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绝对值的和的不等式解法公式1


关于 ax ? b ? cx ? d

? m 绝对值不等式的解法公式

陆河外国语学校:杜耀航 201409
形如 ax ? b ? cx ? d ? m 的不等式在高考选择题填空题中年年有考题,很多学生解决 此题往往花时多或算不准确,致使该的得分而丢失,很可惜!为了帮助考生此题不失分,笔 者将此类不等式归纳出公式。希望象解一元

二次方程一样有公式,使考生能事半功倍。 记左边为函数 f(x)= ax ? b ? cx ? d ,当

b d ? 时 a c

则函数 f(x)min=

ad ? bc ad ? bc (a ? c ? 0) 或 (c ? a ? 0) 。 a c

当 m>f(x)min,a>c>0 时 不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为: ? ? ?,

? ?

b?d -m? ?b-d ?m ? , ? ?? ??? a ?c ? ? a-c ?
(2)

(1)

不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为: ?

?b?d -m b-d ?m? , ? a-c ? ? a?c

当 m>f(x)min,c>a>0 时

不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为 : ? ? ?,

? ?

b?d ?m? ?b?d ?m ? , ? ? ? (3) ??? a?c ? ? a?c ?
(4)

不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为: ? 当 m<f(x)min 时,

?b-d ?m b?d ?m? , ? a?c ? ? a-c

不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为 ?- ?, ? ?? 不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为空集φ

(5)

(6)

特别地:a=c=1 时,函数 f(x)= ax ? b ? cx ? d 的最小值= b ? d 当 m>f(x)min 时, 不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为: ? ? ?,

? ?

b?d -m? ?b?d ?m ? , ? ?? ??? 2 2 ? ? ?
(8)

(7)

不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为: ? 当 m<f(x)min 时,

?b?d -m b?d ?m? , ? 2 2 ? ?

不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为 ?- ?, ? ?? 不等式 ax ? b ? cx ? d ? m 的解集为空集φ

(9)

(10)

例题一 不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集为( (A)[-5.7] (C) (??, ?5] ? [7, ??) 解:本题适合公式(7) ,故选(D) 例题二 【2012 高考真题江西理 16】 (不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的 解集为___________。 解:两边除以 2 ,不等式化为 x ? ). (2011 年高考山东卷理科 4) (B)[-4,6] (D) (??, ?4] ? [6, ??)

1 1 ,故不等式的解集为 ? x ? ? 3 , 适合公式( 8 ) 2 2

? 3 3? x ? ?? , ? ? 2 2?
例题三 【2012 高考真题陕西理 15】A.(不等式选做题)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立, 则实数 a 的取值范围是 .

解:本题适合公式(8) 。 x ? a ? x ?1 的最小值等于 a ? 1 ,所以只要 a ? 1 ? 3 即可,故实 数 a 的 取值范围是 a ? ?? 2,4? 例题四

5?x? 3?a无解,则实数 a 的取值范围是_________ 若关于实数 x 的不等式 x?
解:本题适合公式(10) 。所以实数 a 的取值范围是 ? ? ? , 8 ? 例题 5,解不等式 2x ?1 ? x ? 4 >4 解: 这里的 a=2 ,b=1 ,c=1,d=4, 2x ?1 ? x ? 4 的最小值=

7 ad ? bc 7 ( 1) ? ,4> ,可用公式 2 a 2

故不等式的解集为: ? ? ?, 例题六

? ?

b?d -m? ?b-d ?m 1? ? ? ? ?? , ? ? ? = ? - ?, ? ? ?1, ??? 3? a ?c ? ? a-c ? ?

解不等式 3x ?1 ? 4x ? 3 < 3 解:这里 a ? 3, b ? 1, c ? 4, d ? 3,m ? 3 . 3x ?1 ? 2x ? 3 的最小值=

ad ? bc 5 = < 3 ,由 2 c

公式(4)的不等式的解集为: ?

?b-d ?m b?d ?m? , ? = ?? 1,1? a?c ? ? a-c


例题七(2014 年安徽)若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为( A 5 或 8 B ? 1或5 C

? 1或 ? 4

D ? 4或8

解:这里 a ? 1, b ? ?1, c ? 2, d ? ?a

f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? a 的最小值=

ad ? bc a ? 2 = 2 c

所以

a?2 =3,解得 a=-4,或 a=8.故选 D 2

这题据调查,好成绩的考生花去了十几分钟的时间,大部分考生无功而返,干脆猜由上帝决 定错对。有的考生因为这题该得的分而丢失了,与一本无缘。可惜了。 练习 1.(2011 年高考陕西卷理科 15)(不等式选做题) 若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在 实数解,则实数 a 的取值范围是 2.已知函数 f ?x? ? x?a ,其中 a ? 1 . (I)当 a = 2 时,求不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集;

2 xa ?? f x? 2 x|1?x?2 (II)已知关于 x 的不等式 f 的解集为 ? ? ?2 ?? ?,求 a 的值.
不等式选讲 3..设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | . (1)求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (2)若 ?x ? R, f ( x ) ? ?? ?
2

?

?

9 ? ,求实数 ? 的取值范围。 2

4.若不等式

x ? 4 ? x ? a ? 2 对所有的 x 都恒成立,则 a 的取值范围是

3. (2009 辽宁选作 24) 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | . (I)若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) ? 3 ; (II)如果 ?x ? R, f ( x) ? 2, 求a 的取值范围。 5.


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