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物理奥赛真题汇编—电磁学


物理奥赛真题汇编—电磁学 第 25 届试题 10. (11 分)有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电,一块带负电,单位面积所带电荷 量的数值相等.现把两带电平面正交放置如图所示.图中直线 A1B1 和 A2B2 分别为带正电的 平面和带负电的平面与纸面正交的交线,O 为两交线的交点. (i)试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强和 电势)具有对称性的特点,并取 O 点作为

电势的零点,在 右面给的整个图上画出电场(正、负电荷产生的总电场)中 电势分别为 0、1V、2V、3V、-1V、-2V 和-3V 的等 势面与纸面的交线的示意图,并标出每个等势面的电势. (ii) 若每个带电平面单独产生的电场的场强是 E0 =1.0V / m , 则可求出(i)中相邻两等势面间的距离 d = 。 21. (16 分)设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强度为 E 的匀强电场,磁感应强度为 B 的匀强磁场和重力加速度为 g 的重力场一质量为 m、 电荷量为 q 的带正电的质点在此空间 运动,己知在运动过程中,质点速度的大小恒定不变. (i )试通过论证,说明此质点作何种运动(不必求出运动的轨迹方程) (ii)若在某一时刻,电场和磁场突然全部消失,己知此 -3 B2 – 后该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能(即 -2 -1 电场和磁场刚要消失时的动能)的一半,试求在电场、 0 磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分 1 2 量. 3 参考答案: 10.(i)如图所示(8 分) A1 B1 O 3 2 2 (ii) m (3 分) 1 2 0 -1 21. -2 -3 A2 – 参考解答: (i) 在空间取如图所示的直角坐标 Oxyz,Ox 轴没电场方向,Oy 沿磁场方向,Oz 轴与重力

方向相反.因为磁场作用于质点的洛伦兹力与磁场方向垂直,即在 Ozx 平面内;作用于质 点的电场力和重力也在 Oxz 平面内, 故质点在 y 方向不受力作用, 其速度沿 y 方面的分速度 的大小和方面是不变的.根据题意,质点速度大小是恒定不变的,而磁场作用于质点的洛伦 兹力对质点不做功, 故质点的速度沿垂直磁场方向的大小一定是恒定不变的, 故此分速度必 须与电场力和重力的合力垂直. 由于电场力和重力的合力的方向是不变的, 故此分速度的方 向也是不变的.由此可得到结论:质点速度的方向也是不变的,即质点在给定的场中作匀速 直线运动,其轨迹是直线,在 Oxz 平面内,与电场和重力的合力垂直. (ii) 质点作匀速直线运动表明电场、 磁场和重力场对质点作用力的合力等于 0. 设存在电场、 磁场时质点的速度大小为 v0 ,它在从标系中的三个分量分别为 v0 x 、 v0 y 、 v0 z ,这也就是电 场、磁场刚要消失时质点的速度在三个场方向的分量,以 Fx、Fy 和 Fz 分别表示 F 在坐标系 中的分量,则有

Fx ? qE ? qv0 z B ? 0

⑴ ⑵ ⑶

Fy ? 0
Fz ? ?mg ? qv0 x B ? 0
由⑴ 、⑶ 式得

v0 x ?

E B



v0 z ?

mg qB



若知道了粒子的速度 v0,粒子速度的 y 分量为
2 2 2 2 v0 y ? v0 ? v0 x ? v0 z



因电场和磁场消失后,粒子仅在重力作用下运动,任何时刻 t 质点的速度为

vx ? v0 x

⑺ ⑻ ⑼

vy ? v0 y
vz ? v0 z ? gt
当 vx 等于 0 时,粒子的动能最小,这最小动能

Ek min ?
根据题意有

1 2 2 m v0 x ? v0 y 2

?

?



Ek min ?
由⑽ 、⑾ 式得

1 ?1 2? m? m v0 ? 2 ?2 ?



2 2 2 v0 ? 2 v0 x ? v0 y

?

?




由⑷ 、⑸ 、⑹ 、⑿ 各式得

v?
评分标准:本题 16 分

1 qB

?qB?2 ? ?m g?2

第(i)小问 4 分.通过论证得到质点作匀速直线运动的结论得 4 分. 第(ii)小问 12 分.⑷ 式 3 分,⑸ 式 3 分,求得⒀ 式 6 分. 第 26 届试题 13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一 个平面内(二维)的微结构器件,且可做到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射

散的影响。这种特点可望有新的应用价值。图 1 所示为四端十字形二维电子气半导体,当电 流从 1 端进入时,通过控制磁场的作用,可使电流从 2,3,或 4 端流出。 对下面摸拟结构的研究, 有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动。 在图 2 中, a、 b、 c、d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝 1、2、 34,在这此狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在 匀强磁场, 磁场方向垂直于纸面指向纸里。 以 B 表示磁感应 a d 4 强度的大小。一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子, V0 1 在纸面内以速度 v0 沿与 a、b 都相切的方向由缝 1 射入磁场 3 内,设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞,碰撞是弹性的,碰 撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受磨擦力作 用。试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处且沿与 b、c 都相 切的方向射出。 b 2 c

14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨,导轨中接 有阻值为 R 的电阻,它们的质量为 m0。导轨的两条轨道间的距离为 l。PQ 是质量为 m 的金 属杆,可在轨道上滑动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨的电 阻均不计。初始时,杆 PQ 位于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向垂 直于桌面, 磁感应强度的大小为 B。 现有一位于导 轨平面内的与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上, 使 P N1 M1 之从静止开始的轨道上向右作加速运动。已知经 过时间 t, PQ 离开虚线的距离为 x,此时通过电阻 F R 的电流为 I0,导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进入磁场区域) 。 求在此过程中电阻 M2 所消耗的能量。不考虑回路的自感。 N2 Q 参考答案:

第 27 届试题









:

第 28 届试题

参考答案: 13.参考解答: 当环的角速度到达 ω0 时,环的动能

Ek ?

1 m( R? 0 ) 2 2
R? ?

(l)

若在时刻 t,环转动的角速度为 ω,则环上电荷所形成的等效电流

I?

q 2? R

?q 2?

(2)

感应电动势

??

?? ?I ?k ?t ?t

(3)

由(2) 、 (3)式得

? ?k

q ?? 2? ?t

(4)

环加速转动时,要克服感应电动势做功,功率为 P1=εI (5) 因为是匀加速转动,所以 ω 和 I 都随时间 t 线性增加.若角速度从零开始增加到 ω0 经历的 时间为 t0,则有

?0 ?

?? t0 ?t

(6)

若与 ω0 对应的等效电流为 I0,则在整个过程中克服感到电动势做的总功

1 W1 ? ? I 0t0 2
由以上有关各式得

(7)

W1 ? k

?02 q 2 8? 2

(8)

外力所做的总功

W ? W1 ? Ek ? k

?02 q 2 1 ? m( R? 0 )2 2 8? 2

(9)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分,(2)式 4 分,(3)式 2 分,(5)式 3 分, (6)式 2 分, (7)式 3 分,(8) 式 l 分,(9)式 2 分 15.参考解答: 先设磁感应强度为 B 的匀强磁场方向垂直 xy 平面向里, 且无边界.考察从粒子源发出的速率为 v、方向与 x 轴夹角为 θ 的粒子,在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动,圆轨道 经过坐标原点 O,且与速度方向相切,若圆轨道的半径为 R, 有

qvB ? m
mv qB

v2 R

(1)



R?

(2)

圆轨道的圆心 O’在过坐标原点 O 与速度方向垂直的直线上,至原点的距离为 R,如图 1 所 示.通过圆心 O’作平行于 y 轴的直线与圆轨道交于 P 点,粒子运 动到 P 点时其速度方向恰好是沿 x 轴正方向,故 P 点就在磁场区 域的边界上.对于不同人射方向的粒子,对应的 P 点的位置不同, 所有这些 P 点的连线就是所求磁场区域的边界线.P 点的坐标为 x=—Rsinθ (3 ) y=一 R + Rcosθ (4) 这就是磁场区域边界的参数方程,消去参数 θ,得 x2 +(y+R)2=R2 (5) 由(2) 、 (5)式得

x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

(6)

这是半径为 R 圆心 O’’的坐标为(0,一 R ) 的圆,作为题所要求的 磁场区域的边界线,应是如图 2 所示的半个圆周,故磁场区域的边 界线的方程为

x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

x?0 y?0

(7)

若磁场方向垂直于 xy 面向外, 则磁场的边界线为如图 3 示的半 圆,磁场区域的边界线的方程为 x2 +(y—R)2=R2

x?0 y?0 x?0 y?0

(8 )



x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

(9)

证明同前 评分标准:本题 20 分. ( l)或(2)式 2 分, (3) 、 (4)式各 4 分, (7)式 3 分,图(图 2 ) 2 分(只要半圆 的位置正确就给 2 分), (9)式 3 分,图(图 3 ) 2 分(只要半圆的位置正确就给 2 分) 第 29 届试题 13. (20 分)电荷量分别为 q 和 Q 的两个带异号电荷的小球 A 和 B(均可视为点电荷) ,质 量分别为 m 和 M.初始时刻,B 的速度为 0,A 在 B 的右方,且与 B 相距 L0,A 具有向右 的初速度 v0,并还受到一向右的作用力 f 使其保持匀速运动,某一时刻,两球之间可以达到 一最大距离. i.求此最大距离. ii.求从开始到两球间距离达到最大的过程中 f 所做的功. 15. (20 分)图中 L 是一根通电长直导线,导线中的电流为 I.一电阻为 R、每 边长为 2a 的导线方框,其中两条边与 L 平行,可绕过其中心并与长直导线平行 的轴线 OO’转动,轴线与长直导线相距 b,b>a,初始时刻,导线框与直导线 共面.现使线框以恒定的角速度ω 转动,求线框中的感应电流的大小.不计导 线框的自感.已知电流 I 的长直导线在距导线 r 处的磁感应强度大小为 k 中 k 为常量. 参考答案:

I ,其 r

第 30 届试题 15. (23 分)如图所示,匝数为 N1 的原线圈和匝数为 N2 的副线圈绕在同一闭合铁芯上,副 线圈两端与电阻 R 相连,原线圈两端与平行金属导轨相连。两轨之间的距离为 L,其电阻可 不计。在虚线的左侧,存在方向与导轨所在平面垂直的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为 B, pq 是一质量为 m 电阻为 r 与导轨垂直放置的金属杆, 它可在导轨上沿与导轨平行的方向 无摩擦地滑动。假设在任何同一时刻通过线圈每一匝的磁通量相同,两个线圈的电阻、铁芯 中包括涡流在内的各种损耗都忽略不计, 且变压器中的电磁场完全限制在变压器铁芯中。 现 于 t ? 0 时刻开始施一外力,使杆从静止出发以恒定的加速度 a 向左运动。不考虑连接导线 的自感。若已知在某时刻 t 时原线圈电流的大小为 I1, i.求此时刻外力的功率; ii.此功率转化为哪些其他形式的功率或能量变化率?试分别求出它们的大小。 p a N1 N2 R

q 参考答案: 15.i.令 F 表示此时刻外力的大小,v 表示此时杆的速度,P 表示外力的功率,则有 F v ? Fat (1) 在 t 时刻,由牛顿第二定律,有 (2) F ? BI1L ? ma 由以上两式得 P ? (ma ? BI1L)at ii.在 t 时刻,杆运动产生的电动势 (3)

(4) 令 E1、E2 分别表示原、副线圈两端的电动势,并有 E1 ? E ,U1、U2 分别表示原、副线 圈两端的电压,I1 表示副线圈中的电流,由欧姆定律,有

E ? BLat

E1 ? E ? U1 ? I1r E2 ? U 2 ? I 2 R
E1 N1 ? E2 N 2

(5) (6)

根据题的假设,利用法拉第电磁感应定律,有 (7)

由(4) 、 (5) 、 (6) 、 (7)式可得为

U1 ? BLat ? I1r N U 2 ? 2 ( BLat ? I1r ) N1 N I 2 ? 2 ( BLat ? I1r ) N1R
外力的功率转化为:杆的动能的变化率 PEk ? ma 2t
2 电阻 r 上消耗的功率为 P r ? I1 r
2 电阻 R 上消耗的功率为 PR ? I 2 R? 2 N2 ( BLat ? I1r )2 2 N1 R 2 N2 ( BLat ? I1r )2 N12 R

(8) (9) (10) (11) (12) (13)

变压器内场能的变化率为

WB ? U1I1 ? U 2 I 2 ? ( BLI1at ? I12r ) ?

(14)

评分标准:本题 23 分。 第 i 问 5 分, (1) 、 (2)式各 2 分, (3)式 1 分; 第 ii 问 18 分, (4)式 2 分, (5) 、 (6)式各 1 分, (7)式 3 分, (8) 、 (9) 、 (10)式各 1 分, (11)式 2 分, (12)式 1 分, (13)式 2 分, (14)式 3 分。


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