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1.7.2 定积分在物理中的应用 课件


第一章 导数及其应用

1.7.2 定积分在物理中的应用

前面学习了定积分在几何中的应用,
现在学习定积分在物理中的应用??

一、变速直线运动的路程
设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时 间区间[a, b]内运动的距离s为 s = v(t )dt ?
a b

/> s = ? v(t )dt
a

b

?Si = v(ti ) ?t = v(ti ) ?t
v Sn = ? ?Si ?t = ? v(ti ) ?t
i =1 i =1 n n

v = v(t )

S = lim ? v(ti )? ?t
x ?? i =1

n

= ? v(t )dt
a

b

O

a

b?a ?t = n

ti

b

t

例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示,求 汽车在这 1 min 行驶的路程。
v/m/s A

30

B

C t/s
O 10 40 60

解:由速度-时间曲线可知:

V(t)=3t V(t)=30 V(t)=-1.5t+90

0≤t≤10 10≤t≤40 40≤t≤60

因此汽车在这1分钟行驶的路程是 S=1 350(m)

答:汽车在这1分钟行驶的路程是1 350m.

二、物体所做的功
1) 恒力
由物理学知道,如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上,且 这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在 物体移动了距离 s 时,力 F 对物体所作的功为 W = F ? s.

2)变力所做的功
物体在变力F(x)的作用下做直线
运动,并且物体沿着与F(x)相同的

方向从x=a移动到x=b(a<b),那么变
力F(x)所作的功 W =

?

b

a

F ( x)dx

W = ? F ( x)dx
a

b

?Wi = W ( xi ) ?x = W ( xi ) ?x
Wn = ? ?Wi ?x = ? F ( xi ) ?x
i =1 i =1 n n

F

y == F ( x)

S = lim ? F ( xi )? ?x
n ?? i =1

n

= ? F ( x)dx
a

b

O

a

b?a ?x = n

xi

b

x

例2:如教材图所示,在弹性限度内, 将一弹簧从平衡位置拉到离水平位 置L 米处,求克服弹力所作的功.
解:在弹性限度内,拉伸 (或压缩)弹簧所需的力F (x)与弹簧拉伸(或压缩) 的长度x成正比. 即:F(x)=kx 所以据变力作功公式有

W = ? F ( x)dx = ?
0

L

L

0

1 2 L 1 2 kxdx = kx |0 = kL 2 2

例3

把一个带 ? q 电量的点电荷放在 r 轴

上坐标原点处,它产生一个电场.这个电场对 周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果一 个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方,那么电场对它的作用力的大小为

q ,当这个单位正电荷在电 F = k 2 ( k 是常数) r 场中从 r = a 处沿 r 轴移动到 r = b 处时,
计算电场力 F 对它所作的功.



取 r 为积分变量,

r ? [a , b],
所求功为
b

?q

kq w = ?a 2 dr r b ? 1 ? = kq? 1 ? 1 ?. = kq ? ? ? ? ? ? a b? ? r ?a

? o

?? ? ? ? ? ? ?? a b

r

练习 一圆柱形蓄水池高为 5 米, 底半径为 3 米,池内盛满了水.问 要把池内的水全部吸出,需作多少 功?

解:建立坐标系如图
x ? [0,5] 取 x 为积分变量,
o
x
5

取任一小区间 [ x, x ? ?x] ,
这一薄层水的重力为
9.8π ? 32 ?x

x ? ?x
3

x

?w = 88.2π ? x ? ?x, 2 5 5 ?x ? w = ? 88.2? ? x ? dx = 88.2? ? ? ? 3462 (千焦). 0 ? 2 ?0


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