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9-2两直线的位置关系与距离公式


一、选择题 1.(文)(2012· 江门模拟)已知直线 l1 过点 A(-1,1)和 B(-2,-1),直线 l2 过点 C(1,0)和 D(0,a),若 l1∥l2,则 a 的值为( A.-2 C.0 [答案] A -1-1 [解析] ∵kl1= =2,kl2=-a,∴a=-2. -2+1 (理)(2012· 江门模拟)若 l1:x+(1+m)y+(m-2)=0,l2:mx+2y+6=0 是两条平行直线,则 m 的值是( A.m=1 或 m=-2 C.m=-2 [答案] A [解析] 若 m=0 或 m=-1 时,易知两直线不平行;若 m≠0 且 m≠- 1 1+m m-2 1 时,则有m= ≠ ?m=1 或-2. 2 6 x y 2.点 P(m-n,-m)到直线m+n=1 的距离等于( A. m2+n2 C. -m2+n2 [答案] A B. n2-n2 D. m2± 2 n ) ) B.m=1 D.m 的值不存在 B.2 1 D. 2 )

x y [解析] 因为直线m+n=1 可化为 nx+my-mn=0, 则由点到直线的距 离公式, |?m-n?n+?-m?m-mn| 得 d= = m2+n2. 2 2 m +n 3.(2012· 哈尔滨模拟)若 k,-1,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx +b 必经过定点( A.(1,-2) C.(-1,2) [答案] A [解析] 因为 k,-1,b 三个数成等差数列,所以 k+b=-2,即 b= -k-2,于是直线方程可化为 y=kx-k-2,即 y+2=k(x-1),故直线必过 定点(1,-2). 4. (文)(2012· 珠海统考)直线 2x-y-2=0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 π 所得的直线方程是( 2 A.-x+2y-4=0 C.-x+2y+4=0 [答案] D [解析] 直线 2x-y-2=0 与 y 轴的交点为 P(0,-2),其斜率 k=2, π 1 1 绕点 P 逆时针旋转 后的斜率为 k′=-k=- , 2 2 1 故旋转后的直线方程为 y+2=- x,即 x+2y+4=0. 2 (理)点 A(1,2)在直线 l 上的射影为 B(-1,4),则 l 的方程为( A.x+y-5=0 C.x-y-5=0 B.x+y+5=0 D.x-y+5=0 ) ) B.x+2y-4=0 D.x+2y+4=0 ) B.(1,2) D.(-1,-2)

[答案] D [解析] AB⊥l 可求 l 方程. 5.已知两直线 l1:mx+y-2=0 和 l2:(m+2)x-3y+4=0 与两坐标轴 围成的四边形有外接圆,则实数 m 的值为( A.1 或-3 1 C.2 或 2 [答案] A [解析] ∵两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,∴对角互补,∴ 两条直线垂直, m+2 ∴ · (-m)=-1,∴m=1 或 m=-3. 3 6. (2012· 陕西华阴期末)若直线 l1: y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称, 则直线 l2 恒过定点( A.(0,4) C.(-2,4) [答案] B [解析] 由于直线 l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点 为(0,2),又由于直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称, ∴直线 l2 恒过定点(0,2),故应选 B. 二、填空题 7.若直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=-7+a 平行,则实数 a =________. [答案] 3 [解析] 由题意知, a(a-1)-2×3=0 得 a=-2 或 a=3, a=-2 时, 当 两直线重合,舍去,∴a=3. ) B.(0,2) D.(4,-2) )

B.-1 或 3 1 D.-2 或 2

8.(文)直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是 ________. [答案] (5,-3) [解析] 数形结合知所求点即为过 P 点垂直于已知直线的交点,可得 P′(5,-3). (理)已知三条直线 x-y=0,x+y-1=0,mx+y+3=0 不能构成三角 形,则 m 的取值集合为________. [答案] {1,-1,-7}. [解析] 当三直线中有两直线平行时 m=1 或-1,当三直线交于一点 1 1 时,将交点( , )代入直线 mx+y+3=0,得 m=-7,因此 m∈{1,-1, 2 2 -7}. 三、解答题 9.已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试确定 m、n 的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [解析] (1)由条件知 m2-8+n=0,且 2m-m-1=0, ∴m=1,n=7. (2)由 m· m-8×2=0,得 m=± 4.
?m=4 ?m=-4 ? ? ? 由 8×(-1)-n· m≠0,得 或? ? ? ?n≠-2 ?n≠2

即 m=4,n≠-2 时,或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2; (3)当且仅当 m· 2+8· m=0, 即 m=0 时,l1⊥l2,

n 又- =-1,∴n=8. 8 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [点评] 若直线 l1、l2 的方程分别为 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2 =0,则 l1∥l2 的必要条件是 A1B2-A2B1=0 且 A1C2≠A2C1;而 l1⊥l2 的充要 条件是 A1A2+B1B2=0.

一、选择题 1.过直线 y=x 上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2 的两条切线 l1、l2,当 直线 l1、l2 关于 y=x 对称时,它们之间的夹角为( A.30° C.60° [答案] C [解析] 过圆心 C(5,1)作 y=x 的垂线,垂足为 P. 过 P 作⊙C 的切线 l1、l2,则 l1 与 l2 关于直线 PC 对称. B.45° D.90° )

∵直线 PC 与直线 y=x 垂直, ∴l1 与 l2 关于直线 y=x 对称, ∵C 到直线 y=x 距离为 2 2,

又⊙C 的半径 2,∴∠APC=30° ,∴l1 与 l2 的夹角为 60° . 2.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射 后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的 路程是( )

A.2 10 C.3 3 [答案] A

B.6 D.2 5

[解析] 易得 AB 所在的直线方程为 x+y=4,由于点 P 关于直线 AB 的对称点坐标为 A1(4,2),点 P 关于 y 轴的对称点坐标为 A′(-2,0),则光线 所经过的路程即为 A1(4,2)与 A′(-2,0)两点间的距离.于是|A1A′|= ?4+2?2+?2-0?2=2 10. 二、填空题 3.△ABC 中,a、b、c 是内角 A、B、C 的对边,且 lg sinA,lg sinB, lg sinC 成等差数列, 则下列两条直线 l1: 2A)x+(sinA)y-a=0,2: 2B)x (sin l (sin +(sinC)y-c=0 的位置关系是________. [答案] 重合 [解析] 由已知 2lg sinB=lg sinA+lg sinC,

得 lg(sinB)2=lg(sinA· sinC),∴sin2B=sinA· sinC. 设 l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0. a1 sin2A sin2A sinA b1 sinA ∵ = 2 = = , = , a2 sin B sinAsinC sinC b2 sinC c1 -a -2RsinA sinA a1 b1 c1 = = = ,∴ = = , c2 -c -2RsinC sinC a2 b2 c2 ∴l1 与 l2 重合. 4.(文)若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y<3 表示的平面区域内,则 m=________. [答案] -3 [解析] 本题考查了点到直线的距离公式及平面区域的相关知识. |4m-9+1| 点 P 到直线 4x-3y+1=0 的距离 d= =4, 5 解得 m=7 或 m=-3, 又∵点 P 在 2x+y<3 表示的区域内,故 m=-3. (理)将直线 l:x+2y-1=0 向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位后 得到直线 l′,则直线 l 与 l′之间的距离为____. [答案] 5 5

[解析] 平移后 l′:(x+3)+2(y-2)-1=0 即 l′:x+2y-2=0,∴d= 三、解答题 5.已知两直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0. 求分别满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等. |-2-?-1?| 5 2 = 5 . 1+2

[解析] (1)∵l1⊥l2, ∴a(a-1)+(-b)· 1=0, 即 a2-a-b=0. 又点(-3,-1)在 l1 上, ∴-3a+b+4=0 由①②得 a=2,b=2. a a (2)∵l1∥l2,∴b=1-a,∴b= , 1-a 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为: 4?a-1? (a-1)x+y+ a =0, a (a-1)x+y+ =0, 1-a 又原点到 l1 与 l2 的距离相等. a-1 2 a ∴4| a |=| |,∴a=2 或 a= , 3 1-a 2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 6.已知点 P(2,-1),求: (1)过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不 存在,请说明理由. [解析] (1)过 P 点的直线 l 与原点的距离为 2,而 P 点坐标为(2,-1), 可见过 P(2,-1)垂直于 x 轴的直线满足条件,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. ② ①

|-2k-1| 3 由已知得, 2 =2,解得 k=4,这时直线 l 的方程为 3x-4y-10 1+k =0. 综上所述,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)∵P 点在直线 l 上,∴原点到直线 l 的距离 d≤|OP|,∴过 P 点与原 点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线,由 l⊥OP,得 k1·OP= k 1 -1.∴k1=-k =2,得直线 l 的方程为 2x-y-5=0,即直线 2x-y-5=0
OP

是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线, |-5| 最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)知,过 P 点的直线与原点 O 最大距离为 5,故过 P 点不存在到 原点距离为 6 的直线. 7.(文)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后 反射,求反射光线所在的直线方程. [分析] 本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线 l 对称,用对称点方法求出入射光线上一点 P 关于 l 的对称点,再由两点式写 出方程. [解析]
?3x-2y+7=0, ?x=-1, ? ? ? 解法 1:由 得? ?x-2y+5=0, ?y=2, ? ?

即反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0),设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0,y0).
?x0-5 y0? 由 PP′的中点 Q 的坐标为? , ?, 2? ? 2

x0-5 y0 又 Q 点在 l 上,∴3× -2× +7=0. 2 2

? 联立? ?

y0 2 =- , 3 x0+5 3 ?x -5?-y0+7=0, 2 0

? ? 解得? ? ?

17 x0=- , 13 32 y0=- , 13

? 17 32? 即 P′点坐标为?-13,-13?. ? ? ? 17 32? 反射光线过 M(-1,2)和 P′?-13,-13?. ? ?

根据直线的两点式方程,可得 反射光线所在的方程为 29x-2y+33=0. 解法 2:设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点 y0-y 2 P′(x,y),则 =- . 3 x0-x
?x+x0 y+y0? ?在 l 上, 又 PP′的中点 Q? , 2 ? ? 2

x+x0 y+y0 ∴3× -2× +7=0, 2 2

? 由? ?

y0-y 2 =- , 3 x0-x 3× x+x0 -?y+y0?+7=0 2

? ?? ?

-5x+12y-42 x0= , 13 y0= 12x+5y+28 , 13

代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, 即所求反射光线所在直线方程为 29x-2y+33=0. (理)已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且过两直线 l1:3x-y -1=0 和 l2:x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程. [解析] 根据条件可设直线 l 的方程为:3x-y-1+λ(x+y-3)=0,即 (3+λ)x+(λ-1)y-3λ-1=0.直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等可分为两

种情况: 3-2 3+λ 1 1 当直线 l 与 A、B 的连线平行时,由 kAB= =- ,可得 =- , 2 2 3-5 1-λ 解得 λ=-7, 此时直线 l 的方程为 x+2y-5=0;
? 5? ? 5? 当直线 l 过线段 AB 中点 M?4,2?时, 将点 M?4,2?代入直线 l 的方程可 ? ? ? ?

5 17 得 4(3+λ)+ (λ-1)-3λ-1=0,则 λ=- ,可得直线 l 的方程为:x-6y 2 7 +11=0. 综上可知,所求直线 l 的方程为:x+2y-5=0 或 x-6y+11=0.


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