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北京市延庆县2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


北京市延庆县 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 I={0,1,2,3,4},集合 M={1,2,3},N={0,3],则(?IM)∪N=() A.{0,3,4} B.{0} C.{0,1,2,3} D.{0,1,

2, 3,4} 2. (5 分)已知 α∈[0,2π) ,与角 A. B. 终边相同的角是() C. D.

3. (5 分)若 sinα>0,且 cosα<0,则角 α 是() A.第一象限角 B.第二象限角 角

C.第三象限角

D.第四象限

4. (5 分)若角 α 的终边经过点 P(﹣3,4) ,则 tanα=() A. B. C. D.

5. (5 分)函数 A.(1,3) 0)∪(0,+∞)

的定义域为() B.[1,3] C.(﹣∞,1)∪(3,+∞) D. (1,

6. (5 分)已知向量 =(﹣1,2) , =(1,0) ,那么向量 A.(﹣4,2) B.(﹣4,﹣2) C.(4,2)

的坐标是() D.(4,﹣2)

7. (5 分)函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定点() A.(﹣2,1) B.(2,1) C.(﹣1,1) 8. (5 分)若 f(cosx)=cos3x,则 f(sin A.﹣1 B. )的值为() C.0

D.(1,1)

D.1

9. (5 分)设 A、B、C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是() A.sin(A+B)=sinC B.cos(A+B)=cosC C.tan(A+B)=tanC

D.

10. (5 分)已知向量 A.150°



满足| B.120°

|=1,|

|=4 且

?

=﹣2,则



的夹角为() D.30°

C.60°

11. (5 分)要得到函数 y=sin(2x+ A.向左平移 C. 向右平移 单位 单位

)的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向左平移 单位 单位

12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数 a 满足 f(log2a)+f( A. a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是() B.[1,2] C. D.(0,2]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 13. ( 5 分)不等式 的解集是.

14. (5 分)已知

,则 sin2α=.

15. (5 分)已知向量

=(﹣1,3) ,

=(﹣3,x) ,若



,则 x=;若

,则 x=.

16. (5 分)已知 A,B 是圆 O 上两点,∠AOB=2 弧度,OA=2,则劣弧 AB 长度是. 17. (5 分)已知 ,则 a,b,c 大小关系是.

18. (5 分)设函数 y=sin(

x+

) ,若对任意 x∈R,存在 x1,x2 使 f(x1)≤f(x)≤f(x2)

恒成立,则|x1﹣x2|的最小值是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19. (8 分)求下列各式的植: (Ⅰ) (Ⅱ)log327+lg4+lg25+10 .
lg2



20. (8 分)设全集为 R,集合 A={x|a≤x≤a+3},?RB={x|﹣1≤x≤5}. (Ⅰ)若 a=4,求 A∩B; (Ⅱ)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 21. (10 分)设函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)已知 ,且 f(α)=
2



,求

的值.

22. (10 分)已知函数 f(x)=sin x+sin2x+3cos x. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数的单调减区间; (Ⅲ)当 x∈[﹣ , ]时,求函数 f(x)的最小值.

2

23. (12 分)如图,点 P 是以 AB 为直径的圆 O 上动点,P'是点 P 关于 AB 的对称点,AB=2a (a>0) . (Ⅰ)当点 P 是弧 (Ⅱ)求 上靠近 B 的三等分点时,求 的最大值和最小值. 的值;

24. (12 分)设函数 f(x)=|x ﹣4x﹣5|. (1)在区间[﹣2,6]上画出函数 f(x)的图象; (2)当 k>2 时,求证:在区间[﹣1,5]上,y=kx+3k 的图象位于函数 f(x)图象的上方.

2

北京市延庆县 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1. (5 分)已知全集 I={0,1,2,3,4},集合 M={1,2,3},N={0,3],则(?IM)∪N=() A.{0,3,4} B.{0} C.{0,1,2,3} D.{0,1,2,3,4} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. 由全集 I 及 M,求出 M 的补集,找出 M 补集与 N 的并集即可. 解:∵全集 I={0,1,2,3,4},集合 M={1,2,3},N={0,3],

∴?IM={0,4}, 则(?IM)∪N={0,3,4}, 故选:A. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 α∈[0,2π) ,与角 A. B.

终边相同的角是() C. D.

考点: 终边相同的角. 专题: 三角函数的求值. 分析: 写出与 解答: 解:∵与 ∴取 k=1 时,α= 终边相同的角的集合{α|α= 终边相同的角的集合为{α|α= ∈[0,2π], +2kπ,k∈Z},取 k=1 得答案. +2kπ,k∈Z}.

故选:D. 点评: 本题考查了终边相同的角的集合的写法,是基础的会考题型. 3. (5 分)若 sinα>0,且 cosα<0,则角 α 是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角

D.第四象限角

考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接由三角函数的象限符号取交集得答案. 解答: 解:由 sinα>0,可得 α 为第一、第二及 y 轴正半轴上的角; 由 cosα<0,可得 α 为第二、第三及 x 轴负半轴上的角. ∴取交集可得,α 是第二象限角. 故选:B. 点评: 本题考查了三角函数的象限符号,是基础的会考题型. 4. (5 分)若角 α 的终边经过点 P(﹣3,4) ,则 tanα=() A. B. C. D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由三角函数的定义,tanα= ,求出值即可 解答: 解:∵角 α 的终边经过点 P(1,﹣2) , ∴tanα= = 故选:C. 点评: 本题考查三角函数的定义 tanα= ,利用公式求值题. .

5. (5 分)函数 A.(1,3) ∪(0,+∞) B.[1,3]

的定义域为() C.(﹣∞,1)∪(3,+∞) D. (1,0)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,





则 1≤x≤3, 故函数的定义域为[1,3], 故选:B 点评: 本题主要考查函数的定义域求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.

6. (5 分)已知向量 =(﹣1,2) , =(1,0) ,那么向量 A.(﹣4,2) B.(﹣4,﹣2) C.(4,2)

的坐标是() D.(4,﹣2)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由已知中向量 =(﹣1,2) , =(1,0) ,根据数乘向量坐标运算公式,及向量减法 坐标运算公式,可求出向量 的坐标.

解答: 解:∵ =(﹣1,2) , =(1,0) , ∴向量 故选 D. =3(1,0)﹣(﹣1,2)=(4,﹣2)

点评: 本题考查的知识点是平面向量的坐标运算,熟练掌握数乘向量坐标运算公式,及向 量加法坐标运算公式,是解答本题的关键. 7. (5 分)函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定点() A.(﹣2,1) B.(2,1) C.(﹣1,1) 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 x+2=1 解得 x=﹣1,y=1;从而写出即可. 解答: 解:令 x+2=1 得,x=﹣1,y=1; 故函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定点(﹣1,1) ; 故选 C. 点评: 本题考查了对数函数的性质应用,属于基础题.

D.(1,1)

8. (5 分)若 f(cosx)=cos3x,则 f(sin A.﹣1 B.

)的值为() C. 0 D.1

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 cosx=sin 求出 x 的其中一个值,再代入函数解析式求解即可. ,则 x 的值可以取 )=cos =0, ,

解答: 解:令 cosx=sin 所以 f(sin )=f(cos

故选:C. 点评: 本题考查复合函数的函数值,注意自变量的值,属于基础题. 9. (5 分)设 A、B、C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是() A.sin(A+B)=sinC B.cos(A+B)=cosC C.tan(A+B)=tanC D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 A+B=π﹣C,逐项求值验证即可. 解答: 解:∵A、B、C 是三角形的三个内角 ∴A+B=π﹣C 对于 A,sin(A+B)=sin(π﹣C)=sinC,故对 对于 B,cos(A+B)=cos(π﹣C)=﹣cosC,故错 对于 C,tan(A+B)=tan(π﹣C)=﹣tanC,故错 对于 D,sin =cos ,故错

故选:A. 点评: 三角函数化简与求值时需要注意:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的 灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简, 易求值最好.本题属于基础题.

10. (5 分)已知向量 A.150°



满足|

|=1,|

|=4 且

?

=﹣2,则



的夹角为()

B.120°

C.60°

D.30°

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的夹角公式:cos< , >= ,再由夹角的范围即可得到.

解答: 解:由于| 则 cos< , >=

|=1,|

|=4 且 =

?

=﹣2,

=﹣ ,

由于 0°≤< , >≤180°, 则 与 的夹角为 120°.

故选 B. 点评: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查向量的夹角的求法,属于基础题.

11. (5 分)要得到函数 y=sin(2x+ A.向左平移 C. 向右平移 单位 单位

)的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向左平移 单位 单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 由于函数 y=sin (2x+ 单位即可实现目标. 解答: 解:由于函数 y=sin(2x+ )=sin2(x+ ) , )的图象, ) =sin2 (x+ ) , 故只要将函数 y=sin2x 的图象相左平移 个

故只要将函数 y=sin2x 的图象相左平移

个单位,即可得到函数 y=sin(2x+

故选 D. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换,属于中档题.

12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数 a 满足 f(log2a)+f( A. a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是() B.[1,2] C. D.(0,2]

考点: 函数奇偶性的性质;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由偶函数的性质将 f(log2a)+f( a)≤2f(1)化为:f(log2a)≤f(1) ,再由 f

(x)的单调性列出不等式,根据对数函数的性质求出 a 的取值范围. 解答: 解:因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f( a)=f(﹣log2a)=f(log2a) , a)≤2f(1)为:f(log2a)≤f(1) ,

则 f(log2a)+f(

因为函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, 所以|log2a|≤1,解得 ≤a≤2, 则 a 的取值范围是[ ,2], 故选:A. 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,以及对数函数的性质,属于基础题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 13. (5 分)不等式 的解集是{x|x>﹣1}.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 利用指数幂的运算性质知 2 >2 ,利用指数函数的单调性即可得到答案. 解答: 解:∵2 > =2 ,y=2 为 R 上的增函数, ∴x>﹣1, ∴原不等式的解集为{x|x>﹣1}. 故答案为:{x|x>﹣1}. 点评: 本题考查指数不等式的解法,着重考查指数幂的运算性质与指数函数的单调性,属 于基础题. 14. (5 分)已知 考点: 二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. ,则 sin2α=﹣1.
x
﹣1

x

﹣1

x

分析: 将已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简,再利 用二倍角的正弦函数公式化简即可求出 sin2α 的值. 解答: 解:将 sinα﹣cosα= 两边平方得: 2 2 2 (sinα﹣cosα) =sin α﹣2sinαcosα+cos α=1﹣sin2α=2, ∴sin2α=﹣1. 故答案为:﹣1 点评: 此题考查了二倍角的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公 式是解本题的关键.

15. (5 分)已知向量 ﹣1.

=(﹣1,3) ,

=(﹣3,x) ,若



,则 x=9;若

,则 x=

考点: 平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的平行的充要条件与垂直的充要条件计算求解即可. 解答: 解:向量 ﹣3×3=﹣x 则 x=9. 若 , =(﹣1,3) , =(﹣3,x) ,若 ∥ ,

3+3x=0 则 x=﹣1 故答案为:9;﹣1. 点评: 本题考查向量的数量积与向量的平行与垂直条件的应用,考查计算能力. 16. (5 分)已知 A,B 是圆 O 上两点,∠AOB=2 弧度,OA=2,则劣弧 AB 长度是 4. 考点: 弧长公式. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用弧长公式求解即可. 解答: 解:A,B 是圆 O 上两点,∠AOB=2 弧度,OA=2,则劣弧 AB 长度:2×2=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查弧长公式的应用,基本知识的考查. 17. (5 分)已知 ,则 a,b,c 大小关系是 c>a>b.

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 2 0.3 解答: 解:∵0<a=0.3 <1,b=log20.3<0,c=2 >1, ∴c>a>b,

故答案为:c>a>b. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. ) ,若对任意 x∈R,存在 x1,x2 使 f(x1)≤f(x)≤f(x2)

18. (5 分)设函数 y=sin(

x+

恒成立,则|x1﹣x2|的最小值是 2. 考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由已知可知 f(x1)是 f(x)中最小值,f(x2)是值域中的最大值,它们分别在最高 和最低点取得,它们的横坐标最少相差半个周期,由三角函数式知周期的值,结果是周期的值 的一半. 解答: 解:∵对任意 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) , ∴f(x1)和 f(x2)分别是函数的最大值和最小值, ∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期, ∵T= =4,

∴|x1﹣x2|的最小值为 2, 故答案为:2. 点评: 本题是对函数图象的考查,只有熟悉三角函数的图象,才能解决好这类问题,同时, 其他的性质也要借助三角函数的图象解决,本章是数形结合的典型. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19. (8 分)求下列各式的植: (Ⅰ) (Ⅱ)log327+lg4+lg25+10 . 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可 解答: 解: (Ⅰ)原式= =2.
lg2



(Ⅱ)原式=3log33+lg100+2=3+2+2=7. 点评: 本题考查了根据指数幂的运算性质和对数的运算性质,属于基础题 20. (8 分)设全集为 R,集合 A={x|a≤x≤a+3},?RB={x|﹣1≤x≤5}. (Ⅰ)若 a=4,求 A∩B; (Ⅱ)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合.

分析: (Ⅰ)把 a=4 代入确定出 A,求出 A∩B 即可; (Ⅱ)由 A 与 B 的交集为 A,得到 A 为 B 的子集,列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集 即可确定出 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=4 时,A={x|4≤x≤7},B={x|x<﹣1 或 x>5}, ∴A∩B={x|5<x≤7}; (Ⅱ)∵A∩B=A,∴A?B, ∴a+3<﹣1 或 a>5, 解得 a<﹣4 或 a>5. ∴实数 a 的取值范围(﹣∞,﹣4)∪(5,+∞) . 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

21. (10 分)设函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)已知



,且 f(α)=

,求

的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数的定义域及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由 tanx≠0,可解得函数 f(x)的定义域. (Ⅱ)先求 f(x)=cosx,再求 sinα,cosα,从而可求 解答: (本题 10 分) 解: (Ⅰ)要使函数 f(x)有意义,只要使 tanx≠0, ∴函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 (Ⅱ)由 ∴ ∵ ∴ ∴ .…(10 分) 点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,函数的定义域及其求法,三角函数的 图象与性质,属于基本知识的考查. 22. (10 分)已知函数 f(x)=sin x+sin2x+3cos x. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数的单调减区间;
2 2

的值.

.…(3 分)

,得 f(x)=cosx, .…(5 分) , .…(7 分) =

(Ⅲ)当 x∈[﹣



]时,求函数 f(x)的最小值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)化简解析式可得 f(x)= (Ⅱ)由 (Ⅲ)由已知可先求得 2x+ 解答: (本题 10 分) 解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2x+2cos x+1=sin2x+cos2x= ∴f(x)的最小正周期 (Ⅱ)由 ∴函数的单调减区间 (Ⅲ)由 ∴当 时,即 时,f(x)取得最小值 0.…(10 分) .…(4 分) 得 (k∈Z) .…(7 分) . (k∈Z)
2

,即可求出 f(x)的最小正周期. 即可求得函数的单调减区间.

的范围,即可求出函数 f(x)的最小值.

,…(2 分)

点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的图象与性质,属于基本知 识的考查. 23. (12 分)如图,点 P 是以 AB 为直径的圆 O 上动点,P'是点 P 关于 AB 的对称点,AB=2a (a>0) . (Ⅰ)当点 P 是弧 (Ⅱ)求 上靠近 B 的三等分点时,求 的最大值和最小值. 的值;

考点: 平面向量数量积的运算;圆的参数方程. 专题: 平面向量及应用.

分析: (Ⅰ)由已知先求出点 P 的坐标,再利用数量积即可求出; (Ⅱ)设∠POB=θ,θ∈[0,2π) ,写出点 p 与 P′的坐标,求出 的表达式,再利用二

次函数和余弦函数的单调性即可求出其最值. 解答: 解: (Ⅰ)以直径 AB 所在直线为 x 轴,以 O 为坐标原点建立平面直角坐标系. ∵P 是弧 AB 靠近点 B 的三等分点, 连接 OP,则 点 P 坐标为 , .

又点 A 坐标是(﹣a,0) ,点 B 坐标是(a,0) , ∴ ∴ . , ,

(Ⅱ)设∠POB=θ,θ∈[0,2π) ,则 P(acosθ,asinθ) , P'(acosθ,﹣asinθ) , ∴ ∴ = 当 时, 有最小值 有最大值 2a .
2


2 2

. =a (2cos θ+cosθ﹣1) = , .

当 cosθ=1 时,

点评: 熟练掌握圆的对称性、向量的数量积、三角函数和二次函数的单调性是解题的关键. 24. (12 分)设函数 f(x)=|x ﹣4x﹣5|. (1)在区间[﹣2,6]上画出函数 f(x)的图象; (2)当 k>2 时,求证:在区间[﹣1,5]上,y=kx+3k 的图象位于函数 f(x)图象的上方. 考点: 函数的图象.
2

专题: 计算题. 分析: (1)先画出 f(x)=x ﹣4x﹣5 的图象,对于 y<0 的函数图象画关于 x 轴对称的图 象. 2 2 (2)作函数 g(x)=k(x+3)﹣(﹣x +4x+5)=x +(k﹣4)x+(3k﹣5) ,要使 y=kx+3k 的 图象位于函数 f(x)图象的上方,只需证明 g(x)的最小值大于 0 即可. 解答: 解(1)如图, (2)[解法一]当 x∈[﹣1,5]时,f(x)=﹣x +4x+5. g(x) =k(x+3)﹣ (﹣x +4x+5) =x +(k﹣4) x+(3k﹣5) = ∵k>2,∴ ①当 .又﹣1≤x≤5, ,即 2<k≤6 时,取 ,g(x)
2 2 2 2



min=


2 2

∵16≤(k﹣10) <64,∴(k﹣10) ﹣64<0, 则 g(x)min>0. ②当 ,即 k>6 时,取 x=﹣1,g(x)min=2k>0.

由 ①、②可知,当 k>2 时,g(x)>0,x∈[﹣1,5]. 因此,在区间[﹣1,5]上,y=k(x+3)的图象位于函数 f(x)图象的上方. 2 [解法二]当 x∈[﹣1,5]时,f(x)=﹣x +4x+5. 由
2

得 x +(k﹣4)x+(3k﹣5)=0,

2

令△ =(k﹣4) ﹣4(3k﹣5)=0,解得 k=2 或 k=18, 在区间[﹣1,5]上,当 k=2 时,y=2(x+3)的图象与函数 f(x)的图象只交于一点(1,8) ; 当 k=18 时,y=18(x+3)的图象与函数 f(x)的图象没有交点. 如图可知,由于直线 y=k(x+3)过点(﹣3,0) ,当 k>2 时,直线 y=k(x+3)是由直线 y=2 (x+3)绕点(﹣3,0)逆时针方向旋转得到.因此,在区间[﹣1,5]上,y=k(x+3)的图象 位于函数 f(x)图象的上方.

点评: 本题考查了函数图象的画法以及二次函数在定区间上的最大最小值问题,是中档题.


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