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2015年高考试题(全国课标Ⅰ卷)数学(理科)试卷及答案(含评分标准)


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试题类型:A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标Ⅰ 理科数学
第Ⅰ卷
一. 选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)设复数 z 满足

(C) 3 (2)sin20°cos10°-cos160°si

n10°= (A) ?

1+z =i,则|z|= 1? z (A)1 (B) 2

(D)2

1 1 3 3 (B) (C) ? (D) 2 2 2 2 n 2 (3)设命题 P: ? n ? N, n > 2 ,则 ? P 为 n n n 2 2 2 (A) ? n ? N, n > 2 (B) ? n ? N, n ≤ 2 (C) ? n ? N, n ≤ 2

(D) ? n ? N, n = 2 (4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各 次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
2

n

(5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: y0 的取值范围是 (A)(-

???? ? ???? ? x2 ? y 2 ? 1 上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 <0,则 2

3 3 , ) 3 3

(B)(-

3 3 , ) 6 6

(C)( ?

2 2 2 2 , ) 3 3

(D)( ?

2 3 2 3 , ) 3 3

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的 弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3, 估算出堆放的米约有 ( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛

? 4 ???? ???? 1 ??? ? 4 ???? 1 ??? AB ? AC (B) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 ???? 4 ??? ? 1 ???? ???? 4 ??? ? 1 ???? (C) AD ? AB ? AC (D) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 (8)函数 f ( x) ? cos(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为( ) 1 3 (A) ( k? ? , k? ? ), k ? Z 4 4
(A) AD ? ? (B) (2k? ? (C) (k ?

(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则

??? ?

??? ?

????

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4

(D) (2k ?

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4
1

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 2 (10) ( x ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为 (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r ) 组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和 俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 r

2 r

r 正视图

16 ? 20? ,则 r ? ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

2 r 俯视图

12.设函数 f ( x) ? ex (2x ?1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围 是( ) A.[ ?

3 ,1) 2e

B. [ ?

3 3 , ) 2e 4

C. [

3 3 , ) 2e 4

D. [

3 ,1) 2e

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题 -第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二. 填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a ?

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为 16 4 ? x ? 1 ? 0, y ? (15)若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 的最大值为 . ? x ? y ? 4 ? 0, x ?
(14)一个圆经过椭圆 (16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) Sn 为数列{ an }的前 n 项和,已知 an ? 0 , a 2 n ? 2an ? 4Sn ? 3 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式: (Ⅱ)设 bn ?



1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和。 an an?1
F A B
2

18.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°, E

E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD, DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

D C

19.(本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元) 对年销售量 y (单位: t) 和年利润 z (单位: 千元) 的影响, 对近 8 年的宣传费 xi 和年销售量 yi ? i ? 1, 2,?,8? 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

? x
46.6

? ? y
563

?? w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

8

? (wi ? w)2
i ?1

8

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

8

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

289.8

1.6

1469

108.8

表中 w1 = x1

w=

1 8 ? wi 8 i ?1

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ) 已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ),(u2 , v2 ),...,(un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的最小二乘估计分别

?? 为: ?

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

?u ? ?v?? ,?

2

x2 与直线 l : y ? kx ? a(a ? 0) 交与 M , N 两点, 4 (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C : y ?

3

3 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ?

(Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; 的个数

1 , g ( x) ? ? ln x 4

(Ⅱ)用 min ?m, n? 表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min f ( x), g ( x)

?

? ( x ? 0) ,讨论 h(x)零点

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做 的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点 E (I) 若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; (II) 若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小.

C E D A B

O

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中。直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点, x
2 2

轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I) 求 C1 , C2 的极坐标方程; (II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M

, N ,求△C2MN

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 .

(Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

4

2015 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 理科数学参考答案
A 卷选择题答案
一、选择题

(1)A (2)D (7)A (8)D A、B 卷非选择题答案 二、填空题 (13)1
三、解答题: (17)解:

(3)C (9)C

(4)A (10)C

(5)A (11)B

(6)B (12)D

3 25 (14) ( x ? ) 2 ? y 2 ? 2 4

(15)3

(16)

2 2 (I)由 an ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3. 2 2 可得 an ?1 ? an ? 2(an?1 ? a) ? 4an?1 即 2 2 2(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (an?1 ? a)(an?1 ? a) 由于 an ? 0 可得 an?1 ? an ? 2.

又 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1(舍去),a1 ? 3

所以 ?an ? 是首相为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1 1 1 1 1 1 bn ? ? ? ( ? ). an a?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则

Tn ? b1 ? b2 ? ?? bn
1? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( )?( ) ? 2? 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ? ? n ? . 3(2n ? 3) ?
E F A D C

(18)解: (I)连结 BD,设 BD ? AC=G,连结 EG,FG,EF. B 在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ? ABC=120°, 可得 AG=GC= 3 .由 BE ? 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC. 又 AE ? EC,所以 EG= 3 ,且 EG ? AC.在 Rt ? EBG 中,
6 2 .在 Rt ? FDG 中,可得 FG= . 2 2 2 在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF= , 2 3 2 可得 FE= .从而 EG2 ? FG2 ? EF 2 , 所以EG ? FG 2 又 AC ? FG ? G, 可得EG ? 平面AFC. 因为 EG ? 平面AEC 所以平面 AEC ? 平面AFC (II)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向, ??? ? GB 为单位长,建立空间直角坐标系 G-xyz.

可得 BE= 2 故 DF=

5

2 由(I)可得 A(0, ? 3,0), E (1, 0,2), F (?1, 0, ), C (0,3,0) 所以 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 2 ? ??? ? ?? AE ? (1,3 2), CF ? (?1,3, ). 故 cos AE, CF ? ??? . 2 3 AE ? CF 3 所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 . 3
(19)解: ( I )由散点图可以判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类 型。 ……2 分 (II)令 w ?
n

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于

?? d

? (w ? w)( y ? y )
i ?1 i i

? (w ? w)
i ?1 i

n

?

2

108.8 ? 68 1.6

? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 。 ? ? y ? dw c ? ? 100.6 ? 68w , 因 此 y 关 于 x 的 回 归 方 程 为 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y

? ? 100.6 ? 68 x 。 y
(III) (i)由(II)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值

……6 分

? ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 y
年利润 z 的预报值

? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 。 z (ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

……9 分

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ? 13.6 x ? 20.12 z 13.6 ? 取得最大值 ? 6.8 ,即 x=46.24 时, z 所以当 x ? 2
故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大。 ……12 分

(20)解:
x x2 (I)由题设可得 M (2 a , a), N (?2 a , a), 或M (-2 a ,a).又 y?= ,故y ? 在x ? 2 a 2 4 处的导数值为 a ,C 在点 (2 a , a) 出的切线方程为 y ? a ? a ( x ? 2 a ),即 ax ? y ? a ? 0 x2 在x ? ?2 a ,即 ax ? y ? a ? 0 . 4 故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0和 a x ? y ? a ? 0 (II)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x,y),N(x,y)直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2 y?

y ? kx ? a代入C的方程得x2 ? 4kx ? 4a ? 0. 故 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a.
从而 kx ? a代入C的方程得x2 ? 4kx ? 4a ? 0. 故x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a. y ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k (a ? b) 从而k1 ? k 2 ? 1 ? ? ? x1 x2 x1 x2 a 当 b=-a 时,有 k1 ? k2 ? 0, 则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补,故?OPM=?OPN,所以点P(0,-a)符合题意
6

(21)解:

( x0 , 0)则f ( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? 0即 1 ? 3 ? ? x0 ? ax0 ? ? 0 ? (I)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 ? 4 ? 2 ?3x ? a ? 0 ? ? 0 ? 1 3 解得x0 , a ? ? 2 4 3 因此,当 a ? ? 时,x轴为曲线y ? f ( x)的切线 4 (III) 当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? ?1nx ? 0 ,从而 h( x)=min ? f ( x), g( x)? ? g( x) ? 0 ,

故h( x)在(1, ??)无零点 5 5 当x ? 1时,若a ? ? 则f (1) ? a ? ? 0, h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0, 故x ? 1是h( x)的零点; 4 4 5 若a ? ? , 则f(1)<0,h(1)=min ? f (1), g (1)? ? f (1) ? 0, 故x ? 1不是h( x)的零点; 4 当x ? (0,1)时,g( x) ? ?1nx ? 0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数 (i)若a ? -3或a ? 0,则f ?(x)=3x2 +a在(1,0)无零点,故f(x)在(0,1)单调 1 5 f (0) ? , f (1)a ? , 所以当a ? -3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a ? 0时f(x)在(1,0)没有零点 4 4 a a (ii)若 ? 3 ? a ? 0, 则f ( x)在(0,? )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故在(0,1)中 3 3 a 2a a 1 当x ? ? a )? ? ? 3 时,f ( x)取得最小值,最小值为f ( ? 3 3 3 4

a 3 ①若f ( ? ) ? 0.即 ? ? a ? 0, f ( x)在(0,1)无零点; 3 4 a 3 ②若f( ? )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f ( ? ) ? 0, 即 ? 3 ? a ? ? ,由于f (0) ? , f (1) ? a ? ? a ? ? 3 4 4 4 4
5 时,f ( x)在(0,1)有两个零点;当-3<a ? - 时,f ( x)在(0,1)有一个零点. 4 3 5 综上,当 a ? ? 或a<- 时,h( x)有一个零点; 4 4 3 5 当a ? ? 或a ? ? 时,h( x)有两个零点 4 4 5 3 当 ? ? a ? ? 时,h( x)有三个零点. 4 4
(22)解: (I)链接 AE,由已知得, AE ? BC AC ? AB 在 Rt ?AEC 中,由已知得,DE=DC 故 ?DEC ? ?DCE 链接 OE,则 ? OBE= ? OEB 又 ? ACB+ ? ABC=90°所以 ? DEC+ ? OEB=90° 故 ?OED ? 90 ,DE 是☉O 得切线
o

……5 分
7

(II)设 CE=1,AE=X,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x2 由摄影定理可得,AE=CE.BE,所以 x2 ? 12 ? x2 即 x ? x ? 12 ? 0
4 2

可得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60 (23)解: ( I)因为 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标方程为
o

……5 分 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 。 ? ( II )将 ? ? 代入 ? 2 ? 2 ? cos? ? 4? sin? ? 4? 0 ,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 ?1 ? 2 2 ,

4

?2 ? 2 。故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 。
由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为 (24)解:

1 。 2

……10 分

(I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 ? 0 , 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4 ? 0 ,无解;

2 ? x ? 1; 3 当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 。 ? 2 ? 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x ? x ? 2 ? 。 ? 3 ? ? x ? 1 ? 2a, x ? ?1, ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a, ?
当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 3 x ? 2 ? 0 ,解得 所以函数 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ?

……5 分

? 2a ? 1 ? , 0 ? , B ? 2a ? 1,0? , ? 3 ?

C ? a, a ? 1? , ?ABC 的面积为
由题设得

2 2 ? a ? 1? 。 3

2 2 ? a ? 1? ? 6 ,故 a ? 2 。 3 所以 a 的取值范围为 ? 2, ???

……10 分

8


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