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高中数学函数定义及表示方法专项讲解及练习


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专题

函数定义及表示方法
考点精要

1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的 概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函 数奇偶性的含义.

热点分析
主要考查简单函数的定义值、值域、表示方法及影射的概念

知识梳理
1.函数:设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x,按照确定的法 则 f, 都有唯一确定的数 y 与它对应, 则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数, 记作 y=f(x) ,x∈A,其中 x 叫做自变量,自变量取值的范围(数集 A)叫做这 个函数的定义域. 如果自变量取值 a,则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的函数值,记作 y=f(a)或 y|x=a 所有函数值构成的集合 ? y | y ? f ( x), x ? A? 叫做这个函数的值域. 2.函数两要素:因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,所以确 定一个函数就只需要两个要素:定义域和对应法则. 3.映射:设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f,对 A 中的任意 一个元素 x,在 B 中有且仅有一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射.这时,称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象,记作 f(x) ,于是 y=f(x) ,x 称作 y 的原象.映射 f 也可以记为 f:A→B,x→f(x) , 其中 A 叫做映射 f 的定义域(函数定义域的推广) ,由所有象 f(x)构成的集合 叫做映射 f 的值域,通常记作 f(A) . 4.一一映射:如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任意 一个元素,在集合 A 中都有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之 间存在一一对应关系,并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射. 5.函数与映射:对定义域内每个自变量的值,根据确定的法则对应唯一的函数 值,函数值也在一个数集内变化.于是函数也就是数集到数集的映射.映射是 函数概念的推广,函数是一种特殊的映射. 这里要注意:在映射中,要求元素的对应形式是 “多对一”或“一对一”,一 一映射中元素的对应形式必须是“一一对应关系”. 6.函数的表示方法:表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种. 列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列 表法. 图象法:对于函数 y=f(x) (x∈A)定义域内的每一个 x 值,都有唯一的 y

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值与它对应.把这两个对应的数构成有序实数对(x, y)作为点 P 的坐标,即 P (x, y) ,则所有这些点的集合 F 叫做函数 y=f(x)的图象,即 F ? ?P( x, y) | y ? f ( x), x ? A? . 这就是说,如果 F 是函数 y=f(x)的图像,则图像上的任一点的坐标(x, y) 都满足函数关系 y=f(x) ;反之,满足函数关系 y=f(x)的点(x, y)都在图象 F 上. 这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法. 解析法:如果在函数 y=f(x) ( x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式) 来表达的,则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法) . 7.分段函数:在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的 对应法则,这样的函数通常叫做分段函数,如 y ? ? ?
?x , x ? ?0,1? ? ?2 ? x, x ? ?1, 2?

;y=|x|;y=|x?1|

等. 8.求函数定义域:确定一个函数只需要两个要素,就是定义域和函数的对应法 则 f,定义域是自变量 x 的取值范围,它是函数不可缺少的组成部分,研究一个 函数,首先要确定它的定义域,即 “主角”自变量的“活动舞台”.在中学阶段, 所研究的函数大都是能用解析式表示的,如果未加特殊说明,函数的定义域就 是指能使函数解析式有意义的所有实数 x 的集合,在实际问题中,还必须考虑 自变量 x 所代表的具体量的允许范围.求函数的定义域,一般要遵循以下几条 原则: (1)若 f(x)为整式,则函数的定义域为 R. (2)若 f(x)为分式,则要求分母不为 0. (3)若 f(x)为对数形式,则要求真数大于 0. (4)若 f(x)为根指数是偶数的根式即偶次根式,则要求被开方式非负. 此外,函数解析式涉及零指数幂或负指数幂时,注意底数(式)不能为 0; 涉及到分数指数幂时,注意底数大于 0;如果函数 f(x)是由几个数学式子经由 求和、差、积、商构成的,则其定义域是使每个式子都有意义的实数集合,实 际上是一个不等式组的解集合. 例题精讲 例 1.(1) 函数 f ( x) ?
3x 2 1? x ? lg(3x ? 1) 的定义域是____________

(2)已知函数 f(2x)的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域.

(3)函数 f ( x) ?

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 的定义域是( lg(2 x ? 1)
3



变式题:已知函数 f(x)= 是( )
1 3

3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围 ax ? ax ? 3
2

A.a>

B.-12<a≤0

C.-12<a<0

D.a≤

1 3

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2

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例 2.求函数的解析式 (1) 已知 f(x)是二次函数,且满足 f(x+1)+ f(x?1)=2x2?4x,求 f(x) . 练习 :已知 f ( x) 是一次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,则 f ( x) ?
1 (2)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 。 x

练习:已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,则 f ( x) ?
1 1 (3)已知 f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ,求 f ( x) ; x x

练习 :已知 f ( x ?1) ? x2 ? 2x ? 3 ,则 f ( x) ?
2 (4)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x

练习:已知 f (3x ? 1) ? 9x2 ? 6x ? 5 ,则 f ( x) ? 例 3 求下列函数的值域 (1)f(x) = x2?2x?3,x∈[2, 4] (2)f(x) = x2?2x?3,x∈[?3, 4] (3)f(x) = sin2x?2sinx ?3,x∈R
1? (4) y ? ? ? ? ?2?
x2 ? 2 x

(复合函数)

(5) y ? x ? 4 1 ? x ; (注:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域, )

y ? x ? 1 ? x2
3x ? 1 ; x?2

(6) y ?

(7) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

(8) y ?

2x2 ? x ? 2 ; x2 ? x ? 1

2x2 ? x ? 1 1 (x ? ) ; (9) y ? 2x ?1 2
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3

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(10) y ?

1 ? sin x 。 2 ? cos x

f ( x) ?

x ?2 3? 2 x

的值域为

针对训练
1.设 A,B 都是正整数集 N*,映射 f:A→B 把 A 中的元素 n 映射到 B 中的元 素 2n+n,则在映射 f 下,象 20 的原象是 A.2 B. 3 C.4 D.5 2.下列各组函数中表示相同函数的一组是 A. f ( x) ? x2 , g( x) ? log2 2x B. f ( x) ? lg x2 , g ( x) ? 2lg x C. f ( x) ?
x2 ? 4 , g ( x) ? x ? 2 x?2

D. f ( x) ? x3 , g (t ) ? t 3 D.可多于 1 D. ?x | 0 ? x ? 1?

3.函数 y=f(x)的图像与直线 x=a( a ? R )的交点个数为 A.0 B. 1 C.0 或 1 4.函数 f ( x) ? 1 ? x ? x 的定义域为 A. ?x | x ? 1? B. ? x | x ? 0? C. ?x | x ? 1或x ? 0? 5.函数 y ?
? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x

A.[?4,1] (0,1]
? ? 1? ?

B.[?4,0)

C. (0,1]

D.[?4,0)∪

6.函数 y ? lg ?1 ? ? 的定义域是 x A.{x|x<0} x>1}
? 7.已知 f ?

B.{x|x>1}

C.{x|0<x<1}

D . {x|x<0 或

1 ? x ? 1 ? x2 ,则 f(x)的解析式可取为 ?? 2 ?1? x ? 1? x

A.

8.y=0.3x 的值域为 A. (0, ? ?) 9. y ?
x ?1 的值域为 x2 ? 1
2

x 1 ? x2

B. ?

2x 1 ? x2

C.

2x 1 ? x2

D. ?

2x 1 ? x2

B. ?1, ? ? ?

C. ? ??, 1?

D. ? 0, 1?

A.[?1,1]

B. (?1,1]

C.[?1,1)

D. (?1,1)

x ?1 10.若 f ( x) ? ,则方程 f(4x) = x 的根是 x 1 1 A. B. ? C.2 2 2
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D.2 4

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11.设 f ( x) ? ? ? A.0

?2e x ?1 ? ?log3 ( x ? 1)
2

x?2 x?2

,则 f(f(2) )的值为 C.2
x?0 x?0

B. 1

D.3 ,则 f(3)的值

?log (4 ? x) 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f ( x) ? ? 2 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2)

为 A.?1 B.?2 C.1 D.2 13. 用 min{a, b, c}表示 a, b, c 三个数中的最小值, 设f (x) =min{2x, x+2, 10 ?x} ( x ? 0 x≥ 0) ,则 f(x)的最大值为 A.4 B. 5 C.6 D.7 14.设函数 f ( x) ? ?
? x 2 ? 4 x ? 6 ( x ? 0) ( x ? 0) ?x ? 6 (3, ? ?) B. (?3, 1) (2, ? ?)

,则不等式 f(x)> f(1)的解集是
(?1, 1) (3, ? ?)

A. (?3, 1) C . D. (??, ? 3) (1, 3) 15.已知函数 f ( x) ? x2 ? | x ? 2 | ,则 f(1)=______________ 16.已知函数 f ( x) ? ?
?3x x ?1

?? x x ? 1 , x ?1 ?4 x ? 4 17.函数 f ( x) ? ? 2 的图像和函数 g(x)= log2x 的图像的交点个数是 ?x ? 4x ? 3 , x ? 1

,若 f(x)=2,则 x = ___________

_________.

18.已知函数 f ( x) ? 范围.

x2 ? 2 x ? a ,若当 x ? ?1, ? ? ? 时 f(x) >0 恒成立,求 a 的取值 x

1 ? 答案 例 1 ? ? ? , 1? ? 3 ?

例 2 f (x) = x2?2x?1

例 3 (1)y ???3, 5?(2)y ? ? ?4, 12?(3)

y ? ? ?4, 0? (4) y ? ? 0, 2?

针对训练

1.C 2.D 3.C 4.D 13.C 14.A 15.2 16.log32 17.3

5.D 6.D 18.a > ?3

7.C 8.D

9.C 10.A

11.C

12.B

高考链接
2 2

模拟实战

1(11 北京理)如果 log 1 x ? log 1 y ? 0 ,那么

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5

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(A) y ? x ? 1

(B) x ? y ? 1

(C) 1 ? x ? y

?2 x?2 ? , 2(11 北京文)已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个 ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?

不同的实根,则实数 k 的取值范围是_______ 1 3 ( 06 全 国 文 ) 已 知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 , 且 2 ( A、
?

f (m) ? 6 , 则 m 等 于


1 4

B、

1 4

C、

3 2

D、 ?

3 2

4(05 北京文)函数 f ( x) ? x ? 1 ?

1 的定义域为 2? x

. 。 ( )

?3x , x ? 1, 5 (09 北京文) 已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 , 则x? ?? x, x ? 1,
6(08 全国)图中的图象所表示的函数的解析式为 3 A. y ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 3 3 B. y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 C. y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 D. y ? 1? | x ? 1 | (0≤x≤2)

?3x , x ? 1, 7(2009 北京文)已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ? x , x ? 1, ?
?1 , x?0 ? ?x ( 2009 北京理)若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

.

1 x ) ? | 的解集为 则不等式 | f ( 3

____________.
?log 2 (1 ? x ), x ? 0 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

则 f(2009)的值为 ( ) A.-1 B. 0

C.1

D. 2 6

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9 . 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

f ? f ?5?? ? __ ________.

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?

? x ? 2 ( x ? ?1) 1 ? 3 10.函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,则 f (? ) ? ________ ,若 f (a) ? ,则实数 2 2 ?2 x ( x ? 2) ? a 的取值范围是

11. 例 10 .

已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 答案:1D 略 2(0,1) 3A ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上) . 4[-1, 2)∪(2, +∞) 5 略 6B 7---11

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