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四川省雅安市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版(含解析)


2015-2016 学年四川省雅安市高二(下)期末数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.在复平面内,复数 A. (3,﹣1) 对应的点的坐标为( )

B. (1,﹣3)

C. (﹣1,﹣3) D. (﹣3,﹣1)



2.已知向量 =(3,5,0) , =(1,2,﹣1) ,则| ﹣2 |等于( A.6 B. C.2 D.3 )

3.设 A=,B=(﹣∞,a) ,若 A? B,则 a 的取值范围是( A.a≥3 B.a≥2 C.a>3 D.a≤2

4.设随机变量 ξ ~N(0,1) ,若 P(ξ >1)=p,则 P(﹣1<ξ <0)=( A. +p B.1﹣p C.1﹣2p
x



D. ﹣p

5.曲线 y=sinx+e (其中 e=2.71828?是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为 ( A.2 ) B.3
6

C.
4

D.
4 3

6.在(1+x) (2+y) 的展开式中,含 x y 项的系数为( A.210 B.120 C.80 D.60



7.有 3 位同学参加测试,假设每位同学能通过测试的概率都是 ,且各人能否通过测试是 相互独立的,则至少有一位同学能通过测试的概率为( A. B. C. D. )

8.设随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 2 m ) D. ,M 为 A1D1 的中点,P 为底面四边形 ABCD ) 3 4

则 P(|X﹣3|=1)=( A. B. C.

9.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1,AB=BC=2,AA1=

内的动点,且满足 PM=PC,则点 P 的轨迹的长度为(

A.

B.3

C.

D.

10.现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天 有考试,那么不同的考试安排方案有( A.6 种 B.16 种 C.12 种 D.20 种 11.已知函数 f(x)= x +cosx,f′(x)是函数 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象大 致是( )
2

)种.

A.

B.

C.

D.

12.已知定义在(0,+∞)上的单调函数 f(x) ,对? x∈(0,+∞) ,都有 f=3,则方程 f (x)﹣f′(x)=2 的解所在的区间是( )

A. (0, ) B. (1,2) C. ( ,1) D. (2,3)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置 13.一盒子中装有 4 只产品,其中 3 只一等品,1 只二等品,从中取产品两次,每次任取 1 只,做不放回抽样.设事件 A 为“第一次取到的是一等品”,事件 B 为“第二次取到的是一 等品”,则 P(B|A)= .

2 14. 已知 f (x) =alnx+ x( a>0) , 若对任意两个不等的正实数 x1, x2 都有

≥2 恒成立,则 a 的取值范围是



15.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3, 4) .现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的标号.若 η =aξ ﹣2,E(η )=1,则 D(η )的 值为 .

16.计算 Cn1+2Cn2+3Cn3+?+nCnn,可以采用以下方法:构造等式:Cn0+Cn1x+Cn2x2+?+Cnnxn=(1+x)
n

,两边对 x 求导,得 Cn +2Cn x+3Cn x +?+nCn x
1 2 3 n n﹣1

1

2

3 2

n n﹣1

=n(1+x)
1

n﹣1

,在上式中令 x=1,得
2 3 2 n

Cn +2Cn +3Cn +?+nCn =n?2

. 类比上述计算方法, 计算 Cn +2 Cn +3 Cn +?+n Cn =

2

2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内 17. 已知书架中甲层有英语书 2 本和数学书 3 本, 乙层有英语书 1 本和数学书 4 本. 现从甲、 乙两层中各取两本书. (1)求取出的 4 本书都是数学书的概率. (2)求取出的 4 本书中恰好有 1 本是英语书的概率. 18.已知函数 f(x)=ln(x+1)+ .

(1)当函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线与直线 4y﹣x+1=0 垂直时,求实数 m 的值; (2)若 x≥0 时,f(x)≥1 恒成立,求实数 m 的取值范围. 19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)求二面角 C1﹣AD﹣C 的余弦值.

20.甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道 必答题, 答对则为本队得 1 分, 答错不答都得 0 分, 已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ξ 表示 甲队总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ ) ;

(Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 21.已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对? x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实 数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 0<x<y<e 且 x≠e 时,试比较
2

的大小.

22. 在对人们休闲方式的一次调查中, 仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进 行了调查. 调查结果:接受调查总人数 110 人,其中男、女各 55 人;受调查者中,女性有 30 人比较喜欢看电视,男性有 35 人比较喜欢运动. (Ⅰ)请根据题目所提供的调查结果填写下列 2×2 列联表; 看电视 女 男 合计 (Ⅱ)已知 P(K2≥3.841)=0.05.能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“性别与 休闲方式有关系”? (注:K =
2

运动

合计

, (其中 n=a+b+c+d 为样本容量) )

2015-2016 学年四川省雅安市高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.在复平面内,复数 A. (3,﹣1) 对应的点的坐标为( )

B. (1,﹣3)

C. (﹣1,﹣3) D. (﹣3,﹣1)

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】根据复数的基本运算和复数的几何意义进行化简即可. 【解答】解: = = =1﹣3i,

对应的坐标为(1,﹣3) , 故选:B

2.已知向量 =(3,5,0) , =(1,2,﹣1) ,则| ﹣2 |等于( A.6 B. C.2 D.3



【考点】空间向量运算的坐标表示. 【分析】利用空间中点的坐标运算法则先求出 ,由此能求出| ﹣2 |的值.

【解答】解:∵向量 =(3,5,0) , =(1,2,﹣1) , ∴ =(3,5,0)﹣(2,4,﹣2)=(1,1,2) , = .

∴| ﹣2 |= 故选:B.

3.设 A=,B=(﹣∞,a) ,若 A? B,则 a 的取值范围是( A.a≥3 B.a≥2 C.a>3 D.a≤2 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】根据 A、B 的包含关系,求出 a 的范围即可. 【解答】解:∵A=,B=(﹣∞,a) ,A? B



∴a>3, 故选:C.

4.设随机变量 ξ ~N(0,1) ,若 P(ξ >1)=p,则 P(﹣1<ξ <0)=( A. +p B.1﹣p C.1﹣2p D. ﹣p



【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】根据随机变量 ξ ~N(0,1) ,正态曲线关于 x=0 对称,得到对称区间对应的概率 相等,根据大于 1 的概率得到小于﹣1 的概率,根据对称轴一侧的区间的概率是 ,得到结 果. 【解答】解:∵随机变量 ξ ~N(0,1) , ∴正态曲线关于 x=0 对称, ∵P(ξ >1)=p, ∴P(ξ <﹣1)=p, ∴P(﹣1<ξ <0)= ﹣p, 故选 D.

5.曲线 y=sinx+e (其中 e=2.71828?是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为 ( A.2 ) B.3 C. D.

x

【考点】导数的几何意义;导数的运算. 【分析】先求导,根据导数的几何意义,斜率 k=k=y′|x=0,解得即可. 【解答】解:∵y′=cosx+e , k=y′|x=0=cos0+e0=2, 故选:A.
x

6.在(1+x)6(2+y)4 的展开式中,含 x4y3 项的系数为( A.210 B.120 C.80 D.60



【考点】二项式定理的应用.

【分析】利用二项展开式的通项公式求得(1+x) (2+y) 的展开式中,含 x y 的项,可得 含 x4y3 项的系数. 【解答】解:在(1+x)6(2+y)4 的展开式中,含 x4y3 的项为 故含 x y 项的系数为 120, 故选:B.
4 3

6

4

4 3

?x4?

?2?y3=120x4y3,

7.有 3 位同学参加测试,假设每位同学能通过测试的概率都是 ,且各人能否通过测试是 相互独立的,则至少有一位同学能通过测试的概率为( A. B. C. D. )

【考点】相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 【分析】先求出所有的同学都没有通过的概率,再用 1 减去此概率,即得所求. 【解答】解:所有的同学都没有通过的概率为 故至少有一位同学能通过测试的概率为 1﹣ 故选:D. = = ,

8.设随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 2 m ) D. 3 4

则 P(|X﹣3|=1)=( A. B. C.

【考点】离散型随机变量及其分布列. 【分析】利用概率分布的定义得出: 3|=1)=P(4)+P(2) ,求解即可. 【解答】解:根据概率分布的定义得出: 随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 m =1.得 m= , m =1,求出 m,得出分布列,判断 P(|X﹣

P ∴P(|X﹣3|=1)=P(4)+P(2)= 故选:B.

9.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1,AB=BC=2,AA1=

,M 为 A1D1 的中点,P 为底面四边形 ABCD )

内的动点,且满足 PM=PC,则点 P 的轨迹的长度为(

A.

B.3

C.

D.

【考点】棱柱的结构特征. 【分析】取 AB 的中点 E,由题意,点 P 的轨迹为 DE 的长度,利用勾股定理求值. 【解答】解:取 AB 的中点 E,AD 的中点 N, 如图,因为 MC 在底面的射影为 NC,并且 DE⊥NC,所以 DE⊥MC, 所以 DE 上的点到 M,C 的距离相等,P 在 DE 上,所以 PM=PC, 所以点 P 的轨迹为 DE, 因为长方体 ABCD﹣A1B1C1D1,AB=BC=2,AA1= 所以 DE= 故选 D. ; ,M 为 A1D1 的中点,

10.现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天 有考试,那么不同的考试安排方案有( )种.

A.6 种 B.16 种 C.12 种 D.20 种 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】若第一门安排在开头或结尾,则第二门有 3 种安排方法.若第一门安排在中间的 3 天中, 则第二门有 2 种安排方法, 根据分步计数原理分别求出安排方案种数, 相加即得所求. 【解答】解:若第一门安排在开头或结尾,则第二门有 3 种安排方法,这时,共有 C2 ×3=6 种方法. 若第一门安排在中间的 3 天中,则第二门有 2 种安排方法,这时,共有 3×2=6 种方法. 综上可得,所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12 种, 故选 C.
1

11.已知函数 f(x)= 大致是( )

x +cosx,f′(x)是函数 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象

2

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】由于 f(x)= x2+cosx,得 f′(x)= x﹣sinx,由奇函数的定义得函数 f′ 代入 f′( )= ﹣

(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除 BD,取 x= sin = ﹣1<0,排除 C,只有 A 适合. x2+cosx,

【解答】解:由于 f(x)= ∴f′(x)= x﹣sinx,

∴f′(﹣x)=﹣f′(x) ,故 f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除 BD,

又当 x= 故选:A.

时,f′ (

)=

﹣sin

=

﹣1<0,排除 C,只有 A 适合,

12.已知定义在(0,+∞)上的单调函数 f(x) ,对? x∈(0,+∞) ,都有 f=3,则方程 f (x)﹣f′(x)=2 的解所在的区间是( A. (0, ) B. (1,2) C. ( ) ,1) D. (2,3)

【考点】导数的运算. 【分析】设 t=f(x)﹣log2x,则 f(x)=log2x+t,又由 f(t)=3,即 log2t+t=3,解可得 t 的值,可得 f(x)的解析式,由二分法分析可得 h(x)的零点所在的区间为(1,2) ,结合 函数的零点与方程的根的关系,即可得答案. 【解答】解:根据题意,对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f=3, 又由 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数, 则 f(x)﹣log2x 为定值, 设 t=f(x)﹣log2x,则 f(x)=log2x+t, 又由 f(t)=3,即 log2t+t=3, 解可得,t=2; 则 f(x)=log2x+2,f′(x)= 将 f(x)=log2x+2,f′(x)= 可得 log2x+2﹣ 即 log2x﹣ 令 h(x)=log2x﹣ 分析易得 h(1)= 则 h(x)=log2x﹣ 则方程 log2x﹣ 故选:B. =2, =0, , <0,h(2)=1﹣ >0, , 代入 f(x)﹣f′(x)=2,

的零点在(1,2)之间, =0,即 f(x)﹣f′(x)=2 的根在(1,2)上,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置 13.一盒子中装有 4 只产品,其中 3 只一等品,1 只二等品,从中取产品两次,每次任取 1 只,做不放回抽样.设事件 A 为“第一次取到的是一等品”,事件 B 为“第二次取到的是一 等品”,则 P(B|A)= .

【考点】条件概率与独立事件. 【分析】利用 P(B|A)= ,即可得出结论.

【解答】解:由题意,P(B|A)=

=

=



故答案为:



14.已知 f(x)=alnx+

x (a>0) ,若对任意两个不等的正实数 x1,x2 都有

2

≥2 恒成立,则 a 的取值范围是 令 x=1,得 Cn +2 Cn x +3 Cn x +?+n Cn x =n(n+1)?2 故答案为:n(n+1)?2
n﹣2 1 2 2 2 2 3 3 2 n n n﹣2





三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内 17. 已知书架中甲层有英语书 2 本和数学书 3 本, 乙层有英语书 1 本和数学书 4 本. 现从甲、 乙两层中各取两本书. (1)求取出的 4 本书都是数学书的概率. (2)求取出的 4 本书中恰好有 1 本是英语书的概率. 【考点】相互独立事件的概率乘法公式;古典概型及其概率计算公式;排列、组合及简单计 数问题. 【分析】 (1)设“从甲层取出的 2 本书均为数学书”的事件为 A,“从乙层取出的 2 本书均 为数学书”的事件为 B,则所求的事件的概率等于 P(A)P(B)= 得结果. × ,运算求

(2)利用互斥事件的概率加法公式,所求的事件的概率等于

×

+

×

,运算求得结果.

【解答】解: (1)设“从甲层取出的 2 本书均为数学书”的事件为 A,“从乙层取出的 2 本 书均为数学书”的事件为 B, 由于 A、B 相互独立,记“取出的 4 本书都是数学书的概率”P1, 则 P1=P(AB)=P(A)P(B)= × = .

(2)设“从甲层取出的 2 本书均为数学书,从乙层取出的 2 本书中,1 本是英语,1 本是数 学”的事件为 C,“从甲层取出的 2 本书中,1 本是英语,1 本是数学,从乙层取出的 2 本 书中均为数学”的事件为 D,由于 C,D 互斥,记“取出的 4 本书中恰好有 1 本是英语书的 概率”为 P2 P2=P(C+D)=P(C)+P(D)= × + × = .

18.已知函数 f(x)=ln(x+1)+



(1)当函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线与直线 4y﹣x+1=0 垂直时,求实数 m 的值; (2)若 x≥0 时,f(x)≥1 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)求出导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,即可得 到所求 m 的值; (2)不等式 ln(x+1)+ ≥1 在 x≥0 时恒成立,即 m≥x+1﹣(x+1)ln(x+1)在

x≥0 时恒成立.令 g(x)=x+1﹣(x+1)ln(x+1) (x≥0) ,求出导数,求得单调区间,即 可得到最大值,令 m 不小于最大值即可. 【解答】解: (1)∵f′(x)= ﹣ ,

∴函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线的斜率 k=f′(0)=1﹣m, ∵函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线与直线 4y﹣x+1=0 垂直, ∴1﹣m=﹣4,∴m=5;

(2)依题意不等式 ln(x+1)+

≥1 在 x≥0 时恒成立,

即 m≥x+1﹣(x+1)ln(x+1)在 x≥0 时恒成立. 令 g(x)=x+1﹣(x+1)ln(x+1) (x≥0) , 则 g′(x)=1﹣=﹣ln(x+1) , ∴x≥0 时,g′(x)≤0, ∴函数 g(x)在[0,+∞)时为减函数, ∴g(x)≤g(0)=1,∴m≥1 即实数 m 的取值范围是[1,+∞) .

19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)求二面角 C1﹣AD﹣C 的余弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 【分析】 (1)连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD.由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,得四边形 ACC1A1 为矩形,由此利用三角形中位线能够证明 A1B∥平面 ADC1. (2)由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90°,知 BA,BC,BB1 两两垂直.由此能求出二 面角 C1﹣AD﹣C 的余弦值. 【解答】 (1)证明:连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD. 由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 得四边形 ACC1A1 为矩形, O 为 A1C 的中点,又 D 为 BC 中点, 所以 OD 为△A1BC 中位线, 所以 A1B∥OD, 因为 OD? 平面 ADC1,A1B?平面 ADC1,所以 A1B∥平面 ADC1.? (2)解:由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,

且∠ABC=90°, 故 BA,BC,BB1 两两垂直. 以 BA 为 x 轴,以 BC 为 y 轴,以 BB1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, ∵AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的中点, ∴可设 AA1=1,AB=BC=2,BD=DC=1, ∴A(2,0,0) ,D(0,1,0) ,C(0,2,0) ,C1(0,2,1) , ∴ =(﹣2,2,1) , , , , ,

设平面 ADC1 的法向量为 则



,∴

=(1,2,﹣2) ,

∵平面 ADC 的法向量 所以二面角 C1﹣AD﹣C 的余弦值为|cos<

, >|=| |= .

20.甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道 必答题, 答对则为本队得 1 分, 答错不答都得 0 分, 已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ξ ,

表示甲队总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ ) ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 【考点】条件概率与独立事件;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (Ⅰ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出 P(ξ =0) ,P(ξ =1) ,P (ξ =2) ,P(ξ =3) ,由此能求出随机变量 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ ) . (Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B,分别求 出 P(A) ,P(AB) ,再由 P(B/A)= ,能求出结果.

【解答】解: (Ⅰ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ =0)=(1﹣ P(ξ =1)= ﹣ )× ) (1﹣ ) (1﹣ )= , )× ×(1﹣ )+(1﹣ ) (1

(1﹣ = ,

) (1﹣

)+(1﹣

P(ξ =2) = = P(ξ =3)= ∴随机变量 ξ 的分布列为: ξ P 数学期望 E(ξ )=0× +1× +2× +3× = . 0 1 2 3 = , + , +

(Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B,

则 P(A) = + , P(AB)= = , + =

P(B|A)=

=

=



21.已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对? x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实 数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 0<x<y<e2 且 x≠e 时,试比较 的大小.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极 值的条件;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) .f′(x)=a﹣ 的正负值区间判断单调区间,得出极值点情况. (Ⅱ)a=1,f(x)≥bx﹣2 恒成立,即(1﹣b)x>lnx﹣1,将 b 分离得出,b≤ ,令 g(x)= 的最小值即可.利用导数求最小值. (Ⅲ)由(Ⅱ)g(x)= > 在(0,e2)上为减函数,g(x)>g(y) , ,整理得 > ,只需 b 小于等于 g(x) .通过考察 f′(x)

,考虑将 1﹣lnx 除到右边,为此分 1﹣lnx 正负分类求解. 【解答】解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) .f′(x)=a﹣ .

(Ⅰ)当 a≤0 时,f′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,函数 在(0,+∞)单调递减, ∴在(0,+∞)上没有极值点;

当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x> ∴在(0, )上递减,在(

,f′(x)<0 得 x<

.f′(x)=0 得 x= 处有极小值.



,+∞)上递增,即在 x=

∴当 a≤0 时在(0,+∞)上没有极值点, 当 a>0 时,在(0,+∞)上有一个极值点. (Ⅱ)∵函数在 x= f(x)=x﹣1﹣lnx, ∵f (x) ≥bx﹣2, 移项得 (1﹣b) x≥lnx﹣1, 再将 b 分离得出, b≤ 令 g(x)= , , 处取得极值,∴a=1,

则令 g′(x)= (x)>0,

,可知在(0,e )上 g′(x)<0,在(e ,+∞)上 g′

2

2

∴g(x)在 x=e 处取得极小值,也就是最小值.此时 g(e )=1﹣ 所以 b≤1﹣ .

2

2



(Ⅲ)由(Ⅱ)g(x)= x≠e 时, 有 g(x)>g(y) , > ① >

在(0,e )上为减函数.0<x<y<e 且

2

2

,整理得

当 0<x<e 时,1﹣lnx>0,由①得, 当 e<x<e2 时,1﹣lnx<0,由①得

22. 在对人们休闲方式的一次调查中, 仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进 行了调查. 调查结果:接受调查总人数 110 人,其中男、女各 55 人;受调查者中,女性有 30 人比较喜欢看电视,男性有 35 人比较喜欢运动. (Ⅰ)请根据题目所提供的调查结果填写下列 2×2 列联表; 看电视 运动 合计

女 男 合计 (Ⅱ)已知 P(K ≥3.841)=0.05.能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“性别与 休闲方式有关系”? (注:K = 容量) ) 【考点】独立性检验. 【分析】 (I)由题意填写列联表即可; (II)代入数据计算 K2 的观测值,比较观测值与 3.841 的大小,判断能否在犯错误的概率 不超过 0.05 的前提下认为“性别与休闲方式有关系”. 【解答】解: (Ⅰ)根据题目所提供的调查结果,可得下列 2×2 列联表: 看电视 女 男 合计 30 20 50 运动 25 35 60 合计 55 55 110
2 2 2

, (其中 n=a+b+c+d 为样本

(Ⅱ)根据列联表中的数据,可计算 K 的观测值 k: , ∵k=3.67<k0=3.841, ∵不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“性别与休闲方式有关系”.

2016 年 8 月 11 日


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