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直线与圆的位置关系课件修改版(2)


1.问题引入

船长SOS 现在台风“海燕” 正在移动,准备袭 击海南省时,一艘轮船在沿直线返回海南港 口的途中,船长接到气象台的台风预报:台 风中心位于轮船正西60km处,受影响的范围 是半径长为50km的圆形区域.已知海南港口 位于台风中心正北60km处,如果这艘轮船不 改变航线,那么它是否会受到台风“海燕” 的影响?

港口 60km

60km

思考:你能用初中所学的平面几何知识来解决这一问题吗?

同升湖实验学校高中部 数学组

为解决这个问题,我们以台风中心为原点 O, 东西方向为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系, 其中取 10km 为单位长度.
这样,受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为:

x ? y ? 25
2 2

y
6

渔船航线所在直线 l 的方程为:

港口

x? y ?6 ? 0

-5

O

5

渔船

6

x

问题归结为圆心为O的圆与直 线l的位置关系.

2.合作解决问题
已知直线 l: x?

y ? 6 ? 0 和圆心为O的圆 x 2 ? y 2 ? 25

判断直线l 与圆 O的位置关系; 分析:依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直 线 与圆的位置关系(几何法); 解法一:圆 x 2 ? y 2 ? 25 其圆心O的坐标为(0,0),半径长为 5 点O(0,0)到直线 l的距离

d?

0?0?6

6 ? ? 3 2?? 2 12 ? 12
??

求距离 比大小

d ?3 2 ?r ?5
所以,直线 l 与圆相交,船长要

改变航线.

??

作结论

已知直线 l:x ?
2 2

y ? 6 ? 0和圆心为O的圆

x ? y ? 25 ,判断直线 l与圆 O 的位置关系;
分析 :根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来 判断(解析法) 解法二:

?x ? y ? 6 ? 0 建立方程组 ? 2 2 x ? y ? 25 ?
2 消去y, 得 2 x ? 12x ? 11 ? 0

① ?? ②

联立方程组 消元 计算 ? 结 论

由①可得 y ? ? x ? 6 代入②,

??

? ? ?-12? - 4 ? 2 ?11? 56 ? 0
2

?? ??

所以,直线 l 与圆相交.船长要 改变航线.

3. 得出新知
圆C:(x-a)2+(y-b)2= r 2 已知直线l:Ax+By+C=0

几何法
2 (x ? a) ? ( y ? b)2 ? r 2

解析法
? ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ? Ax ? By ? C ? 0 ?

Ax ? By ? C ? 0

d ?

Aa ? Bb ? C A ?B
2 2

消去y(或x)

px 2 ? qx ? t ? 0

?d ? r : 相交 ? ?d ? r : 相切 ?d ? r : 相离 ?

?? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 : 相切 ? ? ? 0 : 相离 ?

4.例题解析 例1:已知直线 l : y ? x ? b 和圆 C:x ? y ? 4 ,当 实数 b 取何值时,直线与圆相交?相切?相离?
2 2

解法一:圆x2

? y 2 ? 4 其圆心O的坐标为(0,0),半径长为 2 ,
0?0?b 12 ? 12 ? b 2

点O(0,0)到直线 l : x ? y ? b ? 0的距离

d ?

当? 2 2 ? b ? 2 2时,即d ? r,直线和圆的位置关系是相交

当b ? ?2 2时,即d ? r,直线和圆的位置关系是相切
当b ? 2 2或b ? ?2 2时,即d ? r,直线和圆的位置关系是相离

例1:已知直线 l : y ? x ? b 和圆 C:x ? y ? 4 ,当 实数 b 取何值时,直线与圆相交?相切?相离?
2 2

? y ? x?b 解法二: 建立方程组 ? 2 2 x ? y ?4 ?
由① y ? x ? b 代入②, 消去y, 得 2 x 2 ? 2bx ? b2 ? 4 ? 0
? ? ?4b2 ? 32

① ②

当? 2 2 ? b ? 2 2时,即? ? 0,直线和圆的位置关系是相交

当b ? ?2 2时,即?=0,直线和圆的位置关系是相切
当b ? 2 2或b ? ?2 2时,即?<0,直线和圆的位置关系是相离

【变式1】已知直线 l : y ? kx ? 3 和圆 C:x 2 ? y 2 ? 4 ,
有两个公共点,则实数
5 5 或k ? ? k的取值范围是___________. 2 2 k?

【变式2】已知直线 l : y ? x ? b 与曲线y ? 4 ? x 2
?b?2 2 有两个公共点,则实数 b 的取值范围是 2________.

5.课堂小结:
☆知识:1、直线与圆的位置关系; ☆思想:1、数形结合; ☆方法:

几何法 1 解析法

2

让我们撑着载满知识的风帆,创 造美好的家园,抵达理想的彼岸……


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