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2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一上学期第一次月考数学试卷 解析版


2015-2016 学年江苏省南通市启东中学高一(上)第一次 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应位置上. 1.若集合 A={x|﹣1<x<3},B={x|2<x<4},则集合 A∩B= {x|2<x<3} . 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】由 A 与

B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={x|﹣1<x<3},B={x|2<x<4}, ∴A∩B={x|2<x<3}. 故答案为:{x|2<x<3} 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.已知 A={﹣1,3,m},集合 B={3,4},若 B?A,则实数 m= 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题.

4 .

【分析】先由 B?A 知,集合 B 是集合 A 的子集,然后利用集合子集的定义得集合 A 必定 含有 4 求出 m 即可. 【解答】解:已知 A={﹣1,3,m},集合 B={3,4}, 若 B?A,即集合 B 是集合 A 的子集. 则实数 m=4. 故填:4. 【点评】 本题主要考查了集合的关系, 属于求集合中元素的基础题, 也是高考常会考的题型.

3.函数 y=

定义域 (﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞) .(区间表示)

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域. 【解答】解:要使函数 f(x)有意义,则 ,





解得 x>﹣2 且 x≠﹣1, 即函数的定义域为(﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞), 故答案为:(﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞) 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.

4.若 f(1﹣x)=x2,则 f(1)= 0 . 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的解析式,进行转化即可. 【解答】解:∵f(1﹣x)=x2, ∴f(1)=f(1﹣0)=02=0, 故答案为:0 【点评】本题主要考查函数值的计算,比较基础.

5.若集合 A={1,2,3},B={1,3,4},则 A∪B 的真子集个数为 15 . 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的并集,找出并集的真子集个数即可. 【解答】解:∵A={1,2,3},B={1,3,4}, ∴A∪B={1,2,3,4}, 则 A∪B 的真子集个数为 24﹣1=15. 故答案为:15 【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.

6.函数

的单调增区间为 [,1)和(1,+∞) .

【考点】复合函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【解答】解:由 x(1﹣x)≠0 得 x≠0 且 x≠1,即函数的定义域为{x|x≠0 且 x≠1}, 设 t=x(1﹣x)=﹣x2+x,对称轴为 x=,则函数等价 y=, 由 t=x(1﹣x)>0 得 0<x<1,此时 y=为减函数, 要求函数 f(x)的单调递增区间,则求函数 t=x(1﹣x)在 0<x<1 上的递减区间, ∵当≤x<1 时,函数 t=x(1﹣x)单调递减,此时函数 f(x)的单调递增区间为[,1). 由 t=x(1﹣x)<0 得 x>1 或 x<0,此时 y=为减函数, 要求函数 f(x)的单调递增区间,则求函数 t=x(1﹣x)在 x>1 或 x<0 的递减区间, ∵当 x>1 时,函数 t=x(1﹣x)单调递减,此时函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞). ∴函数的单调递增区间为[,1)和(1,+∞). 故答案为:[,1)和(1,+∞). 【点评】本题主要考查函数单调区间的求解,利用换元法,结合复合函数单调性之间的关系 是解决本题的关键.注意要对分母进行讨论.

7.给定映射 f:(x,y)→(x+2y,2x﹣y),则映射 f 下的对应元素为(3,1),则它原 来的元素为 (1,1) . 【考点】映射. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题已知映射 f 的对应法则和映射的象,可列出参数 x、y 相应的关系式,解方程 组求出原象,得到本题题结论. 【解答】解:∵映射 f:(x,y)→(x+2y,2x﹣y),映射 f 下的对应元素为(3,1), ∴ ,





∴(3,1)原来的元素为(1,1). 【点评】本题考查的是映射的对应关系,要正确理解概念,本题运算不大,属于容易题.

8.若函数

的定义域和值域都是[1,b],则 b 的值为 3



【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】先根据 f(x)在[1,b]上为增函数,当 x=1 时,f(x)=1,当 x=b 时,f(x)=(b ﹣1)2+1=b,可得然后把 b 代入即可得出答案. 【解答】解:∵函数 b]上为增函数, ∴当 x=1 时,f(x)=1,当 x=b 时,f(x)=(b﹣1)2+1=b, 解得:b=3 或 b=1(舍去), ∴b 的值为 3, 故答案为:3. 【点评】本题考查了函数的值域及函数的定义域的求法,属于基础题,关键是根据 f(x) 在[1,b]上的单调性求解. 的定义域和值域都是[1,b],且 f(x)在[1,

9.若集合 A={x|kx2+4x+4=0},x∈R 中只有一个元素,则实数 k 的值为 0 或 1 . 【考点】集合关系中的参数取值问题. 【专题】计算题. 【分析】集合 A 表示的是方程的解;讨论当二次项系数为 0 时是一次方程满足题意;再讨 论二次项系数非 0 时,令判别式等于 0 即可. 【解答】解:当 k=0 时,A={x|4x+4=0}={﹣1}满足题意 当 k≠0 时,要集合 A 仅含一个元素需满足 △ =16﹣16k=0 解得 k=1 故 k 的值为 0;1 故答案为:0 或 1 【点评】 本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为 0 的情况、 考虑判 别式的情况.

10.函数 f(x)=1﹣ 【考点】函数的值域.

的最大值是 1 .

【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由观察法可直接得到函数的最大值. 【解答】解:∵ ∴1﹣ ≤1, 的最大值是 1. ≥0,

即函数 f(x)=1﹣ 故答案为:1.

【点评】本题考查了函数的最大值的求法,本题用到了观察法,属于基础题.

11.若函数 y=

的定义域为 R,则实数 a 的取值范围 [0,) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意得不等式组,解出即可. 【解答】解:由题意得: 解得:0≤a<, 故答案为:[0,). 【点评】本题考查了二次函数,二次根式的性质,是一道基础题. ,

12.函数 f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且它为单调增函数,若 f(1﹣a)+f(1 ﹣a2)>0,则 a 的取值范围是 0<a<1 . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】将不等式进行转化,利用函数的单调性和奇偶性,即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)为奇函数, ∴f(1﹣a)+f(1﹣a2)>0 可化为 f(1﹣a)>﹣f(1﹣a2)=f(a2﹣1), 又 f(x)在定义域(﹣1,1)上递增, ∴﹣1<a2﹣1<1﹣a<1,解得 0<a<1. ∴a 的取值范围为:0<a<1. 故答案为:0<a<1.

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用,考查抽象不等式的求解,考查学生的 转化能力.综合考查函数的性质.

13.函数 f(x)是偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x﹣1,则不等式 f(x)>0 在[﹣2,2] 上的解集为 [﹣2,﹣1)∪(1,2] .(用区间表示) 【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先求出当 x∈[0,2]时,解集为(1,2],再由函数的奇偶性求出当 x∈[﹣2,0]时, 解集为(1,2],即可求出不等式 f(x)>0 在[﹣2,2]上的解集. 【解答】解:当 x∈[0,2]时,f(x)=x﹣1>0,即有 x>1,解集为(1,2], 函数 f(x)是偶函数,所以图象是对称的,当 x∈[﹣2,0]时,解集为[﹣2,﹣1), 综上所述,不等式 f(x)>0 在[﹣2,2]上的解集为[﹣2,﹣1)∪(1,2], 故答案为:解集为[﹣2,﹣1)∪(1,2]. 【点评】本题主要考察了函数奇偶性的性质,属于基础题.

14.对于实数 a 和 b,定义运算*:

,设 f(x)=(2x﹣1)*(x

﹣1),若直线 y=m 与函数 y=f(x)恰有三个不同的交点,则 m 的取值范围 (0,) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用. 【分析】化简 f(x)= 法求解. 【解答】解:当 x≤0 时,2x﹣1≤x﹣1, f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) =(2x﹣1)2﹣(2x﹣1)(x﹣1) =(2x﹣1)x, 当 x>0 时,2x﹣1>x﹣1, f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)=﹣x(x﹣1), ,作函数 f(x)的图象,利用数形结合的方

故 f(x)=



作函数 f(x)=

的图象如下,

结合图象可知, m 的取值范围为(0,); 故答案为:(0,). 【点评】本题考查了数形结合的思想的应用及分段函数的化简与运算.

二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知集合 A={x|x2=1},B={x|ax=1}.若 B?A,求实数 a 的值. 【考点】集合关系中的参数取值问题. 【专题】计算题;分类讨论. 【分析】已知 B?A,分两种情况:①B=?,②B≠?,然后再根据子集的定义进行求解; 【解答】解:显然集合 A={﹣1,1},对于集合 B={x|ax=1}, 当 a=0 时,集合 B=?,满足 B?A,即 a=0; 当 a≠0 时,集合 得 a=﹣1,或 a=1, 综上得:实数 a 的值为﹣1,0,或 1. 【点评】此题主要考查子集的定义及其性质,此题还用到分类讨论的思想,注意 B=?,这 种情况不能漏掉; ,而 B?A,则 ,或 ,

16.已知函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x0∈D,使等式 f(x0)=x0 成立,则称 x=x0 为函 数 f(x)的不动点,若 x=±1 均为函数 f(x)= (1)求 a,b 的值. (2)求证:f(x)是奇函数. 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)直接利用定义把条件转化为 f(﹣1)=﹣1,f(1)=1 联立即可求 a,b 的值 及 f(x)的表达式; (2)根据奇函数的定义进行证明. 的不动点.

【解答】解:(1)有题意可得:

解得:



(2)由(1)知, 定义域是 R, 设任意 x,则, f(﹣x)= =﹣

,故 f(x)=



=﹣f(x),

故函数 f(x)是奇函数. 【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法,函数的奇偶性,属于基础题.

17.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼 时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v(单位:千克/年)是养殖密度 x(单 位:尾/立方米)的函数.当 x 不超过 4(尾/立方米)时,v 的值为 2(千克/年);当 4≤x≤20 时,v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20(尾/立方米)时,因缺氧等原因,v 的值为 0(千克/ 年). (1)当 0<x≤20 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)f(x)=x?v(x)可以 达到最大,并求出最大值.

【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;综合题. 【分析】(1)由题意:当 0<x≤4 时,v(x)=2.当 4<x≤20 时,设 v(x)=ax+b,v(x) =ax+b 在[4,20]是减函数,由已知得 ,能求出函数 v(x).

(2)依题意并由(1),得 f(x)=

,当 0≤x≤4 时,f

(x)为增函数,由此能求出 fmax(x)=f(4),由此能求出结果. 【解答】解:(1)由题意:当 0<x≤4 时,v(x)=2.… 当 4<x≤20 时,设 v(x)=ax+b,显然 v(x)=ax+b 在[4,20]是减函数, 由已知得 ,

解得



故函数 v(x)=



(2)依题意并由(1),

得 f(x)=

,…

当 0≤x≤4 时,f(x)为增函数, 故 fmax(x)=f(4)=4×2=8.… 当 4≤x≤20 时,f(x)=﹣ fmax(x)=f(10)=12.5.… 所以,当 0<x≤20 时,f(x)的最大值为 12.5. 当养殖密度为 10 尾/立方米时, 鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为 12.5 千克/立方米.… 【点评】 本题考查函数表达式的求法, 考查函数最大值的求法及其应用, 解题时要认真审题, 注意函数有生产生活中的实际应用. =﹣ =﹣ + ,

18.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣8<0},B={x|x2+2x﹣3>0},C={x|x2﹣3ax+2a2<0}试求实数 a 的取值范围使 C?A∩B. 【考点】一元二次不等式的解法;集合关系中的参数取值问题. 【专题】计算题. 【分析】先求出集合 A 与集合 B,从而求出 A∩B,讨论 a 的正负,根据条件 C?A∩B 建立 不等关系,解之即可. 【解答】解:依题意得:A={x|﹣2<x<4},B={x|x>1 或 x<﹣3,} ∴A∩B={x|1<x<4} (1)当 a=0 时,C=Φ,符合 C?A∩B; (2)当 a>0 时,C={x|a<x<2a}, 要使 C?A∩B,则 解得:1≤a≤2; (3)当 a<0 时,C={x|2a<x<a}, ∵a<0,C∩(A∩B)=Φ, ∴a<0 不符合题设. ∴综合上述得:1≤a≤2 或 a=0. 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法,以及集合关系中的参数取值问题,同时考 查了分类讨论的数学思想,属于中档题. ,

19.已知二次函数 f(x)=x2﹣4x﹣4 在闭区间[t,t+2](t∈R)上的最大值记为 g(t),求 g (t)的表达式,并求出 g(t)的最小值. 【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】首先不二次函数的一般式转化成顶点式,进一步求出对称轴方程,根据轴固定和区 间不固定进行分类讨论,然后确定函数的单调性,进一步求出最大值和最小值. 【解答】解:二次函数 f(x)=x2﹣4x﹣4=(x﹣2)2﹣8 开口方向向上,对称轴方程:x=2, 当 2< ,即 t>1 时,x=t+2 距离对称轴的距离比 x=t 的距离远,

所以,当 x=t+2 时,g(t)=t2﹣8;

当 2≥

,即 t≤1 时,x=t+2 距离对称轴的距离比 x=t 的距离近,

所以,当 x=t 时,g(t)=t2﹣4t﹣4; 综上可得,g(t)= 当 t≤1 时,t=0 时,g(t)取小值﹣8, 当 t>1 时,t=2 时,g(t)取小值﹣8, 所以 g(t)的最小值为﹣8 【点评】本题考查的知识点:二次函数一般式与顶点式的转换,对称轴方程,二次函数轴固 定与区间不固定之间的讨论,求二次函数的最值.

20.已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=2,任取 a,b∈[﹣1,1],a+b≠0, 都有 >0 成立.

(1)证明函数 f(x)在[﹣1,1]上是单调增函数. (2)解不等式 f(x)<f(x2). (3)若对任意 x∈[﹣1,1],函数 f(x)≤2m2﹣2am+3 对所有的 a∈[0,]恒成立,求 m 的取 值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】 (1)根据函数的奇偶性及已知不等式可得差的符号,由单调性的定义可作出判断; (2)根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”,转化为具体不等式可求,注意 函数定义域; (3)对所有 x[﹣1,1],f(x)≤2m2﹣2am+3 成立,等价于 f(x)max≤2m2﹣2am+3,由单 调性易求 f(x)max,从而可化为关于 a 的一次函数,利用一次函数的性质可得关于 m 的不 等式组. 【解答】解:(1)证明:任取 x1、x2∈[﹣1,1],且 x1<x2, 又 f(x)是奇函数, 于是 f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)= .

据已知

>0,x1﹣x2<0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[﹣1,1]上是增函数. (2)f(x)<f(x2),由函数单调性性质知,x<x2,而﹣1≤x≤1,﹣1≤x2≤1 故不等式的解集为{x|﹣1≤x<0}. (3)对所有 x[﹣1,1],f(x)≤2m2﹣2am+3 成立,等价于 f(x)max≤2m2﹣2am+3, 由 f(x)在[﹣1,1]上的单调递增知,f(x)max=f(1)=2, 所以 2≤2m2﹣2am+3,即 0≤2m2﹣2am+1, 又对 a∈[0,]恒成立,则有 故实数 m 的取值范围为 m≤或 m≥1. 【点评】 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用, 考查恒成立问题. 考查转化思想, 在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义. ,解得 m≤或 m≥1,


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