1 k n

6. 一个国际组织有来自六个不同国家的成员。成员列表中共有 1978 个名字,编 为 1,2,…,1978。求证:至少有一个成员的编号是来自他同一国家的其它两个 成员的编号的和,或者是来自他同一国家的一个成员的编号的两倍。 (荷兰)


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